2020年上海市青浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020 青浦 高三二模
2020 青浦高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），则集合∁U A＝．2．（4分）已知i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数＝．3．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝．4．（4分）若（ax+1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．5．（4分）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是．6．（4分）用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积cm2．7．（5分）已知x，y＞0且x+2y＝1，则的最小值为．8．（5分）已知平面向量满足，，，则与的夹角为．9．（5分）设a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，则函数是减函数的概率为．10．（5分）已知函数，若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2＝y上，其中一条边所在直线的斜率为，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为．12．（5分）定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n＝．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2+b≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（）A．3B．4C．5D．615．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n＝1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M 1，M2，…，则＝（）A．B．4C．3D．16．（5分）已知函数f（x）＝sin x+2|sin x|，关于x的方程有以下结论：①当a≥0时，方程在[0，2π]内最多有3个不等实根；②当时，方程在[0，2π]内有两个不等实根；③若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π．④若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①④C．①③D．①②③三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．（14分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°．（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．18．（14分）已知函数．（1）若函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，求a的最小值；（2）若存在，使mf（x0）﹣2＝0成立，求实数m的取值范围．19．（14分）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p （t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，证明为定值，并求出这个定值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．21．（18分）对于无穷数列{a n}、{b n}，n∈N*，若b k＝max{a1，a2，…，a k}﹣min{a1，a2，…，a k}，k∈N*，则称数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，a k}、min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大项和最小项．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．（1）若a n＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和；（2）证明：数列{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n＝，求所有满足该条件的数列{a n}．参考答案一、填空题1．[2，+∞）；2．2﹣i；3．；4．2；5．2；6．16π；7．；8．；9．；10．（﹣∞，]；11．﹣；12．；二、选择题13．A；14．B；15．D；16．C；三、解答题17.解：（1）设AB＝1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°，∴AB1＝2，BB1＝，AC＝＝，∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，∵tan∠A1CA＝＝＝，∴∠A1CA＝arctan．∴A1C与平面ABCD所成的角的大小为．（2）∵A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，∵AB1＝B1C＝2，AC＝，∴cos∠B1CA＝＝＝，∴∠B1CA＝arccos．∴异面直线B1C与A1C1所成角的大小为arccos．18.解：（1）因为＝所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：从而．由题可知当k＝0时，a有最小值；（2）当时，，从而，则f（x0）∈[﹣1，2]由mf（x0）﹣2＝0可知：m≥1或m≤﹣2．19.解：（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，∴k＝10，∴p（t）＝＝，∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；（2）由Q＝，可得Q＝，当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（）]≤6（140﹣10×12）＝120，当且仅当t＝6时等号成立；当10≤t≤20时，Q＝≤384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．20.解：（1）由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c代入椭圆方程，得．由题意知，即a＝2b2．又，a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝1．所以椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．联立得，整理得由题意得△＝0，即．又，所以，故．又知，所以，因此为定值，这个定值为﹣8．（3）设P（x0，y0）（y0≠0），又，，所以直线PF1，PF2的方程分别为，．由题意知．由于点P在椭圆上，所以．所以．因为，﹣2＜x0＜2，可得，所以，因此．21.解：（1）由a n＝3n﹣1，可得{a n}为递增数列，所以b n＝max{a1，a2，…，a n}﹣min{a1，a2，…，a n}＝a n﹣a1＝3n﹣1﹣2＝3n﹣3，故{b n}的前n项和为；（2）证明：因为max{a1，a2，…，a n}≤max{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），min{a1，a2，…，a n}≥min{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），所以max{a1，a2，…，a n+1}﹣min{a1，a2，…，a n+1}≥max{a1，a2，…，a n}﹣min{a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n（n＝1，2，3，…），又因为b1＝a1﹣a1＝0，所以max{b1，b2，…，b n}﹣min{b1，b2，…，b n}＝b n﹣b1＝b n，所以{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）由，可得当n＝1时，a1＝a1；当n＝2时，2a1+a2＝3a1+b2，即b2＝a2﹣a1，所以a2≥a1；当n＝3时，3a1+2a2+a3＝6a1+3b3，即3b3＝2（a2﹣a1）+（a3﹣a1）（*），若a1≤a3＜a2，则b3＝a2﹣a1，所以由（*）可得a3＝a2，与a3＜a2矛盾；若a3＜a1≤a2，则b3＝a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2＝3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3＝a3﹣a1，由（*）可得a3＝a2．猜想：满足的数列{a n}是：．n∈N*，经验证，左边＝，右边＝．下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件．由上述n≤3时的情况可知，n≤3时是成立的．假设a k是首次不符合的项，则a1≤a2＝a3＝…＝a k﹣1≠a k，由题设条件可得（*），若a1≤a k＜a2，则由（*）式化简可得a k＝a2与a k＜a2矛盾；若a k＜a1≤a2，则b k＝a2﹣a k，所以由（*）可得，所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k＝a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k＝a2．这与假设a k≠a2矛盾．所以，所有满足该条件的数列{a n}的通项公式为，n∈N*．。
上海市青浦区高考数学二模试卷
高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知，B={y|y=log2x}，则A∩B=（ ）A. （0，+∞）B. [0，+∞）C. {2}D. {（4，2）}2.已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|=2019，则（ ）A. n的最大值为50B. n的最小值为50C. n的最大值为51D. n的最小值为51二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.不等式的解集是______．6.已知复数z满足z（1+i）=2+4i（其中i为虚数单位），则|z|=______．7.在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，则的单位向量是______．8.在（1-x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为______（结果用数值表示）．9.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线-y2=1经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则p=______．10.已知E、F是互斥事件，P（E）=0.2，P（E∪F）=0.8，则P（F）=______．11.函数y=|sin x+arcsin x|的最大值为______．12.若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为______．13.已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．14.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为______．15.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），在区间（-1，1）内有两个零点，则a2-2b的取值范围是______．16.已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1-ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN=，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN=1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km ，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．19.a∈R，函数（Ⅰ）a的值，使得f（x）为奇函数；（Ⅱ）若a≥0且对任意x∈R都成立，求a的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2=36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG的重心，求△EFG的面积．21.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），且不等式|f（x）|≤2019|2x-x2|对任意的x∈[0，10]都成立，数列{a n}是以7+a为首项，公差为1的等差数列（n∈N*）．（1）当x∈[0，10]时，写出方程2x-x2=0的解，并写出数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n}满足对任意的m，n∈N*都成立，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵={y|y≥0}，B={y|y=log2x}=R，∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当A＞B时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，若A为钝角，则π-A为锐角，B＜π-A，则tan（π-A）=-tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，综上：当A＞B时，“|tan A|＞|tan B|”．当“|tan A|＞|tan B|”时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时tan A＞tan B，即A＞B，若A为钝角，满足条件，若B为钝角，则tan（π-B）=-tan B＜tan A，即π-B＜A，A+B＞π，故B不可能为钝角，综上，当“|tan A|＞|tan B|”时，“A＞B”，故“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的充要条件，故选：C．根据充要条件的定义，结合正切函数的图象和性质，分析：“A＞B”⇒“|tan A|＞|tan B|”和“|tan A|＞|tan B|”⇒“A＞B”的真假后，可得答案．本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，是一道基础题，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．3.【答案】B【解析】解：由消去参数θ可得-y2=1，如图所示：经过P（6，2）且与双曲线的两条渐近线平行的直线满足题意．故选：B．将曲线的参数方程化成普通方程为双曲线方程，结合图象可知，当过P的直线与双曲线的渐近线平行时，满足题．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．4.【答案】A【解析】解：{a n}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|，=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|，则：数列{a n}中的项一定有正有负，不妨设a1＜0，d＞0，因为|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|=2019为定值，故设，且得d＞3．若a i＜0，且a i+1＜0，则|a i|-|a i+1|=1，同理若a i≥0，则|a i+1|-|a i|=1，所以==k，所以数列{a n}的项数为2k．所以：|a1|+|a2|+..+|a n|=-a1-a2-a3-…-a k+a k+1+a k+2+…+a2k，=-2（a1+a2+a3+…+a k）+（a1+a2+a3+…+a k+a k+1+…+a2k）=-2（ka1+d）+（2ka1+），=k2d=2019，由于：d＞3，所以：k2d=2019＞3k2，解得：k2＜673，故：k≤25，n≤50．故选：A．首先数列{a n}中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n的最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．5.【答案】【解析】解：原不等式等价于等价于x（2x-1）＜0解得故答案为（）通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．6.【答案】【解析】解：由z（1+i）=2+4i，得z=，∴|z|=．故答案为：．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.【答案】±【解析】解：∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，∴=（-3，4），||==5．则的单位向量==±．故答案为：±．在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，可得=（-3，4），可得的单位向量=．本题考查了向量数量积性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】-20【解析】解：写出二项式的通项，通项T r+1=C6r（-x）r=（-1）r C6r x r，令r=3得x3项的系数是（-1）3C63=-20．故答案为：-20利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3得到r的值，代入通项求出含x3项的系数，得到结果．本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具．9.【答案】4【解析】解：双曲线-y2=1经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，可得双曲线的顶点坐标（2，0），所以，解得p=4．故答案为：4．求出双曲线的顶点，得到抛物线的焦点坐标，即可求解P即可、本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.【答案】0.6【解析】解：∵E、F是互斥事件，P（E）=0.2，P（E∪F）=0.8，∴P（F）=P（E∪F）-P（E）=0.8-0.2=0.6．故答案为：0.6．由E、F是互斥事件，得到P（F）=P（E∪F）-P（E），由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：设f（x）=sin x+arcsin x，则函数定义域为[-1，1]，则f（x）在[-1，1]为单调递增的奇函数，所以-sin1-≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，故答案为：sin1+．由三角函数的单调性、奇偶性得：f（x）在[-1，1]为单调递增的奇函数，所以-sin1-≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，得解．本题考查了三角函数的单调性、奇偶性，属中档题．12.【答案】【解析】解：根据实数x、y满足条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点P到原点距离的平方，当z是点Q到直线x+y-1=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==，故答案为：．根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点P到原点距离的最值，从而得到z最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．13.【答案】{0}【解析】解：函数的反函数的定义域是（-∞，+∞），即函数f（x）的值域为（-∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；则需y=的值域包含（-∞，a2），结合函数y=在（a，c）内有意义，则c=0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．由题意可得，函数f（x）的值域为（-∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y=在（a，c）内有意义，可得c=0，则答案可求．本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．14.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO=1，OD=2，△POD是以∠POD为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形．则最长棱为PC=．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO=1，OD=2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC 是以∠PDC为直角的直角三角形，求解三角形得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15.【答案】（0，2）【解析】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间（-1，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a=0，b=0时，a2-2b取最小值0，当a=-2，b=1时，a2-2b取最大值2，所以a2-2b的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）．列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．16.【答案】【解析】解：设△ABC的外接圆半径为1，以点O为原点建立坐标系，因为∠ABC=，所以，设A（1，0），C（-，），B（x，y），则=（1-x，-y），=（--x，-y），=（-x，-y），因为，所以，解得：，因为点B在圆x2+y2=1上，所以λμ=，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，即λ+μ的最大值为，故答案为：．由平面向量的坐标运算、向量相等得：因为∠ABC=，所以，设A（1，0），C（-，），B（x，y），则=（1-x，-y），=（--x，-y），=（-x，-y），因为，所以，解得：，由重要不等式得：因为点B在圆x2+y2=1上，所以λμ=，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，得解本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等及重要不等式，属难度较大的题型．17.【答案】解：（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA=a，A1A=b，则，，∴；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA=AA1=2，则，OM=，OC=2，∵点C是弧AB的中点，∴OC⊥平面ABO1，则OC⊥OM，在Rt△MOC中，有MC=，∴cos∠OMC=，则异面直线CM与BO1所成角的大小为．【解析】（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA=a，A1A=b，由体积公式分别求出三棱锥A1-ABC体积与圆柱体积，作比得答案；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA=AA1=2，然后求解三角形得答案．本题考查棱锥与圆柱体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，tan∠BAD=tan∠BAN=，所以AD=BD，在Rt△BCD中，tan∠BCD=tan∠BCN==1，所以CD=BD．则AC=AD-CD=BD-BD=BD=1，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，AB==5（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则θ∈（θ0，），其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，DP==，BP==，所以AP=4-DP=4-．则总铺设费用为2AP+4BP=8-+=8+6•．…（8分）设f（θ）=，则f′（θ）==，令f'（θ）=0，得θ=，列表如下：θ（θ0，）（，）f'（θ）-0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为f（）=．所以方案②的总铺设费用最小为8+6（万元），此时AP=4-．…（12分）而8+6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向（4-）km处，总铺设费用最低．…（14分）【解析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则θ∈（θ0，），其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，DP==，BP==，则总铺设费用为2AP+4BP=8-+=8+6•．设f（θ）=，则f′（θ）==，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．19.【答案】解：（1）函数为奇函数，即f（0）==0，解得a=1，∴f（x）=，定义域为R，且满足f（-x）===-f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；即a=1时，f（x）为定义域R上的奇函数；（2）不等式f（x）＜化为＜，a≥0时，2x+a＞0，所以不等式化为3（2x-a）＜（a-2）（2x+a），即a2+a＞（5-a）•2x；要使该不等式对任意x∈R都成立，由a≥0且2x＞0，所以5-a≤0，即a≥5即可；所以a的取值范围是a≥5．【解析】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化问题，是中档题．（1）根据奇函数的定义与性质，利用f（0）=0求得a的值，再验证求得a的值时，f（x）是奇函数；（2）根据题意把不等式化为a2+a＞（5-a）•2x，要使不等式对任意x∈R都成立，得出5-a≤0即可．20.【答案】（1）解：伸缩变换为（λ＞0，μ＞0），代入x′2+y′2=1，得到（λx）2+（μy）2=1，即36λ2x2+36μ2y2=36，①将①式与4x2+9 y2=36比较，得λ=，μ=，故所求的伸缩变换为；（2）证明：以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设A（a，0），B（b，c），则，经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0），得到A（λa，0），B（λb ，μc）．∴，∴=；（3）解：设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），∵△EFG重心是原点，∴，，∴x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），当直线EF的斜率不存在时，E（-，），F（-，-），G（a，0），或E（，），F（，-），G（-a，0），此时S△EFG=；当直线EF的斜率存在时，设直线EF的方程为y=kx+m，由，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0．，，y1+y2=k（x1+x2）+2m==，∴x3=，，∵G（x3，y3）在椭圆上，∴，∴4m2=b2+a2k2，∵|EF|===．点G（x3，y3）到直线AB的距离d==，∴S△EFG=|EF|d=．综上所述，△ABC的面积是定值．【解析】（1）把伸缩变换代入x′2+y′2=1，得到36λ2x2+36μ2y2=36，与4x2+9 y2=36比较求得λ=，μ=，则答案可求；（2）以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设A（a，0），B（b，c），求出经平面直角坐标系中的伸缩变换后得到的A′（λa，0），B′（λb，μc），再分别求出S与S'，作比得答案；（3）设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），由△EFG重心是原点，得x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），然后分类求解得答案．本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21.【答案】解：（1）当x∈[0，10]时，方程2x-x2=0的解为：x=2，x=4．不等式|f（x）|≤2019|2x-x2|对任意的x∈[0，10]都成立，∴|f（2）|≤0，|f（4）|≤0，化为：4+2a+b=0，16+4a+b=0，解得a=-6，b=8．∴a n=1+n-1=n．（2）=＞0，∵=对任意的m，n∈N*都成立，∴|b n+m-b m-b n|≤0，又|b n+m-b m-b n|≥0，∴b n+m-b m-b n=0，即b n+m=b m+b n，令m=1可得b n+1=b n+b1，∴b n+1-b n=b1．∴数列{b n}是等差数列．（3）由（1）可得：=（n∈N*），∴=（++……+），显然{}是递减数列，故≤S1=．∵＞n，∴S n＞1+2+3+…+n=，∴＞+．∴的取值范围是．【解析】（1）令f（2）=0，f（4）=0计算a，b的值，从而得出出数列{a n}的通项公式；（2）由条件可知b n+m-b m-b n=0，令m=1可得结论；（3）利用放缩法得出最小值，根据递减数列得出最大值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2019-2020学年上海市青浦区高考数学二模试卷(有答案)
上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|= ．3．函数f（x）=的最小正周期是．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= ．5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）= ．9．设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为Tn，则= ．10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p= ．11．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm +m≤xn+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
2019-2020学年上海市青浦区高三二模数学试卷及答案解析
2019-2020学年上海市青浦区高三二模数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
1. 已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合U A =ð__________． 【答案】[)2,+∞【解析】由补集的运算可得[)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数2i z =+的共轭复数z =__________． 【答案】2i -【解析】由共轭复数的概念可得2z i =- 3. 已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =__________． 【答案】32【解析】由反函数性质可得，()12f x -=等价于13(2)122x f ==+= 4. 若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________． 【答案】2【解析】()5551552,rrr r r r T C ax C a x r ---+=⋅=⋅⋅⇒=3x 的系数是23580,2C a a ⋅=⇒=5. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________． 【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.6. 用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ． 【答案】16π【解析】平面去截球所得截面的面积为23cm π，则该截面的圆的半径为r =由勾股定理得球的半径为2R =，∴球的表面积为2416.S R ππ==7. 已知,0x y >且21x y +=，则11x y+的最小值为__________．【答案】3+【解析】由()11112=233y xx y x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+ ⎪⎝⎭2=y x x y ，即x =时取等号成立，此时11x y+的最小值为.8. 已知平面向量a b r r ，满足(1,1)a =-r ，||1b =u u r ，|2|a b +=r ra r 与b r 的夹角为_________． 【答案】34π【解析】由|2|a b +=r r ，且(1,1)a =-r ，所以22||4||||cos 4||2a a b b θ+⋅+=u u r r r r ，代入解得cos 2θ=-，即夹角为34π. 9. 设{}1,3,5a ∈，{}2,4,6b ∈，则函数1()log baf x x=是减函数的概率为_________． 【答案】23【解析】因为x 1是单调递减，若要x x f ab 1log )(=单调递减则需要1>a b当1=a 时6,4,2=b ；当3=a 时6,4=b ；当5=a 时6=b 共6种情况，所以函数1()log baf x x=是减函数的概率为3261313=C C10. 已知函数()f x =，若存在实数0x 满足00)]([x x f f =，则实数a 的取值范围是_______．【答案】14a ≤【解析】令00)(y x f =则000)())((x y f x f f ==为()f x =0x 满足00[()]f f x x =，且()f x =()f x =与()f x x =有交点就行，41,0,0,2≤≥∆=+-=-a a x x x a x11. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x ，令212122122=+=--=x x x x x x k AB在正三角形ABC 中533243213213132123+-=⋅-+=+=--=x x x x x x k AC 533243213223232223+-=⋅+-=+=--=x x x x x x k BC由此可得出1023231-=++x x x 12. 定义函数{}{}()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当()(0,]x n n N *∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =_______．【答案】(1)2n n n a +=【解析】当1=n 时，因为]1,0(∈x ，所以{}{}{}1,1==x x x ，所以{}1,111==a A ；当2=n 时，因为]2,1(∈x ，所以{}{}{}]4,2(,2=∈=x x x ，所以{}3,4,3,122==a A ；当3=n 时，因为]3,2(∈x ，所以{}{}{}]9,6(,3∈=x x x ，所以{}6,9,8,7,4,3,133==a A ；当4=n 时，因为]4,3(∈x ，所以{}{}{}]16,12(,4∈=x x x ，所以{}10,16,15,14,13,9,8,7,4,3144==a A ，；由此类推，n a a n n =--1，由累加法可得2)1(+=n n a n .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2020学年青浦区高三二模数学试卷含答案
青浦区2020学年高三年级第二次学业质量调研测试数学学科试卷（时间120分钟，满分150分）Q2021.04一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知集合(2,3)A =-，[]1,4B =-，则集合A B =____________．2．已知i 为虚数单位，复数z =则z z ⋅=____________．3．已知三阶行列式12414139x -的值为0，则=x ____________．4．已知△ABC 中，30,45,A B BC ===，则AC =____________．5．已知函数()331xxa f x =++最小值为53，则a =____________．6．92)21(xx -的展开式中9x 系数是____________．7．若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K 的概率为____________．（结果用最简分数表示）．8．已知正三角形ABC 的边长为1，点D 在边BC 上，且13BD =，则AB AD = ____________．9．已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F ，直线1y x =-与该双曲线交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是____________．10．已知函数()y f x =是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程()0f x =在区间)6,0(内零点的个数的最小值是____________个．11．已知直线1l y x =-+：与x 轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121,,,n P P P - ，过这些分点分别作x 轴的垂线，与直线l 的交点依次为121,,,n Q Q Q - ，从而得到1n -个直角三角形△11Q OP ，△212Q PP ， ，△112n n n Q P P ---，若这些三角形的面积之和为n S ，则lim n n S →∞=____________．12．已知函数()2,24161(),22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“0a >且0b >”是“a b +>”的………………………………（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．下列点不在直线1222x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是……………………………………（）．（A ）(1,2)-（B ）(3,2)-（C ）(2,1)-（D ）(3,2)-15．点P 在直线1l y x =-：上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A 、B 两点，且PA AB =，则称点P 为“友善点”，那么下列结论中正确的是…………………………………（）．（A ）直线上的所有点都是“友善点”（B ）直线上仅有有限个点是“友善点”（C ）直线上的所有点都不是“友善点”（D ）直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”16．已知函数()y f x =的定义域为R ，给出以下两个结论：①若函数()y f x =的图像是轴对称图形，则函数(())y f f x =的图像是轴对称图形；②若函数()y f x =的图像是中心对称图形，则函数(())y f f x =的图像是中心对称图形．它们的成立情况是…………………………………………………………………………（）．（A ）①成立，②不成立（B ）①不成立，②成立（C ）①②均不成立（D ）①②均成立三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知圆锥的体积为π，底面半径OA 与OB 的夹角2π3AOB ∠=，且OA =P 是母线BS 的中点．（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()cos 222x x xf x =+-.（1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元)．（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知A 、B 分别是椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>的左右顶点，O 为坐标原点，6AB =，点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．过点()0,3P -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；（3）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 为等差数列，且25a =，823a =．数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，12b =，且对任意正整数,s t 都有s t s t b b b +=⋅成立．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中；（3）是否存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的()f x 的解析式和对应的实数a 的值；若不存在，说明理由．青浦区2020学年第二学期高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案2021.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．[)1,3-；2．13；3．2；4．5．169；6．221-；7．1169；8．56；9.15222=-y x ；10.7；11．14；12.[)2,6-.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.D ；14.B ；15．A ；16.C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）13,1,23V Sh S SO SB π==∴== ，，()2π2π3πS =+⋅=表（2）取BO 中点H ，连接,PH AH SO ，与PA 所成角为APH ∠(或其补角)，122AH PH ==，an t APH ∠=，所以异面直线SO与PA 所成角的大小为．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解:（1）2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π==+=++，令4U x π=+，[]0,x π∈ ，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，sin ,12U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即2sin ,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ωQ 2sin(4x πω∴+=，即3sin(42x πω+[]0,x π∈ ，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈.（2）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281220116123h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈.所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）因为6AB =，所以3a =；又点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在图像C 上即()22252319b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，所以b =所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ①当直线l的斜率不存在时，MN =，以线段MN 为直径的圆交x轴于点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，符合，此时90θ=︒，②当直线l 的斜率存在时，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由223195y kx x y +=-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-（i）∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0QM QN ⋅>，又12212254593659k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180QM QN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>解得1k <或72k >（ii）由（i）、（ii）得实数k 的范围是213k <<或72k >，由①、②得直线l 的倾斜角的范围是2π72(tan ,)(tan ,πtan )3423arc arc arc θ∈- ；（3）设直线3l y kx =-：，又直线l 的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233yy x x =++.令0x =，解得113+3y y x =，所以点S 为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO = .由PS PO λ= ，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y y x x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++10142,291323k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯+∈> ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ 综上所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）设数列{}n a 公差为d ，则82382a a d -==-，122a a d =-=，所以31n a n =-．设数列{}n b 公比为q ，由条件得1112(2)(2)s t s t qq q +---=⋅，解得2q =，从而2n n b =．（2）令k n b a =得231kn =-，所以213k n +=，取21()k m m =+∈*N ，则2121212(31)1k m m ++=+=⨯++1112(3331)1m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯++ 1112(333)3m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯+ 所以21k+能够被3整除，所以此时n ∈*N ，即21()k m m =+∈*N 时，k b 是数列{}n a 中的项，从而数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中．（3）设2()(0)f x rx sx t r =++≠，若,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项，设2()n a n =∈*N ，则1()2n f a +=，2(())2n f f a +=，3((()))2n f f f a +=，所以11+12+2+23422422422n n n n n n n n n r s t r s t r s t ++++⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩于是11+1234223422n n n n n n r s r s +++⎧⋅+⋅=⎨⋅+⋅=⎩于是34=0nr ⋅，所以0r =，矛盾．所以不存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项．。
2024届上海市青浦区高三二模数学试题及答案
第11题图第12题图上海市青浦区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为．2.已知向量 1,1a ， 3,4b，则,a b．3.已知复数5iz，则Im z ．4.5.6.7.8.9.10.个数字均11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，若以303cm /s 的速度匀速往杯中注水，当水深为4cm 时，酒杯中水升高的瞬时变化率vcm /s ．第16题图12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 在棱AB 、BC 、1BB 上，且12PB，13QB ，14RB，以PQR 为底面作一个三棱柱111PQR PQ R ，使点1P 、1Q 、1R 分别在平面11A ADD 、11D DCC 、1111A B C D 上，则这个三棱柱的侧棱长为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数13y x x（0x ）的最小值是（）.A 4；14.已知点d ，M 是x 轴上.A .C 15.设n S ）.A 1a 16. f x kx 有（.A 2.C 2第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对于函数 y f x ，其中22sin cos f x x x x ，x R ．（1）求函数 y f x 的单调增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若 1f A，AB AC，求ABC 的面积．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，三棱柱111ABC A B C 是所有棱长均为2的直三棱柱，D 、E 分别是棱AB 和棱1AA 的中点．（1）求证：平面1B CD 平面11ABB A ；（2）求二面角1B CD E 的余弦值大小．19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分4分，第2小题（ii ）满分6分）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A 等级和B 等级，得到如下列联表：（1）0.05 ）？0.05 ．（2）A 提问第20题图20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线22:145x y ，1F 、2F 分别为其左、右焦点．（1）求1F 、2F 的坐标和双曲线 的渐近线方程；（2）如图，P 是双曲线 右支在第一象限内一点，圆C 是12PF F 的内切圆，设圆与1PF 、2PF 、12F F 分别切于点D 、E 、F ，当圆C 的面积为4 时，求直线2PF 的斜率；（3）是否存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A 、B 两点，且使得11F AB F BA ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若无穷数列 n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a 对一切正整数n 成立，则称 n a 是周期为T 的周期数列．（1）若ππsin 3n n a m（其中正整数m 为常数，n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由：（2）若1sin n n n a a a （n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由；（3）设 n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a （n N ，1n ）．求证：“存在1a ，使得 n a 是周期数列”的充要条件是“ n b 是周期数列”．上海市青浦区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案2024.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．(,1)(3,) ；2．10；3．52；4．160；5．6 ；6．2；7．；8． 0,101000, ；9.10,2；10.34；11．403π；12.12.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.D ；14.A ；15．C ；16..B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）222sin cos 2sin cos 1)f x x x x x x xπsin 222sin 23x x x由πππ2π22π+,232k x k kZ ≤≤，得5ππππ+,1212k x k k Z ≤≤所以，函数)(x f 的单调增区间是 5πππ,π+,1212k k kZ ．（2）由已知π()2sin 213f A A，所以π1sin 232A因为π02A，所以ππ4π2333A ，即π5π236A ，所以π4A2又cos AB AC AB AC A 2AB AC，所以，△ABC的面积11sin 22222S AB AC A．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）D 为棱AB 中点，△ABC 为正三角形，CD AB .又三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，1AA 平面ABC ，又CD 平面ABC ，1CD AA ，因为1,AB AA A 1,AB AA 平面11ABB A CD 平面11ABB A ，CD 平面1B CD ，平面1B CD 平面11ABB A （2）由（1）得CD 平面11ABB A ，1,B D DE 平面11ABB A ，1,CD B D CD ED ，1B DE 是二面角1B CD E 的平面角在△1B DE中，11DE B D B E1cos 10B DE二面角1B CD E的余弦值为10．19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（i）4分，第2小题（ii）6分)解：（1）提出原假设0H :学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，确定显著性水平0.05 ，由题意得，40,20a b c d 可得2221004020202025604060409n ad bc a b c d a c b d，由2( 3.841)0.05P ，且2593.841 ，所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.3（2）（i ）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为121223239p比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为2212111132318p ，故比赛只进行3局就结束的概率为1221591818p p ；（ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，X 0 ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 1111032318P X ，1X ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，故 2111111111215132323232323236P X，2X ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，故 2111121211211112323233232332323P X11211111111121113323233232332323108，3X ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得151337310121183610854P X P X P X P X ，所以分布为故数学期望为1513372630123183610854108[]E X20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为双曲线22:145x y ，所以224,5a b ，所以3c ，即1(3,0)F ，2(3,0)F ，所以双曲线的渐近线方程是2y x（2）解法一：由题意可知||||PD PE ，11||||F D F F ，22||||F F F E ，所以12121212||||(||||(||||)||||||||24PF PF PD DF PE EF DF EF FF FF a ，(2,0)F ，即F 是椭圆右顶点设圆C 的半径为(0)r r ，因为圆C 的面积为4π，则2π4πr ，即2r ，12CF F F ，设直线2PF 的斜率为k ，则直线2PF 的方程为(3)y k x ，即30kx y k ，由圆心C 到直线2PF 的距离等于圆的半径，可得2 ，解得直线2PF 的斜率为43k（3）假设存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得11F AB F BA ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(M x ，0)y ，又1(3,0)F ，2(3,0)F ，由11F AB F BA ，可知△1F AB 为等腰三角形，11||||F A F B ，且直线l 不与x 轴重合，于是1F M AB ，即12F M MF ，因此121F M MF k k ，0000133y yx x ，22009()x y I ，点A ，B 在双曲线 上，所以22112222545141x y x y ①②，① ②化简整理得：1212121254y y y y x x x x ，01201254y y y x x x ，则54OM AB k k，可得0000534y y x x ，220004515y x x Ⅱ，联立（Ⅰ）（Ⅱ）得22002200094515x y y x x ，2035120x x ，得043x或03x（舍）所以4,3M由54OM AB k k，得AB k ，所以直线l的方程为133)y x．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）∵2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m nn n a n m a m m m∴{}n a 是为周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a 时，1sin 0a ，1π()a k k Z ，∴当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；②当1π()a k k Z 时，记()sin f x x x ，则1()n n a f a ，()1cos 0f x x ，当且仅当11(21)π()x k k Z 时等号成立．即()1cos 0f x x ，所以()f x 在R 上严格增．若12a a ，则12()()f a f a ，即23a a ，进而可得1234a a a a ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a ，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）证明：必要性．若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b ，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列．充分性．若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x ，则10()a f x x211()sin a f x b x ，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x ，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x ，令1()sin ()T T g x x b f x ，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b x ，1(2)2sin ()0T T g b f x ，∴()g x 存在零点c ．于是1sin ()0T T c b f c 取1a c ，则111sin ()T T T a b f c c a ，从而211112sin sin T T T a b a b a a ，322223sin sin T T T a b a b a a ，……一般地，n T n a a 对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）。
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．(★)已知全集U=R，集合A=（-∞，2），则集合∁U A= [2，+∞）．2．(★)已知i为虚数单位，复数z=2+i的共轭复数 = 2-i ．3．(★★)已知函数，则方程f -1（x）=2的解x= ．4．(★★)若（ax+1）5的展开式中x 3的系数是80，则实数a的值是 2 ．5．(★)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 2 ．6．(★★)用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是 16π cm 2．7．(★★)已知x，y＞0且x+2y=1，则的最小值为．8．(★)已知平面向量满足，，，则与的夹角为．9．(★★)设a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，则函数是减函数的概率为．10．(★★)已知函数，若存在实数x 0满足f[f（x 0）]=x 0，则实数a的取值范围是（-∞，] ．11．(★★)已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x 2=y上，其中一条边所在直线的斜率为，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为 - ．12．(★★★)定义函数f（x）={x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}=2，{-2.3}=-2，当x∈（0，n]（n∈N *）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n= ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．(★)已知a，b∈R，则“b≥0”是“a 2+b≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．(★★)我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（）A．3B．4C．5D．615．(★★)记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M 1，M 2，…，则=（）A．B．4C．3D．16．(★★★)已知函数f（x）=sinx+2|sinx|，关于x的方程有以下结论：①当a≥0时，方程在[0，2π]内最多有3个不等实根；②当时，方程在[0，2π]内有两个不等实根；③若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π．④若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①④C．①③D．①②③三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(★★★★)如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，∠B 1AB=60°．（1）求直线A 1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B 1C与A 1C 1所成角的大小．18．(★★★)已知函数．（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；（2）若存在，使mf（x 0）-2=0成立，求实数m的取值范围．19．(★★)上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N *．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10-t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．(★★★)已知椭圆的左、右焦点分别是F 1，F 2，其长轴长是短轴长的2倍，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k≠0，证明为定值，并求出这个定值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F 1PF 2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．21．(★★★★)对于无穷数列{a n}、{b n}，n∈N *，若b k=max{a 1，a 2，…，a k}-min{a 1，a 2，…，a k}，k∈N *，则称数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．其中max{a 1，a 2，…，a k}、min{a 1，a 2，…，a k}分别表示a 1，a 2，…，a k中的最大项和最小项．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=3n-1，求数列{b n}的前n项和；（2）证明：数列{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S 1+S 2+…+S n= ，求所有满足该条件的数列{a n}．。
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝（﹣∞，2），则集合∁U A ＝ ． 2．已知i 为虚数单位，复数z ＝2+i 的共轭复数z = ． 3．已知函数f(x)=1+1x，则方程f ﹣1（x ）＝2的解x ＝ ． 4．若（ax +1）5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ． 5．双曲线x 24−y 24=1的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．6．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是 cm 2．7．已知x ，y ＞0且x +2y ＝1，则1x+1y的最小值为 ．8．已知平面向量a →，b →满足a →=(1，−1)，|b|→=1，|a →+2b →|=√2，则a →与b →的夹角为 ． 9．设a ∈{1，3，5}，b ∈{2，4，6}，则函数f(x)=log b a1x 是减函数的概率为 ．10．已知函数f(x)=√x −a ，若存在实数x 0满足f [f （x 0）]＝x 0，则实数a 的取值范围是 ． 11．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线x 2＝y 上，其中一条边所在直线的斜率为√2，则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为 ．12．定义函数f （x ）＝{x {x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x ∈（0，n ]（n ∈N *）时，函数f （x ）的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则a n ＝ ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“a 2+b ≥0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．615．记椭圆x 24+ny 24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn （n ＝1，2，…），当点（x ，y ）分别在Ω1，Ω2，…上时，x +y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n→∞M n =（ ） A ．2+√5B ．4C ．3D ．2√216．已知函数f （x ）＝sin x +2|sin x |，关于x 的方程f 2(x)−√af(x)−1=0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，2π]内最多有3个不等实根； ②当0≤a ＜649时，方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，2π]内有两个不等实根； ③若方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④B ．①④C ．①③D ．①②③三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠B 1AB ＝60°． （1）求直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．18．已知函数f(x)=[2sin(x+π3)+sinx]cosx−√3sin2x．（1）若函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，求a的最小值；（2）若存在x0∈[0，5π12]，使mf（x0）﹣2＝0成立，求实数m的取值范围．19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆C：x22+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．21．（18分）对于无穷数列{a n}、{b n}，n∈N*，若b k＝max{a1，a2，…，a k}﹣min{a1，a2，…，a k}，k∈N*，则称数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，a k}、min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大项和最小项．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．（1）若a n＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和；（2）证明：数列{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=n(n+1)2a1+n(n−1)2b n(n=1，2，3，⋯)，求所有满足该条件的数列{a n}．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），则集合∁U A＝[2，+∞）．【分析】由补集的定义直接可以得出．解：由题知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），故∁U A＝[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点评】本题主要考查的是补集及其运算，是道基础题．2．已知i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数z=2﹣i．【分析】复数z＝a+bi的共轭复数z=a﹣bi．解：i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数z=2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，考查共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3．已知函数f(x)=1+1x，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝32．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．解：函数f(x)=1+1 x，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝1+12=32．故答案为：32．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若（ax +1）5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 2 ．【分析】由题意可得，T r +1＝C 5r （ax ）5﹣r ＝a 5﹣r C 5r x 5﹣r ，令5﹣r ＝3可得r ＝2，则有a 3C 52＝80，从而可求解：由题意可得，T r +1＝C 5r （ax ）5﹣r ＝a 5﹣r C 5r x 5﹣r 令5﹣r ＝3可得r ＝2 ∴a 3C 52＝80∴a ＝2 故答案为：2【点评】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础试题．5．双曲线x 24−y 24=1的一个焦点到一条渐近线的距离是 2 ．【分析】求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线x 24−y 24=1的一个焦点（2√2，0）到一条渐近线x +y ＝0的距离：√2|√12+12=√2√2=2． 故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是 16π cm 2．【分析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．解：用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，∴小圆的半径为√3cm ；已知球心到该截面的距离为1 cm ，∴球的半径为：√12+(√3)2=2cm ， ∴该球的表面积是S ＝4π×22＝16πcm 2． 故答案为：16．【点评】本题考查球的截面小于的半径、球心到球的截面的距离与球的半径之间的关系，是基础题．7．已知x ，y ＞0且x +2y ＝1，则1x+1y 的最小值为 3+2√2 ．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 解：由已知：1x +1y =（1x +1y）（x +2y ）＝1+2y x +xy +2≥3+2√2，当且仅当2y x=x y时等号成立，则1x+1y的最小值为3+2√2，故答案为：3+2√2．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8．已知平面向量a →，b →满足a →=(1，−1)，|b|→=1，|a →+2b →|=√2，则a →与b →的夹角为 3π4．【分析】根据题意，设a →与b →的夹角为θ，由a →的坐标求出|a →|的值，进而由数量积的计算公式可得（a →+2b →）2=a →2+4a →•b →+4b →2＝6+4×1×√2×cos θ＝2，计算可得cos θ的值，分析可得答案．解：根据题意，设a →与b →的夹角为θ，又由a →=(1，−1)，则|a →|=√2，若|a →+2b →|=√2，则有（a →+2b →）2=a →2+4a →•b →+4b →2＝6+4×1×√2×cos θ＝2，解可得：cos θ=−√22，则θ=3π4； 故答案为：3π4．【点评】本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题． 9．设a ∈{1，3，5}，b ∈{2，4，6}，则函数f(x)=log b a1x 是减函数的概率为23．【分析】基本事件总数n ＝3×3＝9，由函数f(x)=log b a1x 是减函数，得ba＞1，利用列举法求出函数f(x)=log b a1x 是减函数包含的基本事件（a ，b ）有6个，由此能求出函数f(x)=log b a1x是减函数的概率．解：∵a ∈{1，3，5}，b ∈{2，4，6}， 基本事件总数n ＝3×3＝9，∵函数f(x)=log b a1x 是减函数，∴ba＞1，∴函数f(x)=log b a1x 是减函数包含的基本事件（a ，b ）有：（1，2），（1，4），（1，6），（3，4），（3，6），（5，6），共6个， ∴函数f(x)=log b a1x 是减函数的概率p =69=23． 故答案为：23．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．10．已知函数f(x)=√x −a ，若存在实数x 0满足f [f （x 0）]＝x 0，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，14] ．【分析】判断y ＝f （x ）在定义域内递增，结合条件可得y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x 有交点，即方程√x −a =x 有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围． 解：函数f(x)=√x −a 在[a ，+∞）递增，若存在实数x 0满足f [f （x 0）]＝x 0，可得y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x 有交点， 即方程√x −a =x 有解．由√x −a =x （x ≥0），可得x ﹣a ＝x 2，即有a ＝x ﹣x 2＝﹣（x −12）2+14，而y ＝﹣（x −12）2+14在[0，12）递增，（12，+∞）递减，可得y ＝﹣（x −12）2+14的最大值为14，此时x =12，则a ≤14，即a 的取值范围是（﹣∞，14]．故答案为：（﹣∞，14]．【点评】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线x 2＝y 上，其中一条边所在直线的斜率为√2，则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为 −3√210．【分析】设出点A ，B ，C 的坐标，根据题意，利用两点之间斜率的关系表示出横坐标与斜率的关系，再由三角形为等边三角形，得到另外两边的斜率大小，进而表示出a +b +c ，再由正切的和差角公式展开计算得答案．解：设点A （a ，a 2），B （b ，b 2），C （c ，c 2），则k AB =a 2−b 2a−b =a +b ，k BC =b 2−c 2b−c=b +c ，k AC =a 2−c 2a−c=a +c ， 不放设k AB =√2，且直线AB 的倾斜角为α，又△ABC 为等边三角形，则k BC =tan(α+π3)，k AC =tan(α−π3)， ∴a +b +c =12(k AB +k BC +k AC )=12[√2+tan(α+π3)+tan(α−π3)]=√22+12⋅tanα+tan π31−tanαtan π3+12⋅tanα−tan π31+tanαtan π3=−3√210． 故答案为：−3√210．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查直线斜率的求法以及正切和差角公式的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题．12．定义函数f （x ）＝{x {x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x ∈（0，n ]（n ∈N *）时，函数f （x ）的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则a n ＝n(n+1)2．【分析】当x ∈（n ﹣1，n ]时，{x }＝n ，所以x {x }所在的区间为（n （n ﹣1），n 2]，区间长度为n ，{x {x }取到的整数为n 2﹣n +1，n 2﹣n +2，……，n 2﹣n +n ＝n 2，共n 个，则由此可求得a n ．解：由题意得：当x ∈（n ﹣1，n ]时，{x }＝n ，所以x {x }所在的区间为（n （n ﹣1），n 2]，区间长度为n ，{x {x }}取到的整数为n 2﹣n +1，n 2﹣n +2，……，n 2﹣n +n ＝n 2，共n 个，所以，当x ∈（0，1]时，{x {x }}有1个；当x ∈（1，2]时，{x {x }}有2个；当x ∈（2，3]时，{x {x }}有3个；……，当x ∈（n ﹣1，n ]时，{x {x }}有n 个． 所以x ∈（0，n ]时，{x {x }}共有1+2+3+……+n =n(n+1)2个数．故a n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2．【点评】本题考查新定义问题，注意分析x {x }所在的区间长度，从而确定{x {x }}的个数．考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“a 2+b ≥0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：当b ≥0时，a 2+b ≥0成立．当a ＝3，b ＝﹣1时，满足a 2+b ≥0成立，但b ≥0不成立． ∴“b ≥0”是“a 2+b ≥0”充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为A n ，B n ，令A n +B n ＝8，求n 即可．【解答】解，设大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为A n ，B n ，则，{a n }，是以1为首项，2为公比的等比数列， {b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴A n =1−2n1−2=2n ﹣1，B n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n−1，令A n +B n ＝8，即2n ﹣1+1−(12)n−1≥8，解得n ≥4， 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和，属基础题．15．记椭圆x 24+ny 24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn （n ＝1，2，…），当点（x ，y ）分别在Ω1，Ω2，…上时，x +y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n→∞M n =（ ） A ．2+√5B ．4C ．3D ．2√2 【分析】先由椭圆x 24+ny 24n+1=1得到这个椭圆的参数方程为：{x =2cosθy =√4+1nsinθ（θ为参数），再由三角函数知识求x +y 的最大值，从而求出极限的值． 解：椭圆x 24+ny 24n+1=1的参数方程为：{x =2cosθy =√4+1nsinθ（θ为参数），∴x +y ＝2cos θ+√4+1nsin θ，∴（x +y ）max =√22+4+1n=√8+1n．∴lim n→∞M n =lim n→∞√8+1n=2√2．故选：D ．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．16．已知函数f （x ）＝sin x +2|sin x |，关于x 的方程f 2(x)−√af(x)−1=0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，2π]内最多有3个不等实根； ②当0≤a ＜649时，方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，2π]内有两个不等实根； ③若方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程f 2(x)−√af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④B ．①④C ．①③D ．①②③【分析】先研究f （x ）在[0，2π]内的图象，求其值域，进而研究方程f 2(x)−√af(x)−1=0两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．解：由已知得f （x ）＝sin x +2|sin x |={3sinx ，x ∈[0，π]−sinx ，x ∈(π，2π]，做出图象如下：由f 2(x)−√af(x)−1=0得：f(x)=√a+√a+42或√a−√a+42.令t 1=√a+√a+42，t 2=√a−√a+42．显然a ≥0，∴t 1≥1，t 2＜0（舍）．原方程的根看成y＝t1与y＝f（x）的交点的横坐标．对于①，如图所示：因为t1≥1，当a＝0时，t1＝1，y＝t与y＝f（x）恰好有三个交点；当a＞0时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，a＝0时，有3个根，故②错误；对于③，如图所示，由题意，只能满足：y＝t1只与y＝f（x）在[0，π]，[2π，3π]，[4π，5π]上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于x=π2，x=5π2，x=9π2对称，所以六个根的和为：2×π2+2×5π2+2×9π2=15π．故③正确，④错误．故正确命题的序号是①③．故选：C．【点评】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°．（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．【分析】（1）由A1A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，由此能求出A1C与平面ABCD所成的角的大小．（2）由A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小．解：（1）设AB＝1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°，∴AB1＝2，BB1=√3，AC=√1+1=√2，∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，∵tan∠A1CA=AA1AC=√3√2=√62，∴∠A 1CA ＝arctan √62．∴A 1C 与平面ABCD 所成的角的大小为√62． （2）∵A 1C 1∥AC ，∴∠B 1CA 是异面直线B 1C 与A 1C 1所成角， ∵AB 1＝B 1C ＝2，AC =√2，∴cos ∠B 1CA =B 1C 2+AC 2−AB 122B 1C⋅AC =2×2×2=√24， ∴∠B 1CA ＝arccos √24．∴异面直线B 1C 与A 1C 1所成角的大小为arccos√24．【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知函数f(x)=[2sin(x +π3)+sinx]cosx −√3sin 2x ．（1）若函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a （a ＞0）对称，求a 的最小值； （2）若存在x 0∈[0，5π12]，使mf （x 0）﹣2＝0成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f （x ）化成2sin(2x +π3)，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a 的最小值即可；（2）根据x 0∈[0，512π]的范围求出2x 0+π3的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m 的范围．解：（1）因为f(x)=(2sinx+√3cosx)cosx−√3sin2x=sin2x+√3cos2x= 2sin(2x+π3)所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：2x+π3=kπ+π2，k∈Z从而x=k2π+π12，k∈Z．由题可知当k＝0时，a有最小值π12；（2）当x0∈[0，512π]时，2x0+π3∈[π3，76π]，从而sin(2x0+π3)∈[−12，1]，则f（x0）∈[﹣1，2]由mf（x0）﹣2＝0可知：m≥1或m≤﹣2．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈一、选择题*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【分析】（1）由题意知p（t）={1200−k(10−t)2，2≤t＜101200，10≤t≤20，t∈N，（k为常数），再由p（2）＝560求得k，则p（t）可求，进一步求得p（6）得答案；（2）由Q=6p(t)−3360t −360，可得Q={6[1200−10(10−t)2−560t−60]，2≤t＜103840t−360，10≤t≤20，分段求最值得答案．解：（1）由题意知p （t ）={1200−k(10−t)2，2≤t ＜101200，10≤t ≤20，t ∈N ，（k 为常数），∵p （2）＝1200﹣k （10﹣2）2＝560， ∴k ＝10，∴p （t ）={1200−10(10−t)2，2≤t ＜101200，10≤t ≤20={−t 2+200t +200，2≤t ＜101200，10≤t ≤20，∴p （6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；（2）由Q =6p(t)−3360t−360，可得 Q ={6[1200−10(10−t)2−560t −60]，2≤t ＜103840t−360，10≤t ≤20， 当2≤t ＜10时，Q ＝6[140﹣10（t +36t）]≤6（140﹣10×12）＝120， 当且仅当t ＝6时等号成立；当10≤t ≤20时，Q =7200−3360t−360≤384﹣360＝24，当t ＝10时等号成立， ∴当发车时间间隔为t ＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为t ＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题． 20．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其长轴长是短轴长的2倍，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，证明1kk 1+1kk 2为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围．【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k 与P 的横纵坐标的关系，再由P 在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2与P 的坐标的关系，进而可得1kk 1+1kk 2为定值﹣8；（3）设P 的坐标，由（1）可得焦点F 1，F 2的坐标，求出直线PF 1，PF 2的方程，由角平分线的性质，M 到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m 与P 的横坐标的关系，再由P 在椭圆上可得P 的横坐标的取值范围求出m 的范围． 解：（1）由于c 2＝a 2﹣b 2，将x ＝﹣c 代入椭圆方程x 2a +y 2b =1，得y =±b 2a ． 由题意知2b 2a=1，即a ＝2b 2．又ba=12，a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，b ＝1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设P （x 0，y 0）（y 0≠0），则直线l 的方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0）．联立得{x 24+y 2=1y −y 0=k(x −x 0)，整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0−k 2x 0)x +4(y 02−2kx 0y 0+k 2x 02−1)=0 由题意得△＝0，即(4−x 02)k 2+2x 0y 0k +1−y 02=0．又x 024+y 02=1，所以16y 02k 2+8x 0y 0k +x 02=0，故k =−x 04y 0．又知1k 1+1k 2=x 0+√3y 0+x 0−√3y 0=2x 0y 0，所以1kk 1+1kk 2=1k (1k 1+1k 2)=(−4y 0x 0)⋅2x 0y 0=−8，因此1kk 1+1kk 2为定值，这个定值为﹣8．（3）设P （x 0，y 0）（y 0≠0），又F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为l PF 1：y 0x −(x 0+√3)y +√3y 0=0， l PF 2：y 0x −(x 0−√3)y −√3y 0=0．由题意知0√3y 0√y 02+(x 0+√3)2=0√3y 0√y 02+(x 0−√3)2．由于点P 在椭圆上，所以x 024+y 02=1． √3|(√32x 0+2)=√3|(√32x 0−2)因为−√3＜m ＜√3，﹣2＜x 0＜2，可得√3√32x 0+2=√3−m2−√32x 0， 所以m =34x 0，因此−32＜m ＜32．【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题． 21．（18分）对于无穷数列{a n }、{b n }，n ∈N *，若b k ＝max {a 1，a 2，…，a k }﹣min {a 1，a 2，…，a k }，k ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“收缩数列”．其中max {a 1，a 2，…，a k }、min {a 1，a 2，…，a k }分别表示a 1，a 2，…，a k 中的最大项和最小项．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是数列{a n }的“收缩数列”． （1）若a n ＝3n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和；（2）证明：数列{b n }的“收缩数列”仍是{b n }；（3）若S 1+S 2+…+S n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n (n =1，2，3，⋯)，求所有满足该条件的数列{a n }．【分析】（1）判断{a n }为递增数列，由“收缩数列”的定义求得b n ＝3n ﹣3，再由等差数列的求和公式，可得所求和；（2）由题意可得max {a 1，a 2，…，a n }≤max {a 1，a 2，…，a n +1}（n ＝1，2，3，…），min {a 1，a 2，…，a n }≥min {a 1，a 2，…，a n +1}（n ＝1，2，3，…），推得b n +1≥b n （n ＝1，2，3，…），结合“收缩数列”的定义，即可得证；（3）由题意计算a 1，a 2，a 3，猜想：满足S 1+S 2+⋯+S n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n (n =1，2，3，⋯)的数列{a n }是：a n ={a 1，n =1#/DEL/#a 2，n ≥1#/DEL/#，a 2≥a 1．n ∈N*，再由反证法，通过推理论证得到矛盾，即可得到结论．解：（1）由a n ＝3n ﹣1，可得{a n }为递增数列，所以b n ＝max {a 1，a 2，…，a n }﹣min {a 1，a 2，…，a n }＝a n ﹣a 1＝3n ﹣1﹣2＝3n ﹣3， 故{b n }的前n 项和为n(0+3n−3)2=3n(n−1)2；（2）证明：因为max {a 1，a 2，…，a n }≤max {a 1，a 2，…，a n +1}（n ＝1，2，3，…）， min {a 1，a 2，…，a n }≥min {a 1，a 2，…，a n +1}（n ＝1，2，3，…），所以max {a 1，a 2，…，a n +1}﹣min {a 1，a 2，…，a n +1}≥max {a 1，a 2，…，a n }﹣min {a 1，a 2，…，a n }，所以b n +1≥b n （n ＝1，2，3，…），又因为b 1＝a 1﹣a 1＝0，所以max {b 1，b 2，…，b n }﹣min {b 1，b 2，…，b n }＝b n ﹣b 1＝b n ， 所以{b n }的“收缩数列”仍是{b n }；（3）由S 1+S 2+⋯+S n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n (n =1，2，3，⋯)，可得 当n ＝1时，a 1＝a 1； 当n ＝2时，2a 1+a 2＝3a 1+b 2，即b 2＝a 2﹣a 1，所以a 2≥a 1；当n ＝3时，3a 1+2a 2+a 3＝6a 1+3b 3，即3b 3＝2（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 1）（*）， 若a 1≤a 3＜a 2，则b 3＝a 2﹣a 1，所以由（*）可得a 3＝a 2，与a 3＜a 2矛盾；若a 3＜a 1≤a 2，则b 3＝a 2﹣a 3，所以由（*）可得a 3﹣a 2＝3（a 1﹣a 3），所以a 3﹣a 2与a 1﹣a 3同号，这与a 3＜a 1≤a 2矛盾；若a 3≥a 2，则b 3＝a 3﹣a 1，由（*）可得a 3＝a 2．猜想：满足S 1+S 2+⋯+S n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n (n =1，2，3，⋯)的数列{a n }是：a n ={a 1，n =1#/DEL/#a 2，n ≥1#/DEL/#，a 2≥a 1．n ∈N*， 经验证，左边=S 1+S 2+⋯+S n =na 1+[1+2+⋯+(n −1)]a 2=na 1+n(n−1)2a 2， 右边=n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2(a 2−a 1)=na 1+n(n−1)2a 2． 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件．由上述n ≤3时的情况可知，n ≤3时是成立的．假设a k 是首次不符合a n ={a 1，n =1#/DEL/#a 2，n ≥2#/DEL/#，a 2≥a 1的项，则a 1≤a 2＝a 3＝…＝a k ﹣1≠a k ，由题设条件可得k 2−k−22a 2+a k =k(k+1)2a 1+k(k−1)2b k （*），若a 1≤a k ＜a 2，则由（*）式化简可得a k ＝a 2与a k ＜a 2矛盾；若a k ＜a 1≤a 2，则b k ＝a 2﹣a k ，所以由（*）可得a k −a 2=k(k−1)2(a 1−a k )，所以a k ﹣a 2与a 1﹣a k 同号，这与a k ＜a 1≤a 2矛盾；所以a k ≥a 2，则b k ＝a k ﹣a 1，所以由（*）化简可得a k ＝a 2．这与假设a k ≠a 2矛盾．所以，所有满足该条件的数列{a n }的通项公式为a n ={a 1，n =1，#/DEL/#a 2，n ≥2，#/DEL/#a 2≥a 1，n ∈N *．【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查列举法和反证法的运用，以及化简运算能力、推理能力，是一道难题．。
2020届上海市青浦区高三二模试卷
........................优质文档..................................................优质文档..........................青浦区2019学年高三年级第二次学业质量调研测试英语学科试卷（时间120分钟，满分140分）Q2020.05考生注意：1.本试卷共14页。
2.答题前，考生务必在答题卡（纸）上用钢笔或水笔清楚填写姓名、准考证号，并用铅笔正确涂写准考证号。
3.答案必须全部涂写在答题卡（纸）上。
如用铅笔答题，或写在试卷上也一律不给分。
I.Listening ComprehensionSection ADirections:In Section A,you will hear ten short conversations between two speakers.At the end of each conversation,a question will be asked about what was said.The conversations and the questions will be spoken only once.After you hear a conversation and the question about it,read the four possible answers on your paper,and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A.$200. B.$250. C.$300. D.$350.2.A.In July. B.In August. C.In September. D.In October.3.A.The woman needs to see the doctor. B.The woman should pretend to be a patient.C.The woman needs to put in extra efforts.D.The woman should take magic tablets.4.A.Mechanic and customer. B.Advertiser and designer.C.Advertising agent and client.D.Manager and salesperson.5.A.She can’t make herself understood when whispering.B.She’d better avoid speaking even in a low voice.C.She will probably go to see a doctor.D.She has refused to take medicine.6.A.It is full of nonsense. B.It is appealing to him.C.It should be lent to more people.D.It can hardly arouse the woman’s interest.7.A.The lecture was very successful. B.She felt thirsty at the lecture.C.The students were not polite at the lecture.D.The young people have great wisdom.8. A.The woman is now working in a kindergarten.B.The man will soon start a business of his own.C.The man would like to be a high school teacher.D.The woman is going to major in child education.9.A.They have forgot to change their cars. B.The woman’s car has run out of electricity.C.The man is good at telling jokes.D.The park is within five minutes’walk.10.A.She would like to have the typewriter removed.B.Someone else may need the typewriter.C.She does not like the spare desk.D.The office is dusty and old.Section BDirections:In Section B,you will hear two short passages and one longer conversation,and you will be asked several questions on each of the short passages and the longer conversation.The short passages and the longer conversation will be read twice,but the questions will be spoken only once. When you hear a question,read the four possible answers on your paper and decide which one is the best answer to the question you have heard.Questions11through13are based on the following passage.11.A.Bank clerk. B.Restaurant servant.C.Baby sitter.D.Campus gardener.12.A.Write a sound resume. B.Select appropriate courses.C.Arrange their work schedules.D.Improve their interviewing techniques.13.A.To inform students of a university program.B.To interest students in a career in counseling.C.To get counselors to work in the placement office.D.To convince local organizations to hire college students. Questions14through16are based on the following passage.14.A.To find out what happened to the atmosphere and water of our planet.B.To explore what occurred to the natural environment on Mars.C.To confirm that Mars has a much thicker atmosphere now.D.To have access to an orbit to circle around the Red Planet.15.A.Robots that can operate on batteries.B.Robots that are less expensive to build.C.Robots that can run quickly on four legs.D.Robots that have greater load capacity.16.A.Its influence on U.S.movies and TV shows.B.Its tough demands on overseas students.C.Its attempt to spread American culture.D.Its exclusion of American values.Questions17through20are based on the following conversation.17.A.He feels lonely living all by himself.B.He finds it hard to afford the rent all by himself.C.He wants to get help with his courses from his roommate.D.He need to find somebody to make the apartment more comfortable.18.A.The fridge is broken by a heavy box.B.The carpet in the living room is old and dirty.C.The toilet is blocked and the sink has a few leaks.D.The windows in the bathroom can keep the heat up.19.A.Attractive price. B.Convenient location.C.Relaxing atmosphere.D.Furnished bedroom.20.A.Offer a loan to the man. B.Find a job for the man.C.Help the man fix up the house.D.Look for another place.II.Grammar and VocabularySection ADirections:After reading the passage below,fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct.For the blanks with a given word,fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks,use one word that best fits each blank.Luxembourg makes all public transport freeOne square meter Luxembourg makes all public transport free.With a population of602,000, Luxembourg is one of Europe’s(21)(small)countries—yet it suffers from major traffic jams. But that could be about to change.As of March1,2020all public transport—trains,trams and buses—in the country is now free.The government hopes the move(22)(ease)heavy crowding and bring environmental benefits.Tiny country,big traffic(23)(landlock)Luxembourg which is surrounded by three countries is one of the richest countries in Europe.(24)(take)up2,586square kilometers,Luxembourg is roughly the size of Rhode Island.From the capital of Luxembourg City,Belgium,France and Germany(25)all be reached by car in half an hour.High housing costs,especially in Luxembourg City,mean more than180,000of the country’s workforce make regular journeys from those neighboring countries every day.Luxembourg is a very attractive place for jobs.But(26)“booming economy”and high concentration of jobs have led to crowding issues.In2016,Luxembourg had662cars per1,000people,and driving is a“primary means of transportation”for people.That year,drivers in Luxembourg City spent an average of33hours in traffic jams.It fared worse than European cities Copenhagen and Helsinki,(27)have comparable population sizes to all of Luxembourg—yet drivers in both only spent an average of24hours in traffic. Park and rides around Luxembourg’s borders in the three neighboring countries,however,will encourage commuters to use free mass transit.Free transport for allLuxembourg’s public transport system covers the whole country and costs$562million per year to run.The government is putting up the cost of it free so that the people can benefit from the good economy.People still hold the concern(28)making transport free may unintentionally prevent peoplewho would normally walk or cycle in urban areas.(29)a bus coming and they say,“We can get on and travel500meters(30)walking500meters,people seeit’s free”.However,thenew scheme can signal important changes ahead when it comes to Luxembourg’s reliance on driving.K.evident J.accompaniedI.limitations H.typical posed D.discomfort C.embarrassing B.regrettably G.delivered binationF.respectively The government might say,“It’s important that you throw away your car,and look,we made public transport free”—and maybe this is helpful given the enormous cultural shift we need.”Section BDirections:Fill in each blank with a proper word chosen from the box.Each word can be used only once.Note that there is one word more than you need.At the Oscars,Parasite Makes Best Picture HistoryAt Sunday’s Oscars,on a night when almost everything went as planned and as usual,the one true surprise came in the biggest moment of all.For the first time ever,a film in a foreign language won Best Picture when Bong Joon-ho’s Parasite ,a comedy-drama-thriller about class and secrets,took the big prize.Bong also won the awards for Best Director and Best Original Screenplay.He 31three warm and generous speeches,including one when he won for his directing and thanked fellow nominees (被提名的人)Martin Scorsese and Quentin Tarantino for inspiring him and contributing to the progress of his career,32.And,while he gave most of his speeches in Korean with interpreter Sharon Choi,when he won the first one,he stopped and noted in English:“This is very first Oscar to South Korea.”The affection in the room for the film was 33every time it was mentioned,as well as in its great competition of award.The evening began three and a half hours earlier with a(n)34of the old and the new:the kind of themed singing-dancing number that used to be the 35Oscars opening,but in the absence of a traditional host,it was performed by the thoroughly modern Janelle Monáe.A version of her own song Come Alive was 36by dancers dressed in costumes showing respect to black filmmakers.The speech that followed,however,was much more 37and unpleasant,despite the best efforts of Chris Rock and Steve Martin,the latter of whom 38blew the name of best actress nominee CynthiaErivo.The awards in general have been heavily criticized for how white the nominees are,the failure to nominate any women directors in a year when several made highly regarded films,and plenty of other lack of inclusivity.The Academy’s 39with that criticism seemed evident:There may not have been a lot of performers of color among the nominees,but there were a lot among the presenters and speakers and performers.Several presenters made mention of the 40at issue,which is the kind of thing that happens when people are placed in a situation they don’t want to ignore but also aren’t there to challenge too much.III.Reading ComprehensionSection ADirections:For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A,B,C and D.Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Facial-Recognition Technology Cannot Read EmotionsDo not believe claims that facial-recognition technology can accurately identify people’s emotions, advised several scientists at the2020AAAS Annual Meeting in Seattle.Such claims that a photo of a face can be easily41are based on a flawed theory that we smile when we are happy and scowl(沉下脸)when angry,said Professor Aleix Martinez.“There’s no way that technology will ever be able to detect42that you’re experiencing following that approach,”Martinez said.Research shows that,on average,people scowl only30%of the time that they are angry,said Lisa Feldman Barrett,professor of psychology at Northeastern University.The rest of the time,they make other faces when they are angry,she said.43,people may scowl for other reasons—“when they’re concentrating,when someone tells them a bad joke,”she said.“Any AI that is claiming to detect a scowl and interpreting it as anger has some real44.”So much goes into communicating our emotions beyond our45movements.Other factors involving little use of language include our body pose,body movement and hormone responses like those that cause one’s face to go red from embarrassment or46,said Martinez.Martinez offered an example of the importance of having enough information.For instance,when he showed people a photo of a47man with his mouth wide open and his eyes nearly closed,most thought the man was extremely angry,his research showed.Yet anyone viewing the context—that the subject was a soccer player—could48that he was displaying excitement while celebrating agoal.A mistake like this may not matter much,but so-called emotion-recognition technology has a larger reach.The technology’s49to incorporate facial movements could have serious,even dangerous outcomes,said Martinez.AI is sometimes used in classrooms,in the judicial(司法的)system and in hiring for jobs,he noted.Many of these systems learn from U.S.and European data50by white people.Such inputs could negatively impact,for instance,the hiring of candidates of other races, Martinez said.“I think we have to take seriously the51in which this AI is being used,”said Barrett.Seth Pollak,professor of psychology at the University of Wisconsin-Madison,shared research about the52of our ability to understand facial expressions and emotions.For several decades,scientists thought that infants arrived into the world with a little understanding about emotions,Pollak said.To the contrary,babies do not express53emotions.They have a distress system that broadcasts whether they are OK or not.Children learn about emotions beyond good or bad,and research shows that even with incredibly brief levels of exposure to contextual information,very young children start to change how they54their inferences about other people’s emotions.“Human brains are actually able to55patterns and make inferences about what might be happening at a sophisticated computational level with actually very little experience.”he said.41. A.recognized B.interpreted C.noticed D.realized42. A.emotions B.experiences C.incidents D.impacts43. A.Therefore B.However C.Anyway D.Additionally44. A.outlooks B.problems C.results D.mysteries45. A.body B.brain C.facial D.gesture46. A.disappointment B.unemotionality C.excitement D.shock47. A.red-faced B.long-eyed C.round-shouldered D.short-haired48. A.propose B.ensure C.indicate D.infer49. A.failure B.capability C.fight D.initiative50. A.dominated B.calculated C.concluded D.preserved51. A.approach B.direction C.context D.contest52. A.varieties B.differences C.resources D.origins53. A.specific B.internal C.strong D.uncomfortable54. A.pick B.categorize C.express D.expect55. A.take out B.bring out C.carry out D.figure out Section BDirections:Read the following three passages.Each passage is followed by several questions or unfinished statements.For each of them there are four choices marked A,B,C and D.Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Suddenly Uncle Henry stood up.“There’s a cyclone coming,Em,”he called to his wife.“I’ll go look after the stock.”Then he ran toward the sheds where the cows and horses were kept.Aunt Em dropped her work and came to the door.One glance told her of the danger close at hand.“Quick,Dorothy!”she screamed.“Run for the cellar!”Toto jumped out of Dorothy’s arms and hid under the bed,and the girl started to get him.Aunt Em,badly frightened,threw open the trap door in the floor and climbed down the ladder into the small,dark hole.Dorothy caught Toto at last and started to follow her aunt.When she was halfway across the room there came a great roar from the wind,and the house shook so hard that she lost her footing and sat down suddenly upon the floor.Then a strange thing happened.The house circled around two or three times and rose slowly through the air.Dorothy felt as if she were going up in a balloon.It was very dark,and the wind blew horribly around her,but Dorothy found she was riding quite easily.After the first few twists and turns,and oneother time when the house tipped badly,she felt as if she were being rocked gently,like a baby in a cradle (摇篮).Toto did not like it.He ran about the room,now here,now there,barking loudly;but Dorothy sat quite still on the floor and waited to see what would happen.At last she crawled over the swinging floor to her bed,and lay down upon it;and Toto followed and lay down beside her.In spite of the swinging of the house and the crying of the wind,Dorothy soon closed her eyes and fell fast asleep.56.What does the underlined word“cyclone”in paragraph2probably mean?A.deadlineB.floodC.monsterD.tornado57.Why did Aunt Em go into the hole in the floor when the cyclone approached?A.To find the puppy Toto.B.To find shelter from the cyclone.C.To protect their fortune.D.To get tools to help Henry.58.Which of the following is True about Dorothy?A.She managed to control the house.B.She found herself flying in a balloon.C.She turned baby crying loudly.D.She remained undisturbed with Toto.59.Which words can be used to describe Dorothy in the emergency?A.Afraid and brave.B.Curious and tired.C.Flexible and calm.D.Excited and thrilled.(B)The Apollo Missions"That's one small step for a man.One giant leap for mankind."—Neil ArmstrongApollo’s GoalsThe national effort that enabled Astronaut Neil Armstrong to speak thosewords as he stepped onto the lunar surface fulfilled a dream as old as humanity.Project Apollo’s goals went beyond landing Americans on the moon and returning them safely to Earth.Apollo13Apollo13has been called a“successful failure,”because the crewnever landed on the Moon,but they made it home safely after anexplosion crippled their ship.When the associated heater was turnedon during flight,the tank exploded depleting almost all of the powerfrom the command module and forcing the crew to use the lunarmodule as a lifeboat.Jim Lovell,Fred Haise and Jack Swigert camehome safely thanks to the mission control team’s improvised procedures and their own ability to implement them.(Launch:April11,1970;splashdown:April17)Apollo14Notable for the return of America’s first astronaut,AlanShepard,to space,Apollo14also was probably the smoothestlunar landing to that point.The crew spent more than ninehours outside the lunar module and set up a number ofexperiments.Shepard set a new distance record by walkingmore than9,000feet on the lunar surface,pulling a hand cartto carry their tools and samples(Launch:Jan.31,1971:lunar landing:Feb.5:splashdown,Feb.9)Apollo15For the first time,humans drove a car on the Moon.The first ofthe Apollo“J”Missions-designed for longer stays on the Moon—the mission carried a lunar rover,which Commander David Scottand Lunar Module Pilot James Irwin used while they were on thesurface for more than I8hours.They traveled more than17milesin the rover,setting up experiments and collecting170pounds of samples.Before leaving the lunar surface,Scott conducted an experiment to test Galileo’s theory that objects in vacuum,without air resistance,would fall at the same rate.He dropped a geological hammer and a feather,which hit the ground at the same time,proving Galileo right.(Launch:July26,1971,lunar landing:July30:splashdown:Aug.7)60.Why has Apollo13been called a“successful failure”?A.Apollo13finally exploded as planned in space.B.All the crew succeeded in landing on the Moon.C.The crew managed to escape from a severe accident and returned to Earth.D.The crew finished the experiment although they failed to land on the Moon.61.Which of the following is True according to the passage?A.It took five days for Apollo14to reach the Moon.B.The lunar rover was used as a lifeboat for space travel.C.Shepard tested Galileo’s theory successfully on the Moon.D.Apollo15remained in space for the shortest period of time.62.Which of the following column is this article most likely to be found?A.Booming ScienceB.Exploring the UnknownC.Mechanical WorldD.Transforming Moon(C)The story of chocolate begins with the discovery of America in1492.Columbus was the first European to come into contact with cacao.Columbus was struck by how much value the Indians placed on them as he did not know the beans were used by currency.It is unlikely that Columbus brought any of these beans back to Spain and it was not until about25years later that Cortez grasped the commercial possibilities when he found the Aztecs using the beans to make the royal drink“chocolatl”.The Spanish,in general,were not fond of the bitter drink so Cortez and his followers made it more palatable by adding cane sugar and later cinnamon and vanilla were added.Spanish monks let the secret out back home and,although the Spanish hid it from their neighbors for a hundred years,finally chocolate’s popularity grew until it was their fashionable drink at the French court and the wise choice of customers at London meeting houses.The cacao tree is strictly a tropical plant only in hot,rainy climates.Thus,its cultivation is limited to countries not more than20degrees north or south of the equator(赤道).The cacao tree is very delicate and sensitive.It needs protection from the wind and requires a fair amount of shade under most conditions. This is true especially in its first two or three years of growth.A newly planted young cacao tree is often sheltered by a different type of trees.It is normal to plant food crops for shade such as bananas,plantain, coconuts or cocoyams.Rubber trees and forest trees are also used for shade.Once established,however, cacao trees can grow in full sunlight,provided there are fertile soil conditions and intensive farming. With cutting and carful cultivation,the trees of strains will begin bearing fruit in the fifth year.With extreme care,some strains can be stimulated to produce good crops in the third and fourth year.The process of turning cacao into chocolate hasn’t changed much since the Swiss made the majorbreakthroughs in the process in the late1800s.First the beans go through a process of fermentation(发酵)and drying.They are then sorted by hand before cleaning and then roasting.Winnowing(风扬) follows which removes the hard outer layers and leaves what is as the“grains”.A crushing and heating process known as Hunte’s Process is then used to remove nearly half of the cocoa butter from the nibs. This makes unsweetened chocolate.Basic eating chocolate is made from a mixture of the unsweetened chocolate with some of the cocoa butter along with other ingredients such as sugar and vanilla.The resulting product is then“purified”and this purifying gives chocolate the silky texture that we know so well.The finished result is then shaped,cooled,packaged by machine,distributed,sold and of course, eaten!63.Why didn’t Columbus bring beans back to Spain at once when he found cacao?A.Because he couldn’t afford to buy the cacao bean.B.Because he didn’t know how to turn cacao bean into chocolate.C.Because he was not aware of the monetary value of cacao bean then.D.Because Spaniards then didn’t favour the chocolate that the Aztecs originally drank.64.The underlined word“palatable”in paragraph2probably means.A.affordableB.agreeableC.patentD.portable65.Which of the following is correct about cacao tree?A.Cacao trees need a lot of looking after to be used commercially.B.Cacao trees require hot,rainy climates and adequate sunlight.C.Cacao trees won’t produce fruit until the fifth year.D.Cacao trees can grow well in all continents.66.Which is the correct order of turning cocoa into chocolate?①The chocolate is reheated to melt it,put into patterns and then cooled to make its final shapes.②The beans are harvested on the farm.③Some cocoa butter is then obtained using Hunte’s Process to make cooking chocolate.④The cooking chocolate is then mixed with other ingredients to make the various types of eating chocolate available today.⑤The beans are winnowed after fermentation and drying and these two processes produce the grains.⑥The finished product is wrapped,sent to shops and then sold.A.②①③④⑤⑥B.②③①⑤④⑥C.②④⑤①③⑥D.②⑤③④①⑥Section CDirections:Read the following passage.Fill in each blank with a proper sentence given in the box. Each sentence can be used only once.Note that there are two more sentences than you need.A.If nothing else,the work suggests the extraordinary skills of the dog.B.The dogs weren’t able to see or smell the difference between these objects.C.But dogs’thermal detection skills may not be useful for long distance hunting.D.Most mammals have naked,smooth skin on the tips of their noses around the nostrils(鼻孔).E.Dogs track prey“not by sight or sound or smell,but by some other and subtler sense”.F.Together,the two experiments show that dogs,like vampire bats,can sense weak hot spots.New sense discovered in dog noses:the ability to detect heatDogs’noses are amazing.Not only are they up to100million times more sensitive than ours,they can sense weak thermal radiation—the body heat of mammalian(哺乳动物的)prey,a new study reveals. The find helps explain how dogs with damaged sight,hearing,or smell can still huntsuccessfully.“It’s a fascinating discovery,”says Marc Bekoff,an expert on dog sniffing(嗅探).“It provides yet another window into the sensory worlds of dogs’highly evolved cold noses.”The ability to sense weak, radiating heat is known in only some animals:black fire beetles,certain snakes,and one species of mammal,the common vampire bat,all of which use it to hunt prey.67.But the tips of dogs’noses are moist,colder than the surrounding temperature,and richly endowed with nerves—all of which suggests an ability to detect not just smell,but heat.To test the idea,researchers at Lund University trained three pet dogs to choose between a warm (31°C)and a surrounding-temperature object,each placed1.6meters away.68.(Scientists could only detect the difference by touching the surfaces.)After training,the dogs were tested on their skill in double-blind experiments;all three successfully detected the objects emitting weak thermal radiation.Next,the researchers scanned the brains of13pet dogs of various breeds while presenting the dogs with objects emitting neutral or weak thermal radiation.The left somatosensory cortex in dogs’brains, was more responsive to the warm thermal stimulus than to the neutral one.The scientists identified a group of14voxels(体素)in this region of the dogs’left brains,but didn’t find any in the right,and none in any part of the dogs’brains in response to the neutralstimulus.69.Also,a specific region of their brains is activated by this infrared(relating to a type of light) radiation,the scientists say.They suspect dogs inherited the ability from their ancestor,the gray wolf, who may use it to sniff out warm bodies during a hunt.“The study is consistent with other research that describes the combined dog nose and brain as a highly complicated platform for processing a broad range of signals,”says Gary Settles,a professor of mechanical engineering at Pennsylvania State University.“The dog nose can distinguish patterns of hot and cold objects at a distance,”he said.“70.That needs further study.”IV.Summary WritingDirections:Read the following passage.Summarize the main idea and the main point(s)of the passage in no more e your own words as far as possible.How Do Our Phones Affect Our Parenting?As a pediatrician(儿科医生),I have researched how mobile phone use affects family dynamics. The parent-child relationship is central to children’s social and emotional health and life success—yet I also see how more and more family interactions interrupted by mobile devices…including my own.My interest in the topic began in2010.I worked for a year as a pediatrician in the suburbs outside of Seattle.Many of the parents bringing in their sick kids worked at tech companies and were early adopters of mobile devices.During my training,I had gotten used to children playing with handheld gaming devices,but this was different:parents texted during health-related conversations(were they really processing what I was saying?);looked up medical information online to check my accuracy(was this a sign of parent anxiety?);and used videos to stop children from crying(this was pretty helpful during ear exams,but is it OK other times,I wondered?).I was fascinated by the cultural change America was experiencing with the rapid adoption of mobile devices.But as a pediatrician,I had no idea what to do about it.So when I moved to Boston for training in Developmental Behavioral Pediatrics,I decided to explore the topic in more depth.I started my research by observing families in fast food restaurants—and the results were pretty eye-opening:when parents’attention was highly absorbed in their smartphones,parents talked less to children;responded slower(or not at all)to child bids for attention;and sometimes overreacted to child behavior.Our more recent studies show that in the long-run,parent technology use during parent-child activities leads to more difficult child behavior—which in turn leads to more parent technology usage. It’s a vicious cycle:when kids stress us out,we often go to our phones for escape or to avoid interaction, and this interrupts time with kids or makes them annoyed,and they might react with difficult behavior, and so on.As a working mom of two young boys,I knew how this child-phone multitasking felt to me,but I wanted to hear what others thought.So I interviewed35parents from diverse backgrounds in Boston to understand their experiences.They told me they have never felt their brains split in so many directions —like all the matters of the world could intrude upon home time and“land in their lap”.They expressed both relief and despair when their phones were broken or lost,because while this made it easier to“single-task”on their kids again,they also felt cut off from friends and information.V.TranslationDirections:Translate the following sentences into English,using the words given in the brackets.。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海市青浦区高三二模数学试卷(精校Word版含答案)
2020年上海市青浦区高三二模数学试卷（精校Word 版含答案）（时间120分钟，满分150分） Q2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合U A =ð__________． 2．已知i 为虚数单位，复数2i z =+的共轭复数z =__________． 3．已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =__________． 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．5．双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．6．用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ．7．已知,0x y >且21x y +=，则11x y+的最小值为__________．8．已知平面向量a b r r ，满足(1,1)a =-r ，||1b =u u r ，|2|a b +=r r，则a r 与b r的夹角为_________．9．设{}1,3,5a ∈，{}2,4,6b ∈，则函数1()log baf x x=是减函数的概率为_________．10．已知函数()f x =，若存在实数0x 满足00)]([x x f f =，则实数a 的取值范围是_______． 11．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为__________．12．定义函数{}{}()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当()(0,]x n n N*∈∈时，函数()f x 的值域为nA ，记集合nA 中元素的个数为na ，则n a =_______．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的………………………………………（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………………………………………………………………… （ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 15．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=………………………（ ）． （A ）25+（B ）4（C ）3（D ）2216．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论： ①当0a ≥时，方程2()()10f x a f x --=在[]0,2π内最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程2()()10f x a f x --=在[]0,2π内有两个不等实根； ③若方程2()()10f x a f x --=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程2()()10f x a f x --=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是………………………………………………………………（ ）．（A ）②④（B ）①④（C ）①③（D ）①②③三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒． （1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++．（1）若函数()y f x =的图像关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值；（2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围．21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于无穷数列{}n a 、{}n b ，n ∈*N ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k a a a a a a b =-L L ，k ∈*N ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．其中{}12max ,,,k a a a L 、{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”． （1）若31n a n =-，求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L ，求所有满足该条件的 数列{}n a ．数学参考答案及评分标准 2020.05说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．[)2,+∞；2．2i -；3．32；4．2； 5．2；6．16π；7．3+； 8．34π； 9.23；10.14a ≤；11．10-；12.(1)2n n n a +=. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. B ； 15． D ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足， 所以1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角， 设1AB =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒，12AB ∴=，11BB AA ==，AC ==1136tan 22AA ACA AC ∴∠===∴ 16arctan 2ACA ∠= 1A C ∴与平面ABCD 所成的角的大小为6arctan （2）解一：如图所示：连接AC ，11AC AC Q ∥，1B CA ∴∠是异面直线1B C 与11A C 所成角， 112AB B C ==Q ，2AC =，22211112cos 2222B C AC AB B CA B C AC +-∴∠===⋅⨯⨯，12B CA ∴∠= 所以异面直线1B C 与11A C 所成角的大小的大小为2arccos4． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）()2π2sin sin cos 33f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q ()2sin 3sin cos 3x x x x x =++-()22sin 3cos 3x x x x =)222sin cos 3cos sin x x x x =- πsin 2322sin 23x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()ππ2π32a k k +=+∈Z Q ，ππ,212k a k ∴=+∈Z 又0a >∴Q a 的最小值为π12．（2）因为存在05[0,]12x π∈，使成立，所以()00f x ≠，即()()0002120πsin 23mf x m f x x -=⇒==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 00570,,212336x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦Q01sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭又0sin 203x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， 则(][),21,m ∈-∞-+∞U ．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∴()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩，∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立， 由①②可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：(1)由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b+=，得2b y a =±．由题意知221b a=，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设000(,)(0)P y y x ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-．联立得220014()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，整理得222222000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-= 由题意得0∆=，即2220000(4)210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=，所以0012120042111118y x kk kk k k k x y ⎛⎫⎛⎫+=+=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为8-． (3)设000(,)(0)P y y x ≠，又1(F，2F ，所以直线1PF ，2PF的方程分别为1000:(0PF l y x x y -=，2000:(0PF l y x x y -=．=．由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=．=．因为m <<，022x -<<=，所以034=m x ， 因此3322-<<m ．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）由31n a n =-可得{}n a 为递增数列，所以{}{}12121max ,,,min ,,,31233n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=--=-L L ，故{}n b 的前n 项和为()31(033)22n n n n -+-=（2）因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≤=L L L，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≥=L L L ，所以{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-L L L L 所以()11,2,3,n n b b n +=≥L又因为1110b a a =-=，所以{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b -=-=L L ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=-， 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 的数列{}n a 是： 1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩，．n ∈*N …………………………………………………14分经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=+++=++++-=+⎡⎤⎣⎦L L ， 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+. ………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的. 假设k a 是首次不符合1212,1,,2n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠L ， 由题设条件可得()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.高三数学 第11页 共11页 所以，所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212,1,,2,n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩，n ∈*N ．。
2020届上海市青浦区高三二模数学试题(解析版)
2020届上海市青浦区高三二模数学试题一、单选题1．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0b ≥时，一定有20a b +≥，而20a b +≥时，不一定有0b ≥，从而可得结论 【详解】解：因为20a ≥，0b ≥，所以20a b +≥，当20a b +≥时，若2,3a b ==-满足条件，但0b ≥不成立， 所以“0b ≥”是“20a b +≥”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题2．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数. 【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a =，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112b =，公比为12的等比数列.设n S 是前n 天两只老鼠打洞长度的和.第1天，1111131,,1222a b S ===+=；第2天，222131152,,24244a b S ===++=； 第3天，3331151634,,48488a b S ===++=；第4天，4418,16a b ==，4S 显然大于8.所以两鼠相逢需要的最少天数为4天. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →∞=（ ） A．2 B ．4C ．3D．【答案】D【解析】通过221441x nyn +=+的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），可得：()2cos x y θθθϕ+=+=+，从而max ()x y +=，求极限即可得解. 【详解】椭圆221441x ny n +=+的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） ，所以：()()2cos x y θθθϕθϕ+=++=+，所以：max ()x y +=，所以：lim lim n n n M →∞==故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.4．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a f x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210fx a f x --=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】先研究()f x 在[0，2]π内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10f x a f x --=两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．【详解】由已知得3sin ,[0,]()sin 2|sin |sin ,(,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，做出图象如下：由2()()10f x a x -=得：()4a a f x ++=4a a -+ 令1244a a a a t t ++-+=0a ，11t ∴，20t <（舍)． 原方程的根看成1y t =与()y f x =的交点的横坐标． 对于①，如图所示：因为11t ，当0a =时，11t =，y t =与()y f x =恰好有三个交点；当0a >时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，0a =时，有3个根，故②错误；对于③，如图所示，由题意，只能满足：1y t =只与()y f x =在[0，]π，[2π，3]π，[4π，5]π上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于59,,222x x x πππ===对称，所以六个根的和为：5922215222ππππ⨯+⨯+⨯=． 故③正确，④错误． 故正确命题的序号是①③． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．二、填空题5．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合UA_____________．【答案】[2)+∞，【解析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】解：因为全集U =R ，集合(,2)A =-∞， 所以UA [2)+∞，，故答案为：[2)+∞，【点睛】此题考查集合的补集运算，属于基础题6．已知i 为虚数单位，复数2z i =+的共轭复数z =______________． 【答案】2i -【解析】根据定义直接得到共轭复数即可. 【详解】根据共轭复数的定义得：2z i =-. 故答案为：2i -. 【点睛】本题考查共轭复数的概念，是基础题. 7．已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =_____________． 【答案】32【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()2f x -=的x 值，即求(2)f 的值．【详解】 解：13(2)122f =+=， 所以32x =. 故答案为：32.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，基础题.8．若()51ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 【答案】2【解析】【详解】试题分析：由题意3x 的系数是，解得.【考点】二项式定理的应用.9．双曲线2214x y -=一个焦点到一条渐近线的距离为______【答案】1【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】根据对称性，2214x y -=焦点坐标5),0F ，渐近线方程为12y x =，即20x y -=， 25112=+.故答案为:1 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.10．用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是___________2cm ． 【答案】16π【解析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积 【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm π， 3cm ， 因为球心到该截面的距离为1cm ， 221(3)2+=cm ， 所以球的表面积为24216S ππ=⨯=2cm ， 故答案为：16π【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题 11．已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】322+【解析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()3322y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即2x =时，取“=”)．又∵21x y +=，∴2121x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当21x =，212y =-时，11x y +有最小值，为322+．故答案为：322+ 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题. 12．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得221cos a b a bα⋅==-⨯⋅=因为0απ≤≤ 所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.13．设5{}13a ∈，，，6{}24b ∈，，，则函数()1b af x log x=是减函数的概率为_____________． 【答案】23【解析】由复合函数的单调性推出1ba>，即可利用古典概型概率公式进行计算. 【详解】{1,3,5},{2,4,6}a b ∈∈，∴基本事件总数339n =⨯=，函数()1baf x log x =是减函数，且函数1y x=在()(),0,0,-∞+∞上单调递减， 1ba ∴>，则函数()1b af x log x =是减函数包含的基本事件(),a b 有：(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6个，∴函数()1baf x log x =是减函数的概率为6293=. 故答案为：23【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题.14．已知函数()f x =0x 满足()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】14a ≤【解析】判断()y f x =在定义域内递增，结合条件可得()y f x =的图象与直线y x =有x =有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围． 【详解】函数()f x =[a ，)+∞递增，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，可得()y f x =的图象与直线y x =有交点，x =有解．(0)x x =，可得2x a x -=，即有2211()24a x x x =-=--+，而211()24y x =--+在[0，1)2递增，1(2，)+∞递减，可得211()24y x =--+的最大值为14，此时12x =，则14a，即a 的取值范围是(-∞，1]4．故答案为：14a ≤. 【点睛】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力．15．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的斜率，则ABC 的三个顶点的横坐标之和为_____________．【答案】10-【解析】设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则可得ABka b =+，BC k b c =+，AC k a c =+，不妨设AB k ，且直线AB 的倾斜角为α，可得tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭算出答案即可. 【详解】 设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则22ABa b k a b a b -==+-，22BC b c k b c b c -==+-，22AC a c k a c a c-==+-不妨设AB k =AB 的倾斜角为α 因为ABC ∆是等边三角形，所以tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭tan tantan tan1133221tan tan 1tan tan 33ππααππαα+-=⋅+⋅=-+故答案为：10- 【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题. 16．定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当*(0,]()x n n N ∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =_____________． 【答案】(1)2n n + 【解析】根据{}x 的定义，依次求出数列{}n a 的前5项，再归纳出1n n a a n -=+，利用累加法求出n a 即可 【详解】解：由题意得，当1n =时，由于(0,1]x ∈，所以{}1x =，所以{{}}1x x =， 则11{1},1A a ==，当2n =时，由于(1,2]x ∈，所以{}2x =，所以{{}}(2,4]x x ∈， 则22{1,3,4},3A a ==，当3n =时，由于(2,3]x ∈，所以{}3x =，所以{{}}(6,9]x x ∈， 则33{1,3,4,7,8,9},6A a ==，当4n =时，由于(3,4]x ∈，所以{}4x =，所以{{}}(12,16]x x ∈， 则44{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},10A a ==，以此类推，得1n n a a n -=+， 利用累加法得，(1)2n n n a +=， 故答案为：(1)2n n + 【点睛】此题考查了新定义，递推关系，累加求和的方法，考查推理能力与计算能力，属于较难题三、解答题17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小． 【答案】（1）6arctan（2）2． 【解析】（1）由1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足，得1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，由此能求出1A C与平面ABCD所成的角的大小.（2）由11AC AC∥，得1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，由此能求出异面直线1B C与11A C所成角的大小.【详解】解：（1）设1AB=，∵在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，160B AB∠=︒，∴12AB=，13BB=22112AC=+=，∵1A A⊥平面ABCD，A是垂足，∴1ACA∠是1A C与平面ABCD所成的角，∵1136tan22AAACAAC∠===∴16arctan2ACA∠=.∴1A C与平面ABCD所成的角的大小为6arctan（2）如图所示：连接AC，∵11AC AC∥，∴1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，∵112AB B C==，2AC=∴22211112cos24222B C AC ABB CAB C AC+-∠===⋅⨯⨯，∴12arccos4B CA∠=.∴异面直线1B C与11A C所成角的大小为2.【点睛】考查线线角和线面角的求法，中档题.18．已知函数()22sin sin 3x f x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若存在05012x π⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦，，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）12π；（2）(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．【解析】（1）用三角函数的降幂公式、辅助角公式将()y f x =化简，得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称轴可得到答案；（2）由02()m f x =，结合0x 得到01sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，再求0()f x 、m 的范围． 【详解】 （1）()22sin sin cos 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin cos x x x x x =++()22sin cos x x x x =)222sin cos cos sin x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()232a k k Z πππ+=+∈，,212k a k Z ππ∴=+∈ 又0a >∴a 的最小值为12π（2）()()0002120sin 23mf x m f x x π-=⇒==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 00570,,212336x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦01sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 则(][),21,m ∈-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查用三角函数公式进行化简、正弦型三角函数的图象和性质.19．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）1040；（2）120【解析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值． 【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=， ∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩， ∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk +为定值，并求出这个定值； （3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点()0M m ，，求m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）12118kk kk +=-，证明见解析；（3）3322-<<m ． 【解析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k 与P 的横纵坐标的关系，再由P 在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k 与P 的坐标的关系，进而可得1211kk kk +为定值8-；（3）设P 的坐标，由（1）可得焦点1F ，2F 的坐标，求出直线1PF ，2PF 的方程，由角平分线的性质，M 到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m 与P 的横坐标的关系，再由P 在椭圆上可得P 的横坐标的取值范围求出m 的范围． 【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y a b+=，得2by a =±．由题意知221b a=，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-． 联立得220014()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，整理得222222000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-= 由题意得△0=，即2220000(4)210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=， 所以001212004211111()()8y x kk kk k k k x y +=+=-=-，因此1211kk kk +为定值，这个定值为8-． （3）设0(P x ，00)(0)yy ≠，又1(F ，2F ，所以直线1PF ，2PF的方程分别为1000:(0PF l y x x y -=，2000:(0PF l y x x y -=．=．由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=．=．因为m <<，022x -<<=所以034=m x ， 因此3322-<<m ．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21．对于无穷数列*{},{},n n a b n N ∈，若{}1212max{,,,min ,,,}k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中1212max{,,}min{,,}k k a a a a a a 、分别表示12k a a a ，，…，中的最大项和最小项，已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列” （1）若31,n a n =-求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ． 【答案】（1）3(1)2n n -；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n ∈N ．【解析】（1）根据{}n a 为递增数列以及收缩数列的定义可得结果； （2）根据12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥以及不等式的性质可得1n n b b +≤，再根据收缩数列的定义可得结果； （3）在()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=中，令1,2,3n n n ===可得321a a a =≥，猜测12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解. 【详解】（1）由31,n a n =-可得{}n a 为递增数列， 所以1212max{,,,}min{,,,}n n n b a a a a a a =-131233n a a n n =-=--=-，所以12(033)3(1)22n n n n n b b b +--+++==. （2）因为12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥，所以12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +-≤-所以1212121121max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≤-，所以1n n b b +≤，又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b . （3）由()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，可知当1n =时，11a a =，当2n =时，121223a a a b +=+，则221b a a =-，因为210b b ≥=，所以21a a ≥， 当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得32133()a a a a -=-，即32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤相矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，所以由（）可得32a a =，符合， 猜想，满足()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，经验证左边121212(1)(1231)2n n n S S S na n a na a -=+++=+++++-=+， 右边1121(1)(1)(1)(1)()2222n n n n n n n n n a b a a a +-+-=+=+-12(1)2n n na a -=+， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述3n ≤的情况可知，3n ≤时是成立的， 假设k a 是首次不符合12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得121(1)(1)(1222)22k k k k k k ka k k a a a b +-++++-+-+=+， 即21212(1)(1)222k k k k k k k k ka a a a b --+-++=+（）， 若12k a a a ≤<，则21k b a a =-，所以由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾， 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）式化简可得21(1)()2k k k k a a a a --=-，所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾，若21k a a a >≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =，这与21k a a a >≥矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，所以所有满足条件的数列{}n a 的通项公式为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈.【点睛】本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.。
上海市青浦区2020届高三下学期第二次学业质量调研(二模)数学试题答案
时，
，即
，所以
；
当
时，
，即
若
，则
，所以由（*）可得
，与
若
，则
，所以由（*）可得
所以
与
同号，这与
矛盾；
若
，则
，由（*）可得
.
（*）， 矛盾； ，
猜想：满足
的数列 是：
．
…………………………………………………14分
经验证，左式
，
右式
.
………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14分）本题共 2小题，第（1）小题 6分，第（2）小题 8分.
高三数学 202005
解：（1）因为在正四棱柱
中，
平面
， 是垂足，
所以
是 与平面
所成的角，
设
，又正四棱柱
中，
，
，
，
，
∴
与平面
所成的角的大小为
（2）解一：如图所示：连接 ，
，
是异面直线 与
，
，
所成角，
青浦区 2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试
数学参考答案及评分标准
2020.05
说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标
准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当
考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难 度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果 有较严重的概念性错误，就不给分．
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2020年上海市青浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为A. 2B. 3C. 4D. 53.记椭圆围成的区域含边界为2，，当点分别在，，上时，的最大值分别是，，，则A. B. 4 C. 3 D.4.已知函数，关于x的方程有以下结论：当时，方程在内最多有3个不等实根；当时，方程在内有两个不等实根；若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为．若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集，集合，则集合______．6.已知i为虚数单位，复数的共轭复数______．7.已知函数，则方程的解______．8.若的展开式中的系数是80，则实数a的值是______ ．9.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是______．10.用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是______．11.已知x，且，则的最小值为______．12.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为______．13.设3，，4，，则函数是减函数的概率为______．14.已知函数，若存在实数满足，则实数a的取值范围是______．15.已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为______．16.定义函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在正四棱柱中，．求直线与平面ABCD所成的角的大小；求异面直线与所成角的大小．18.已知函数．若函数的图象关于直线对称，求a的最小值；若存在，使成立，求实数m的取值范围．19.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足，经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.已知椭圆的左、右焦点分别是，，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．求椭圆C的方程；点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线，的斜率分别为，，若，证明为定值，并求出这个定值；点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．21.对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”其中、分别表示，，，中的最大项和最小项．已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”．若，求数列的前n项和；证明：数列的“收缩数列”仍是；若，求所有满足该条件的数列-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：当时，成立．当，时，满足成立，但不成立．“”是“”充分不必要条件．故选：A．根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．2.答案：C解析：解，设大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列，，它们的前n项和分别为，，则，，是以1为首项，2为公比的等比数列，是以为首项，为公比的等比数列，，，令，即，解得，故选：C．将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列，，它们的前n项和分别为，，令，求n即可．本题考查了等比数列的前n项和，属基础题．3.答案：D解析：解：椭圆的参数方程为：为参数，，．．故选：D．先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：为参数，再由三角函数知识求的最大值，从而求出极限的值．本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．4.答案：C解析：解：由已知得，做出图象如下：由得：．显然，，舍．原方程的根看成与的交点的横坐标．对于，如图所示：因为，当时，，与恰好有三个交点；当时，分别有2个、1个、0个交点，故正确；对于，结合可知，时，有3个根，故错误；对于，如图所示，由题意，只能满足：只与在，，上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于对称，所以六个根的和为：．故正确，错误．故正确命题的序号是．故选：C．先研究在内的图象，求其值域，进而研究方程两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．5.答案：解析：解：由题知全集，集合，故，故答案为：．由补集的定义直接可以得出．本题主要考查的是补集及其运算，是道基础题．6.答案：解析：解：i为虚数单位，复数的共轭复数．故答案为：．复数的共轭复数．本题考查复数的共轭复数的求法，考查共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.答案：解析：解：函数，则方程的解．故答案为：．利用互为反函数的性质即可得出．本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：2解析：解：由题意可得，令可得故答案为：2由题意可得，，令可得，则有，从而可求本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础试题．9.答案：2解析：解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离：．故答案为：2．求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．10.答案：解析：解：用一平面去截球所得截面的面积为，小圆的半径为；已知球心到该截面的距离为1 cm，球的半径为：，该球的表面积是．故答案为：16．由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的截面小于的半径、球心到球的截面的距离与球的半径之间的关系，是基础题．11.答案：解析：解：由已知：，当且仅当时等号成立，则的最小值为，故答案为：．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：根据题意，设与的夹角为，又由，则，若，则有，解可得：，则；故答案为：．根据题意，设与的夹角为，由的坐标求出的值，进而由数量积的计算公式可得，计算可得的值，分析可得答案．本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．13.答案：解析：解：3，，4，，基本事件总数，函数是减函数，，函数是减函数包含的基本事件有：，，，，，，共6个，函数是减函数的概率．故答案为：．基本事件总数，由函数是减函数，得，利用列举法求出函数是减函数包含的基本事件有6个，由此能求出函数是减函数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．14.答案：解析：解：函数在递增，若存在实数满足，可得的图象与直线有交点，即方程有解．由，可得，即有，而在递增，递减，可得的最大值为，此时，则，即a的取值范围是故答案为：判断在定义域内递增，结合条件可得的图象与直线有交点，即方程有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围．本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：解析：解：设点，，，则，，，不放设，且直线AB的倾斜角为，又为等边三角形，则，．故答案为：．设出点A，B，C的坐标，根据题意，利用两点之间斜率的关系表示出横坐标与斜率的关系，再由三角形为等边三角形，得到另外两边的斜率大小，进而表示出，再由正切的和差角公式展开计算得答案．本题主要考查抛物线的性质，考查直线斜率的求法以及正切和差角公式的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：由题意得：当时，，所以所在的区间为，区间长度为n，取到的整数为，，，，共n个，所以，当时，有1个；当时，有2个；当时，有3个；，当时，有n个．所以时，共有个数．故．故答案为：．当时，，所以所在的区间为，区间长度为n，取到的整数为，，，，共n个，则由此可求得．本题考查新定义问题，注意分析所在的区间长度，从而确定的个数．考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．17.答案：解：设，在正四棱柱中，，，，，平面ABCD，A是垂足，是与平面ABCD所成的角，，．与平面ABCD所成的角的大小为．，是异面直线与所成角，，，，．异面直线与所成角的大小为．解析：由平面ABCD，A是垂足，得是与平面ABCD所成的角，由此能求出与平面ABCD所成的角的大小．由，得是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.答案：解：因为所以函数的图象的对称轴由下式确定：从而．由题可知当时，a有最小值；当时，，从而，则由可知：或．解析：先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将化成，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；根据的范围求出的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m的范围．本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．19.答案：解：由题意知，，为常数，，，，；由，可得，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当时等号成立，当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．解析：由题意知，，为常数，再由求得k，则可求，进一步求得得答案；由，可得，分段求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：由于，将代入椭圆方程，得．由题意知，即．又，，所以，．所以椭圆C的方程为．设，则直线l的方程为联立得，整理得由题意得，即．又，所以，故．又知，所以，因此为定值，这个定值为．设，又，，所以直线，的方程分别为，．由题意知．由于点P在椭圆上，所以．所以．因为，，可得，所以，因此．解析：由长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k与P的横纵坐标的关系，再由P在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线，的斜率分别为，与P的坐标的关系，进而可得为定值；设P的坐标，由可得焦点，的坐标，求出直线，的方程，由角平分线的性质，M到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m与P的横坐标的关系，再由P在椭圆上可得P的横坐标的取值范围求出m的范围．本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题．21.答案：解：由，可得为递增数列，所以，故的前n项和为；证明：因为，2，3，，，2，3，，所以，所以2，3，，又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是；由，可得当时，；当时，，即，所以；当时，，即，若，则，所以由可得，与矛盾；若，则，所以由可得，所以与同号，这与矛盾；若，则，由可得．猜想：满足的数列是：，经验证，左边，右边．下面证明其它数列都不满足的题设条件．由上述时的情况可知，时是成立的．假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得，若，则由式化简可得与矛盾；若，则，所以由可得，所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由化简可得．这与假设矛盾．所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，．解析：判断为递增数列，由“收缩数列”的定义求得，再由等差数列的求和公式，可得所求和；由题意可得，2，3，，，2，3，，推得2，3，，结合“收缩数列”的定义，即可得证；由题意计算，，，猜想：满足的数列是：，再由反证法，通过推理论证得到矛盾，即可得到结论．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查列举法和反证法的运用，以及化简运算能力、推理能力，是一道难题．。