物理学教程(第二版)09-5电势 (新)

)
关系式很重 要是计算题 目的依据.
定义：静电场中a、b两点的电势差Vab 在数值 上等于把单位正试验电荷从a点移到b 点时静电场力所作的功。
在原子、核子物理中，电子、质子 的能量常用电子伏特为单位：
1eV＝1.602×10－19
(J)
二、电势的计算 1.
点电荷的电势
(也是计算大块连续带 电体电势的基础工具)
负电荷在a 移动到b 的过程中：
问题：
＋
b
E
·
·
q a
－
非均匀电场E 中有a、b 两个点，一个正试验电荷q 从a 移到b 的过程中，电势能是增加的，则: （1）标出电场强度的方向， （2） a、b 两点哪一点的电势高？ （3）a、b 两点哪一点的电场强度来得强？
分析：正试验电荷q 从a 移到b 的过程中电势能 增加，说明在该过程中是克服电场力作功的。
0
R
（2）电场强度不为零的点，电势也一定不为零。
+q
L
P
·
E －q E+ q
－
q
×
P 点在两个异性点电荷的中间
则 ： E P ＝ E + ＋ E- ≠ 0
而在两个异性点电荷中间P点的电势
V = 4ε L π
0
q
＋
π 4ε L
0
－q
＝0
（3）电势为零的点，电场强度也一定为零。 （4）电势在某一区域内为常数则
rb
j
·
b
j
dl
q0
ra a ·
E
在静电场中，电场力对试验电荷作功与路径无关是静电 场的一个重要性质,也说明了静电场力是保守力，静电场 是保守场。(可以与重力相类比)
对于由n 个点电荷所组成的电场有：
1 W =Σ1 π ( ria i 4ε
n
O ＝ O
qq
rib )
1
如果试验电荷从a点出发 经过bcd 再回到a点则有
∞
或
E a = Wab = q
0
( 其中设b为零势能点 )
E . dl
b
a
定义：电荷qo 在电场中某点处的电势能在数值上
等于将它从该点移动到零电势能处电场力所作的功
。
9-6. 电势 （描述静电场的另一个重要物理量）
一.电势
Wa Va = q = a E . d l
8
0
电势是一个标量
电势的物理意义
带电体上的电荷是连续分布的，可 以无限细分为无限多个电荷元，视 为点电荷，每个点电荷在电场中某 一处的电势为：
q
P
r
dV = 4 ε r π
0
dq
·
然后将无限多个点电荷在电场中某一处的电势 贡献加以求积分，进行电势的叠加（标量叠加）
V = 4ε r π
0
dq
q 1 = q 2 = 4.0 × 1 0 8 C 例题: 已知 q = 4.0 × 10 8 C r = 0.10 m ， 试求：将电荷q 从a点移到b点静电场力 所作的功。 q q q
A
第九章5-6节
60
0
R
S
dl
B
电 势 电势能
r
h
经典力学中，保守力（重 力、弹性力、万有引力） 静电场中静电场力是否也是保守力？ 能否也能引入电势能呢？
都能引进相 应的势能
§9-5 静电场的环路定律
电势
当带电体在静电场中移动时，静电场力 对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
一.静电场力的功
局部放大图 r r
三.
电势能 E E a E b = Wab = q
0
E . dl
b
a
静电场力对电荷qo所作的功等于 静电势能的改变量。 重要结论：静电场力作功电 势能减少。外力克服静电场力 作功，则电势能增加。 问题：
－
b
rb q ra
j
b · dl q0 a ·
j
E
· ·
a
E
－q
电势能增加 ＋ 还是减少？ 增加
q
· · · ·
q q
o
a
q
（1）0点的电场强度
p
在0点各个电荷的电场
强度叠加，相互抵消
（2）0点的电势
Eo = 0
q
电势ห้องสมุดไป่ตู้标量。在0点各个电荷的
电势叠加为它们量值的代数和
· · · ·
q q
o
a
a
q
V ＝4×
o
q
π 4ε
o
2 a 2
＝
π a ε
o
2q
（3）将试验电荷qo从无穷远处移到0点，则电场
0
dq
q = π x 1 4 ε ( +R )
2 2 o
2
例题：求一均匀带电球面内外的电势。 已知：q 、 R 。
1.
r≤ R
8
r
（均匀带电球面内部）
Vp = E . dl
= 0+
=
2.
8
R
= r E 内 . dl + E 外 . dl R
R ∞
+
0
q
R
π 4ε R
0
q
4πε r dr
（1） ∴电场强度的方向向右 （2） a、b
左端为＋、右端为－。
两点中b点的电势高（看电场线的走向） （3） b点的电场强度来得强（看电场线的疏密）
一般在理论计算时，取无穷远处为电势能的零点 在实际问题中有时选择地球表面为零势能点。
a 点的电势能为： E a = Wa∞ = q
0
E . dl
a
场强分布曲线
E
∝ 12
r
0
R
r
电势分布曲线
V
∝1 r
0
R
r
选择题： （1）电场强度为零的点，电势也一定为零。 × （2）电场强度不为零的点，电势也一定不为零。 （3）电势为零的点，电场强度也一定为零。 （4）电势在某一区域内为常数，则电场强度 在该区域内必定为零。
（1）
Q E＝0
0
均匀带电为Q 的空心球面： 球面内的电场强度E 处处为零 球面内的电势V 等于球表面的 电势而不是等于零的。 Q V = 4ε R π
：
a
l q E . d l = 0
0
·
E
则:
其中q0 不会=0
电场强度环流
l E . d l = 0
二.场强环流定律：
l E . d l = 0
在静电场中，将单位正电荷沿任意闭合 路径绕行一周，静电场力对它所作的功为零
静电场力的功和作功的路径无关， 静电力是 一保守力，因此可以引入势能的概念。
×
（理由同上）
电场强度在该区域内必定为零。
√
例题：如图所示，有一个点电荷q＝10-9C，A、B、C 三点分别距该点电荷10cm、20cm、30cm若选B 点的电势为零，则分别求出A点和C点的电势。 q 解： 由： V = π 4ε r
0
q
＋
A
可以求出：A点电势V＝90V B点电势V＝45V
C点电势V＝30V
分析：由高斯定理
s E . dS = E . dS + E . dS
半球面 圆面
=0
A
j
60
0
= －j圆面= － E · S 半球面
S E
= －Eπ R
2
cos 60
0
B
2 1 = －－Eπ R 2 通过半球面的电场强度通量
如果沿着半球面的底面将电荷q 从 A 移到B ， 则电场力作的功是多少？ 因为静电场力作功与路径无关，所以有： WAB弧 = W AB = q E . dl
O
dr
j
dW =F . d l = q E .d l
0
dl
b ·
j
= q E dl cos j
0
qq = q E dr = π r 2 dr 4ε
0 O
rb q
dl q0
j
W = 4ε π
qq
O
O

rb ra
dr
r = 4 ε ( ra π
2
O O
qq
1
1
E
rb )
ra
a ·
结 论
试验电荷qo在静电场中从一点沿 任意路径运动到另一点时，静电场 力对它所作的功仅与试验电荷qo以 q 及路径的起始点和终了点的位置有 关，而与该路径的形状无关。
8 8
= E . dl
8
p
1
+ E . dl
8
p 2
+
r2 q2
.P
r1 q1
= V1 + V2 + V3 +
=Σ Vi
对于点电荷系： q2 q1 V = 4 ε r1 + 4 ε r2 + π π
0
0
V =Σ 4 ε r π i
0
qi
物理量电势是标 量,只要代数和.
3.
连续带电体的电势
dq
0
例题：求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。 已知：q 、 R 、 x 。
分析：无限细分为无限多个电 荷元，视为点电荷，每个点电 荷在电场中P点处的电势为：
dq
R
0
dV = 4 ε r π
0
dq
·
x
r
然后将无限多个点电荷在电场中P点处的电势贡 献加以求积分，进行电势的叠加（标量叠加）。
·x
P