最新第十三届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛全国通用汇总

2008年第十三届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛全
国通用
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第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）
一、填空（每题10分，共80分）
1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .
2. 已知新北京×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式
)(1
)(运奥新
京新北+⨯+
+= . 3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是 .
4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.
5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .
6. 当x 取相反数时,代数式ax +bx 2对应的值也为相反数,则ab 等于
.
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7. 已知06)3()9(22=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程,如果m a ≤,那么m a m a -++的值为 .
8. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.
二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)
9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？
10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?
11. 下图中,E,F 为三角形ABC 边上的点,CE 与BF 相交于P. 已知三角形PBC 的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC 及四边形
,
求三角形EBP 的面积.
12. 现有代数式x +y , x -y , xy 和 y
x
,当x 和y 取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?
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三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)
13. 对于某些自然数n , 可以用n 个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形. 例如, n =10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n .
14. 对于有理数x ,用[x ]表示不大于x 的最大整数, 请解方程
025********=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+y y
第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛
决赛试题参考答案（初一组）
一、填空（每题10分，共80分）
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9. 答案:20,21,22.
解答: 设最小角为x , 最大角为4x , 另一个角为y . 则由题目的条件得
1804=++x y x , x y x 4≤≤, 904 x ①
由
①的前两个式子得到: x x y x x 918046≤=++≤, 解得3020≤≤x ; 又由①的第三个式子得到5.22 x , 所以2220≤≤x .
评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.
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10. 答案:10.
解答: 设有n 只猴子, 小明留给自己p 个桃子. 每只猴子分到了4p 个桃子. 则
pn p 4164=-, 所以p 是4的倍数, 令14p p =, 则n p p 11441=-, 141p -是4的倍数.
令141+=k p , 则n k k )14(4440+=-, k
k
n 4110+-=
, 因为n 是正整数, 所以0=k . 当0=k 时, 10=n .
评分参考: 1)给出p , n 的关系给3分; 2)得到n, k 的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.
11. 答案: 4
解答: 设三角形EBP 的面积为X , 连接AP . 若令三角形APF 的面积为Y , 则三角形AEP 的面积为Y X -. 因为
Y X S S S S APF FPC BFA BCF :::==∆∆∆∆, )(:::Y X X S S S S AEP EBP AEC BCE -==∆∆∆∆
而BCF BCE S S ∆∆=, X X X S S AEC BFA 2=+==∆∆, 所以有)(::Y X X Y X -=, 解得2
X Y =, 即1:22
:
2:)12(:==+=∆∆X
X X X S S BFA BCF , 所以X =4. 三角形EBP 的面积为4. 评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X 与Y 的关系给4分; 3)得到答案给4分.
12. 答案: 21=
x , 1-=y , 2
1
-=x , 1-=y . 解答: 首先必须0≠y , 否则
y
x
没有意义. 若y x y x -=+, 则0=y , 矛盾. 所以
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y x y x -≠+. 若0=x , 则由xy y x =+, 或xy y x =-都得到0=y , 所以0≠x , 即
0≠xy . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) y
x
xy y x =
=+. 由后一等式得到, 1=y 或1-=y , 而1=y 是不可能的, 因为此时由第一个等式得到x x =+1, 矛盾. 当1-=y 时, 由第一个等式得到x x -=-1, 即
12=x , 所以2
1=
x . (2) y
x
xy y x =
=-. 由后一等式同样得到, 1=y 或1-=y , 同样, 1=y 是不可能的, 而当1-=y 时, 由第一个等式得到12-=x , 所以2
1
-=x .
评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.
解答: 设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为c b a ,,的等国三角形的角而得到, 其中c b a ,,为正整数, 并且满足1≥≥≥c b a , b a l + .
又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是2)12(531x x =-++++ . 因此, )(2222c b a l n ++-=, 其中3≥l , b a l + ,
1≥≥≥c b a .
(1) 3=l 时, n 可以为639)111(32222=-=++-.
(2) 4=l 时, n 可以为10616)112(42222=-=++-. 13316)111(42222=-=++-. (3) 5=l 时, 与上面不同的n 可以为
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141125)113(52222=-=++-, 16925)122(52222=-=++-. 19625)112(52222=-=++-, 22325)111(52222=-=++-.
(4) 6=l 时,与上面不同的n 可以为
181836)114(62222=-=++-, 251136)113(62222=-=++-. 241236)222(62222=-=++-, 27936)122(62222=-=++-. 30636)112(62222=-=++-, )111(62222++-=36-3=33.
(5) 7=l 时, 与上面不同的n 都比27大. (6) 8≥l 时, 可以证明满足要求的n 都不小于26.
由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n 为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25
评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.
14. 答案:3
10
-
=y 或10=y . 解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以y 3是整数. 注意到
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2512512525222y y y , 代入方程, 得到025********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y y , 02510312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+
y y . 所以103y
是整数, y 3是10的倍数. 令k y 103=, k 是整数, 代入得
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+=94941941259100102222k k k k k k k ,
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其中, 对于有理数x , {}x =[]x x -. 所以有⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=-+9494122
k k k , 094112≤-+-k k . 当k 取不同整数时, 9
412
k k -+的情况如下表:
K 的可能值是1-和3, 相应的3-=y 和y =10. 代入验算得到3
-=y 或10=y . 评分参考: 1) 得到
10
3y
是整数给3分; 2)得到关于k 的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.。