2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料
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【考研数学】2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数笔记小结
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
D2_4隐函数
例9. 设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1) 求
dx
解
2t 2 dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
dx dx
dx
2
由(1)(2）得 H (x, dy ) 0 3
解(3)得
dy d x dx
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对方程 F(x, y) 0若能确定可导隐函数x g y,即有 F(g y, y) 0
我们把左边视为复合函数
u F(x, y) x g y,
复合后u是以y为自变量的函数且 u y 0, 故
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln y sin x ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
注: 这是处理幂指函数导数的重要方法还有别的
方法吗?
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2) 有些显函数求导
例6
的导数！
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一、隐函数的导数
对方程 F(x, y) 0
若能确定 以x 为自变量的函数 y f x,或确定以y为 自变量的函数 x g y. 假设它们可导情况下如何求它们
的导数。 在这里我们假定所给方程能确（隐）函数且可导。
至于方程满足什么条件能确定（什么样的隐）函数， 以及什么条件时可导我们下册探讨。
D2_4隐函数
高等数学
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15
思考:当气球升至500 m 时停住 , 一观测者以100 m／min 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m
时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
方法2 等式两边同时对 y 求导
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23
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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20
高等数学
3. 设
由方程
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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14
例10. 一气球从距离观察员500 m 处从地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
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10
(t ) 0 时, 有
x a (t sin t ) 例7. 求摆线 在t 处的切线方程. 2 y a(1 cos t ) dy 解 dy a sin t sin t d t a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1. t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a. 所求切线方程为 2 2
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15
思考:当气球升至500 m 时停住 , 一观测者以100 m／min 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m
时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
方法2 等式两边同时对 y 求导
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23
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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3. 设
由方程
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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14
例10. 一气球从距离观察员500 m 处从地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
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10
(t ) 0 时, 有
x a (t sin t ) 例7. 求摆线 在t 处的切线方程. 2 y a(1 cos t ) dy 解 dy a sin t sin t d t a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1. t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a. 所求切线方程为 2 2
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
2.4隐函数求导
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
思考与练习
d y t f ′′(t) =t, = 解: f ′′(t) dx
练习: 练习 112 题8(1) 解:
dy −1 = ; dx t
d y = 2 dx
2
1 t2
1 = 3 t t
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 1π R2h − 1π r 2 (h − x) = π R [ h3 − (h − x)3 ] 3 3 3h2 两边对 t 求导 r h− x = dV π R2 dV h = 2 ⋅ (h− x)2⋅ dx , 而 = 25 (cm3 s)R h− x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h − x)
y& x& ψ′′(t)ϕ′(t) −ψ′(t)ϕ′′(t) &&x − &&y = = 3 x3 ϕ′ (t) &
注意 : 已知 例4. 设
×
2
?
x = f ′(t) d2 y . , 且 f ′′(t) ≠ 0,求 y = t f ′(t) − f (t) d x2
2.4 隐函数的导数
由方程求得： 当 x 0 时，y 0 ，
dy dx 1 21x 6 5 y4 2
x 0 y 0
x 0
1 . 2
x2 y2 3 例5 求 椭 圆 1 在 点 ( 2， 3 ) 处 的 切 线 16 9 2 方 程.
解
方程两边对 x 求导: 9x x 2y ， y 0 ， 求 得 ： y 16 y 8 9
解 方程两边对 x 求导：
( xy)x (e x )x (e y )x (0)x ，
dy x y dy y x e e 0， dx dx
解得
dy e x y . y dx x e
y 例3 求 由 方 程 arctan ln x 2 y 2 所 确 定 的 x 隐 函 数 y 的 导 数.
2
解
2 t f ( t ) d y dy 1 . t， 2 f ( t ) d x dx f (t )
练习： P111 题8(1).
1 2 x t ， 解 2 y 1 t .
1 2 1 dy 1 d2 y t ； 3. 2 t t dx t dx
3 (2， 3 ) 2
k y
3 ， 4
3 3 3 ( x 2)， 所求切线方程为 y 2 4
即
3 x 4y 8 3 0 .
1 例6 求 由 方 程 x y sin y 0 所 确 定 的 隐 函 数 2 d2 y 的二阶导数 2 . dx x 求导: 解 方程两边对 dy 1 dy 1 cos y 0， dx 2 dx dy 2 求得： ， dx 2 cos y
解 两边对 x 求导： 1 y 1 1 2 2 ( ) 2 ( x y ) ， 2 y 2 x 2 x y 1( ) x 1 yx y 1 2 x 2 yy ， . 2 2 2 y 2 2 x y x 1 ( ) x x y y . 化简得 yx y x yy ， 即 x y
高等数学(第五版)2-4 隐函数求导,参数方程求导,相关变化率
d 0.14(弧度 / 分) dt
dt
例10. 球体受热膨胀，当球半 R 10厘米时， 径 球半径的增加速度是2厘米 / 秒.求此时球体积 V的增加速度?
解:
4 3 V R , V、R都是 t的函数， 3
等式两边对t求导，得
dV 4 3 dR 2 dR ( R )R 4R dt 3 dt dt
2 x 2 y y 0 x
dy x dy 3 解得 . （3，） . 4 dx y dx 4
例2. 设曲线C的方程为 x y 3 xy, 求过C上
3 3
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解: 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3( y xy)
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 给定参数方程 , y (t ) 把对应于同一个的x与y联系起来, 就得到 x与y t
的函数关系.
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
v2 g 2 x 2 x . 消去参数 t 得 y v1 2v1
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
4.相关变化率问题* 列出依赖于 t 的相关变量关系式
两边对 t 求导 相关变化率之间的关系式
(t 2nπ, n为整数)
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则 垂直分量为
v1 (v2 gt )
2
y
2
vy
v vx
dy dy d t dx dx
dt
例10. 球体受热膨胀，当球半 R 10厘米时， 径 球半径的增加速度是2厘米 / 秒.求此时球体积 V的增加速度?
解:
4 3 V R , V、R都是 t的函数， 3
等式两边对t求导，得
dV 4 3 dR 2 dR ( R )R 4R dt 3 dt dt
2 x 2 y y 0 x
dy x dy 3 解得 . （3，） . 4 dx y dx 4
例2. 设曲线C的方程为 x y 3 xy, 求过C上
3 3
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解: 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3( y xy)
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 给定参数方程 , y (t ) 把对应于同一个的x与y联系起来, 就得到 x与y t
的函数关系.
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
v2 g 2 x 2 x . 消去参数 t 得 y v1 2v1
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
4.相关变化率问题* 列出依赖于 t 的相关变量关系式
两边对 t 求导 相关变化率之间的关系式
(t 2nπ, n为整数)
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则 垂直分量为
v1 (v2 gt )
2
y
2
vy
v vx
dy dy d t dx dx
2-4隐函数的求导法则.
·复习初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.·引入前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法.·讲解新课第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数一隐函数的求导法把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数．把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化.如将方程x+y-1=0化成y=隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数．例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y'解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得yy'x=-y(x+ey≠0). yx+edy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y，它的导数含有y．例2 求方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0的导数dy． dxx=0解：将方程的两边同时对x求导，得5y4dydy+2-1-21x6=0， dxdxdy1+21x6所以． =4dx5y+2当x=0时，由方程y5+2y-x-3x7=0得y=0，所以二对数求导法形为y=u（其中u、v都是x的函数）的函数叫做幂指函数．在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数。
可以用对数求导法来求着两类函数的导数。
所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。
2.2.4 参数方程、隐函数的导数
2x 2 y b2 x 证明： 2 − 2 y′ = 0 ， y′ = 2 ， 证明 a b a y
∴ 过点 P0 的切线斜率为 k = y′
2
x = xo y = yo
b 2 xo = 2 ， a yo
b xo 所求的切线方程为: y − yo = 2 ( x − xo ) . 所求的切线方程为: a yo
π
dθ dt
θ=
π
3
= −0.075 rad / s .
增加而减少。 负号表示 θ 随时间 t 增加而减少。
16
参数方程、 参数方程、隐函数的导数及相关变化率
求相关变化率的步骤： 求相关变化率的步骤
（1）建立变量 x , y , L 之间的关系式 F ( x , y , L) = 0 ； ）
求导（ （2）将关系式 F ( x , y ,L) = 0 两边对 t 求导（注意到 ） 的函数） ，从而得各变量对 x , y , L 都是 t 的函数） 从而得各变量对 t 的变 ， 化率之间的关系式； 化率之间的关系式；
4
参数方程、 参数方程、隐函数的导数及相关变化率
例 1．求由方程 x + y = e ．
2 2
arctan
y x
dy( x + y ) = arctan , 2 x
dy dy dy dy 2x + 2 y x − y x+ y x −y 1 1 dx = dx = dx ⋅ ⋅ dx 2 , , 2 2 2 2 2 2 y 2 2 x +y x x +y x +y 1+ ( ) x
（3）由导数的几何意义求出两条心形线在交点处的切线的 斜率 k1 和 k 2 ；
隐函数及其参变量函数的求导方法
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用 参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),
y
(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不 妨为 设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称 函 为 .数 隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、 方除 、、 开乘 方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用 参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),
y
(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不 妨为 设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称 函 为 .数 隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、 方除 、、 开乘 方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？
2-4隐函数的导数由参数方程所确定的
可知
yx
(t ) ，对吗？ (t )
( (t ) 0)
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思考题解答
不对．
yx
d dx
yx
dyx dt
dt dx
(t) 1 (t) t (t)
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练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确定了y 是x 的函
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
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例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 方程两边对x求导, ( xy) (e x ) (e y ) 0
( xy) ( x) y x( y) y xy
第四节 隐函数的导数 由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率 五、小结 思考题
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一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
例1
x2 y2 1
y 1 x2，称为显函数. 或 y 1 x2 .
y) (1 12 y2
y)
返回
例4 设 x4 xy y4 1, 求y. 解2 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
y
将方程两边再对 x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
数，则 dy dx
=________，d 2 y
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例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
消去参数 t 得
y v2 v1
g x 2v12
x2.
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
x (t)yΒιβλιοθήκη (t, )t
设x (t)具有反函数t 1( x),
则 y [ 1( x)]
x
1
y
x对应y的函数可看作由x对应t的函数和
t对应y的函数复合而成.
由已知变化率求出未知的变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时, 观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加率 是 多 少?
解: 设气球上升t分钟后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为, 则 tan h
500
500米 h
、h都 是 时 间t的 函 数 ，
1.
33 (,)
22
所求切线方程为
y 3 (x 3)
2
2
即x
y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y x,
显然通过原点.
例 3 求由方程 x y 1 siny 0所确定的隐函数y的 2
二阶导数d2 y dx 2
.
（隐函数求二阶导数）
解: 方程两边对x求导，得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
上式两边对x求导，得
y y ( v ln u v u ) uv ln u v v uv1 u. u
或者，把u( x)v( x) 化为elnu( x)v( x)求导也可得相同 结果。
上例，[(sin x)x ] (elnsin xx ) elnsin xx (ln sin x x)
dt
dy
dx
t 2
cot 4
1.
当
t
时,
x
a(
1),
y
a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1). 2
例7.
求摆线
x y
a(t sin t)所确定的函数y a(1 cos t)
y( x)
的二阶导数.
dy
解:
dy dx
dt dx
cot
t 2
dt
d2 y dx 2
d( dy ) dx dx
上式两边对t求导得 sec2 d 1 dh 500米
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例1
设
x2
y2
25， 求
dy dx . （3，4）
解: 法(1) 几何方法; 法(2) 隐函数化为显函数;
法(3) 隐函数直接求导
x2 y2 25
方程两边同时对x求导（，注意 y是x 的函数）
2x 2 y yx 0
解得
dy x . dx y
dy
3
dx （3，4） 4 .
例2. 设 曲 线C的 方 程 为x3 y3 3xy,求 过C上
点( 3 , 3)的切 线方程, 并证 明曲线C在该 点的法 22
线通 过原点.
解: 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3( y xy)
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
)x
1 x
1
y x 1 3( x 1) x 4
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
3(
1 x
1)
x
2
4
1]
二、由参数方程所确定的函数的导数
给
定参数
方
程
x y
(t) ,
(t)
如果把对应于同一个
t的x与y联系起来，得到x与y之间的函数关系，
就称其为由参数方程所确定的函数。
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
显函数 隐函数
因变量用自变量的表达式表示。
如 y x2.
因变量与自变量的对应关系用 一个方程表示的函数。
如 x y 1，e y xy e 0.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
(sin x)x (ln sin x x cot x).
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ，求 ( x 4)2 e x
y.
解: 等式两边先取绝对值再取对数得
ln y ln x 1 1 ln x 1 2ln x 4 x 3
上式两边对 x求导得
1 y 1 1
2
( ln
x
dy
1
2
dx 1 1 cosy 2 cosy
2
d2 y dx 2
0 2(2 cos y)x (2 cosy)2
2siny dy dx
(2 cosy)2
4siny (2 cosy)3
.
取对数求导法
例4. 设 y (sin x)x (0 x ), 求y.
错解: y x(sin x)x1 (sin x) x(sin x)x1 cos x y (sin x)x ln sin x (sin x) (sin x)x ln sin x cos x
对
x
求导!）
d2y dx2
d( dy ) dx dx
d( dy ) dt dx dx dt
（ dy 用参数t表示，再次运用参数方程求导公式） dx
例6
求 摆 线
x y
a(t sint) 在t a(1 cos t)
2
处 的 切 线 方 程.
dy
解: dy dx
dt dx
a sint sint cot t a(1 cos t) 1 cos t 2
解: 等式两边取对数得 ln y x lnsin x
上式两边对x求导得
1 y
y
ln
sin
x
x
1 sin
x
cos
x
y y(lnsin x x cot x)
(sin x)x (ln sin x x cot x).
一般的，幂指函数y u( x)v( x) (u( x) 0) 求导. 等式两边取对数得 ln y v( x) ln u( x)
dy
dy dx
dy dt dt dx
dy 1 dt dx
(t) (t )
即
dy dx
dt dx
注意
dy
dt 也是用参数t表示.
dx
dt
参数方程的求导公式
若 函 数
x y
(t )二 (t)
阶
可
导,
（设 d y dx
h(t)）
d2y d x2
h(t
)（
d d
2y x2
是
d d
y x
d(cot t ) 2
dx dt
dt
csc2 t 1 22
a(1 cos t)
1 a(1 cos t )2
(t 2nπ, n为整数)
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
之间也有联系
称为相关变化率 问题：已知其中一个变化率如何求出另一个变化率? 方法： 先找出相关变量的关系式
两边对 t 求导 相关变化率的关系式