有限元课程PPT第5章

基函数矩阵
形变列阵（广义应变列阵）
（5-17）
写成5块 其中
（5-18）
2．单元刚度矩阵和单元荷载向量 虚功方程 （5-19） 左半中 ，
单元刚度阵
（ 5-20 ）
其中
称为单元刚度矩阵元素（块） （5-21）
（具体表达式可见华东水利学院弹性力学问题的有限单元 法（1974版）） 虚功方程右半
在三个方向的分量，左上标 为初始态， 这里 为
表示壳单元状态,
为最终态。
方向余弦的增量， （5-66）
分量
能通过节点K处的旋转来表达，一个有效的方法 的单位向量 （5-67） 和 ：
是定义两个正交于
其中ey为y方向的单位向量（对于特殊情形 可简单地用 ）这样得 （5-68） 令 和 和 为关于 为小角度 （5-69） 将式（5-56）代入（5-52），得到 和 的正交向量 ，
（5-46） 据假定,可认为
（5-47）
（5-48）
总势能
（5-49） K为剪应力非均匀修正系数，将式（5-35）、（5-34）代 入（5-36）中，可得
（5-50） 其中 （5-51）
（5-52）
，是独立的，能如等参元那样求解。 变分， （5-53） （5-54） 例： 如图, 4节点的板，根据四节点等参元坐标转换关系
Int. J. Num Mech. Eng V.5,N2, 277~288,1972）一文中建议 对单元曲率修匀。 修匀只要对形函数的导数进行修匀即可，形函数 阶导数 的二
在角点上往往有奇异性，只有采取高阶数值积
分才能有较好的收敛性。为了得到计算既简单，收敛性又 好的单元，可用修匀后的导数， 代替 ， 是组系统代替薄壳。 （一）局部坐标系中的单元刚度阵 特点是薄壳应力状态是平面应力状态+弯曲应力状态的 组合，刚度阵也可由此组合，局部坐标系x，y轴取在单元 所在平面内 组合后的单元节点位移和节点力分别 为（第i点）
（5-25）
由于
不影响
，
不影响
，因此刚度阵中两
者无耦合项，可写成如下形式的子块：
亦即 (5-2) 由 得 （5-3） 可知 和 都不随之而变，对积分，
式中
和
是任意函数 由式（5-3）知 ，式（5-2）简化为 （5-4）
由3）假定 ，
由式（5-4）得到薄板内各点的不等于零的三个应变分量 （5-5） 形变 （5-6）
应变 （5-7） 忽略法向应力 力表为 解得 用挠度ω表示板内各点应力分量如下： ，对各向同性材料板内各点应变可用应 （5-8）
2）弯曲后法线仍为薄板弹性曲面法线 3）薄板中面上的各点，无平行于中面 的位移（即x,y向）。
这样板的全部应力，应变由挠度ω表示。 根据这三点假定，即得 由1） (5-1)
从而有 有相同的位移ω。
，即中面每一法线上的所有各占都
由2）板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x或y向的切线都 保持互相垂直，无剪应变，即
线性函数，利用最小二乘法，可确定导数 下：
的系数
（5-24）
由于
是线性多项式，在计算单元刚度矩阵时只要采用三
个积分点。 二、弹性薄壳 分折弹性薄壳有两个途径： （1）薄板单元组成的折板系统代 替薄壳，由平面应力状态和板弯曲应 力状态加以组合得到壳应力状态。 （2）直接根据壳体理论采用曲面 单元，建立刚度矩阵，由于单元小， 因而可解采用扁壳理论以简化刚度阵 计算。
（5-9）
内力：取右图单位宽度板 由式（5-9）第（1）式，x向横截面正应力是 ，只能合成一个弯矩 单宽弯矩 ， 代入（5-8）积分得 5-8 ，正比于z
剪应力
合成的扭矩
y向截面
若记 合并x，y向弯矩、扭矩
（5-10） 薄板弹性矩阵
（5-11）
（5-12） 若用弯矩表示应力，可写为 （5-13） （二）矩形薄板单元 1．位移模式
平行于ey ，
的转角，
（5-70）
计算应变一位移矩阵有
（5-71）
对于
只要代上式中，且y，z代替x即可，在上式中符
号的意义为 （5-72） 坐标系之间关系
（5-73）
代入式（5-58）有
以类似 的方法获得 （5-74）
在上式中有
（5-75）
其中 可求[B]阵
为
中的（i，j）分量，根据式（5-61），
若采取双三次，16自由度，每点有（ 全双三次（Adini元）有 设 （1）在e上， ，以此讨论： 是三个插值基，即 是不完全双三次多项式
即一
个线位移，两个角位移，一个担率）若取12自由度的不完
（2） （5-14）
在其他三点， 位移和虚位移表为
连同它的两个一阶微商均为0， （5-15） （5-16）
z 2 y 3
η
ξ
3cm 1
w4
2cm x
h
4
则
利用四节点等参元插值函数，得且注意到 （5-55）
（5-56）
（5-57）
（5-58）
（5-59） 其中
（5-60）
（5-61）
（5-62） 单元刚度阵 （5-63）
荷载向量 （三）厚壳
（5-64）
整体坐标与局部坐标间关系
（5-65）
：节点K处ζ方向壳厚 ：在K点ζ向正交于中面的单位向量
Theory），如增加面内点，降低积分阶或不计算剪切变 形，在面内选择几个剪切为零的点解决W,β不独立问题 等，有专门文献。 ①T.S.R. Hughes etal,A study and Efficient Element for plate Bending Int J Num. Meth in Eng., v01 11,1977 pp1529-1543. ②O. C. Zienkceuicg etal A Simple and Efficient Element for Axisymetric Shells, 同上一期 pp1545-1558 E.D pugh etal ,A study of Quadrilatenal plate Bending Elements
③with Reduced Integration Int. J Num Meth. in Eng v01 12,1978,pp1059-107 ④J. L. Batog,k. J. Bathe, A study of Three-node Triangular plate Bending Elements, Int J Nam Methads in Eng. v0115, pp1771-1812,1980 ⑤k. J Bathe etal ,A simple and effective pipe Elbow Element-linear Analysis, J Applied Meth v01. 47,1980,pp93100 （二）板 据小变形，中面不变的假设
第五章 板壳单元 一、弹性薄板 （一）薄板弯曲问题 按位移法求解薄板弯曲问题时，在相邻单元公共边上，不 但要求挠度ω连续，而且要求ω的一阶导数连续，不易因 此协调元外杂交,混合元等也常用。 在受垂直荷载后板挠度ω与其厚度相比是比较小时，分析 弯曲问题可由下列基本假定： 1）可忽略正向正应力，并假定厚度不变
由 整体坐标系中单刚 整体坐标系中荷载 整体坐标系中位移
，得到 （5-32） （5-33） （5-34）
以上分析表明，薄壳分析是比较复杂的，从局部坐标 转到整体坐标，求解方程。得位移向量。因工程中一般 需要了解的切向，法向位移、应力，所以求解后还要转 回局部坐标表示的位多应力，因此简化计算是一个重要 任务。如拱梁法等等。 。
（5-40）
（5-41） 其中 （5-42）
利用（5-24）式，注意到虚位移 和（5-26）~（5-29）， 单刚 （5-43）
荷载向量 （5-44） 对于动力问题，质量矩阵可写为 （5-45） 上述方法适合于厚梁的计算，但不能适合于薄梁，试分析 势能中与刚度有关的部分，即考虑（5-23）式前2项，且 乘以2/EA，记为
单刚中的子块：
（5-26）
单元刚度阵为：
（5-27）
（二）坐标转换和整体刚度矩阵 局部坐标中已垂直于单元中面，最后部要转到整体坐标系 。在整体坐标系中，节点位移和节点力分别为：
（5-28）
局部到整体转换关系式：
（5-29）
其中
（5-30）
是i点的变换矩阵，对于整个单元，则有 （5-31） （四边形）
由于 变γ=0,即
，板越薄b越小，b
0，
同时剪应
，但是，如果不能做到在每一处γ均为
0，那么这项乘积的值将很大，算得的梁过刚，误差很大， 称为element locking （单元闭锁）。这个结论也适于板壳， 因此不能适用于薄结构，也有人在研究这方面问题 （selective or reduced integration,a discrete Kirchhoff
单元荷载向量
把[N]改写为 其中 则
（5-22）
单元荷载向量的元素（块） （5-23）
（三）三角形薄板单元 能较好适应复杂的边界形状， 实用价值较大，多采用三结点 三角形单元。每个结点，三个 自由度，插值函数用受限制的 H型三次插值（在第三章中已 详细介绍过） 值得注意的是：此单元虽简单，仍然常用，但相邻单元的 法向斜率不协调只有网格十分对称规则，才通过小片试验， 计算结果收敛于正确结果，R，D Cook 在（Two Hyluid Elements for the Analysis of Thick Thin and sandwich plates
顺便说明：薄板薄壳以弯曲为主，一般的板壳以剪切为主， 如拱坝等 三、通用的板壳单元 （一）梁的弯曲问题 此时，需要考虑弯曲，还需要考虑剪切。以梁为例分析 变形情况。
γ为剪应变 总势能
（5-35）