高一数学必修5数列单元测试卷

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高一数学必修5《数列》单元测试卷—A卷(可编辑修改word版)

2n 52n -5高一数学必修 5《数列》单元测试卷—A 卷一、选择题（每小题 5 分,共 60 分）1. 数列- 1, 8 ,- 15 , 5 7 24 ,⋯的一个通项公式是( )9A． a n = (-1)n n3+ n 2n + 1B ． a n = (-1)nn (n + 3)2n + 1C． a n = (-1)(n +1)2 -1 D ．2n -1a = (-1)nn (n + 2) n2n +12. 已知各项均为正数的等比数列{a n }， a 1a 2a 3 =5， a 7a 8a 9 =10，则 a 4a 5a 6 =(A) 5 (B) 7 (C) 6 (D) 43. 设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 = -11 , a 4 + a 6 = -6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于 A.6B.7C.8D.94. S 等差数列{a }的前 n 项和，已知 a 5 = 5 ,则 S 9= （）． n na 9 S351 A．1 B． -1C ．2D ．25 5. 已知{a n }为等比数列，S n 是它的前 n 项和。

若 a 2 ⋅ a 3 = 2a 1 ，且 a 4 与 2 a 7 的等差中项为 4，则 S 5 = A ．35B.33C.31D.296. 设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S 4 = 1, S 8 = 3 ，则 a 17 + a 18 + a 19 + a 20 = （）A 14B 16C 18D 207. 如果等差数列{a n } 中， a 3 + a 4 + a 5 = 12 ，那么 a 1 + a 2 +... + a 7 = （A ）14（B ）21（C ）28（D ）3 58. 已知等比数列{a }满足 a > 0, n =1, 2, ，且 a ⋅ a = 22n (n ≥ 3) ，则当 n ≥ 1时，log 2 a 1 + log 2 a 3 + + log 2 a 2n -1 =A. n (2n -1)B. (n +1)2C. n 2D. (n -1)29. 数列{a }的通项 a = n 2(cos2n- sin 2 n ，其前n 项和为 S ，则 S 为)nn33n30A ． 470B ． 490C ． 495D ． 510210. 已知数列{ a n }的前 n 项和 S n ，且 a n = S n S n -1 （ n ≥2）， a 1 = 9，则 a 10 =（） 4445A.B.C.D.97 63 632n naan n n n n 11. 将正奇数排列如右表其中第i 行第 j 个数表示 a ij (i ∈ N * , j ∈ N * ) ，例如a 32 = 9 ，若 a ij =2011,则i + j = ( )A.53B.52C.51D.501 112. 函数 y = ( x >0)的图像在点( n ， )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 a， n 为正整数，则xnnn1 n -1nnn∑ 12i -1 2i +1=（）A.4n B.4(2n +1) C.4(n +1) D.2n +1二、填空题（每小题 5 分,共 20 分）13. 若数列{a }满足：对任意的 n ∈ N * ，只有有限个正整数 m 使得 a ＜n 成立，记这样的 m 的个数为nm(a )* ，则得到一个新数列 {(a )*} ．例如，若数列 {a }是 1, 2, 3… ，n ,… ，则数列 {(a )*}是0,1, 2,… ，n -1,… ．已知对任意的 n ∈ N * ， a = n 2 ，则(a )* =， ((a )* )* =．n 5n14. 已知 a n = log n +1 (n + 2)(n ∈ N + ) ．我们把使乘积 a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数 n 叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为15. 设 a 1 ， d 为实数，首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列{ a n 取值范围是}的前 n 项和为 S n ,满足 S 5 S 6 +15 = 0 ,则 d 的 16. 已知数列{a }满足 a = 33, a - a = 2n , 则 an 的最小值为 _.n1n +1nn三、解答题（共 70 分）17. (本小题满分 10 分)已知等差数列{a n }满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，{a n } 的前 n 项和为 S n ．（Ⅰ）求 a 及 S ；（Ⅱ）令 b =1(n ∈N *)，求数列{b } 的前 n 项和T ．nnna 2 -1n nn 1 18. (本小题满分 12 分)已知{ a}满足 a = 1 ，（3 1+ a n +1）（2 1+ a n ） a a < 0(n ≥ 1) ，数列{ b }满足b = a 2 - a （2 n ≥ 1）. n 1 2 1- a n = ， 1- a n +1n n +1 n n n +1 n(Ⅰ) 求数列{ a n }、{ b n }的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{ b n }中的任意三项不可能成等差数列19. (本小题满分 12 分)已知数列{a n } 中， S n 是其前 n 项和，并且S n +1 = 4a n + 2(n = 1, 2, ) ， a 1 = 1（1）设b n= a n +1 - 2a n (n = 1,2, ) ，求证：数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n } 的通项公式；（3）数列{a n } 中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.20. (本小题满分 12 分)已知数列{a n } 中， a 1 = 1, a n +1 = c - .a n（Ⅰ）设c =5 , b = 1，求数列{b n } 的通项公式； 2 a n - 2（Ⅱ）求使不等式 a n < a n +1 < 3 成立的c 的取值范围 .21.（本小题满分12 分）已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2a m＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）设b n＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）设c n＝(a n+1－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n 项和S n.22.已知a = 2 ，点(a , a ) (n ∈N *) 在f (x) =x2+ 2x 的图象上，设T = (1 +a )(1 +a ) (1 +a ) ，1 n n+1b =1+1，数列{b } 的前n 项为S .n 1 2 nanan+ 2（1）证明数列{lg(1 +a n )}是等比数列；（2）求T n 及数列{a n } 的通项；（3）求证：S n+3T 2=1. - 1nn n n1- 3 ( 2)n -1 4 3 4 3 3 2 3 ⎛ 2 ⎫ 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 ⎝ ⎭一、选择题DAAAB CCCAC CB《数列》单元测试卷—A 卷参考答案二、填空题 13. 2, n 214.202615. d ≤ -2 或 d ≥ 2 21 16.2三、解答题 17. （Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为 a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，所以有⎧a 1 + 2d = 7n(n-1) 2 ⎨2a+10d = 26 ，得 a 1 = 3,d = 2 ， a n = 3 + （2 n -1)=2n+1； S n = 3n+ ⨯ 2 = n +2n 。

(完整版)高中数学必修5数列基础题测试卷.docx

高一数学必修五第二章数列测试题一 . （每小 5 分，共 60分）1、已知数列｛a n｝的通公式a n n 23n 4( n N * ) ,a4等于( ).A、 1B、 2C、 0D、 32、在等比数列 { a n } 中 , 已知11a59 ， a3( )a9C 、1A、 1 B 、 3 D 、± 33、等比数列a n中 , a29, a5 243,a n的前 4 和（）A、 81B、 120 C 、 168D、 1924、数列 1， 3， 6，10，⋯的一个通公式是（）22n(n 1)n(n 1)A、a n =n -(n-1)B、 a n=n -1C、 a n= D 、a n =225、已知等差数列a n中 , a2a88 ,数列前9 和S9等于 ()A、 18B、 27C、 36D、 456、S n是等差数列a n的前n和，若S735 ， a4（）A、8B、 7C、 6D、 57、已知数列3 ,3, 15, ⋯ ,3(2n1), 那么 9 是数列的（）A、第 12 B 、第 13C、第 14D、第 158、等差数列{ a n}的前m和 30，前2m 和100，它的前3m 和是()A、 130B、170C、 210D、 2609、a n是等差数列，a1a3a59， a69 ，个数列的前 6 和等于（）Ａ、 12Ｂ、 24Ｃ、 36Ｄ、 4810、已知某等差数列共有10 ，其奇数之和15，偶数之和30，其公差（）A、 5B、4C、3D、211、已知数列 2 、 6、10 、14 、 3 2 ⋯那么 7 2 是个数列的第几（）A、 23B、24C、 19D、2512、在等比数列{ a n}（n N* ）中，若a11， a4110 项和为（，则该数列的前）81B 、21C 、211A、222210D 、224211二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13、已知数列的通项a n5n 2 ，则其前 n 项和 S n．14、已知a n是等差数列，a4a6 6 ，其前5项和 S510 ，则其公差d．15、等比数列a n的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则a n的公比为．16、各项都是正数的等比数列a n，公比q 1 , a5, a7, a8成等差数列，则公比q=三、解答题（70 分）17、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。

高一数列单元检测卷(必修5)

数列单元检测卷姓名班级得分一、选择题（每题5分，共计60分）1、下列关于数列与函数的关系叙述不正确的一个是（）A、数列可以看作是定义在正整数集或其有限子集上的一种特殊的函数B、等差数列可以用图象法表示为一条直线C、无穷等比数列的通项公式是一个关于的函数，其定义域为D、尽管等比数列的通项公式，但我们不能说它是关于的指数函数2、由公差的等差数列组成一个数列下列说法正确的是A、该新数列不是等差数列Ｂ、是公差为的等差数列（）Ｃ、是公差为的等差数列Ｄ、是公差为的等差数列3、已知为等差数列，则与的大小关系为（）A、B、C、D、4、已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则= （）A、-4B、-6C、-8D、-105、在等比数列中，若，，则的值为（）A、－3B、3C、3或－3D、不存在6、已知等差数列中，，则的值是（）A、15B、30C、31D、647、数列是公差不为零的等差数列，且是等比数列的相邻三项，若，则= A、B、C、D、（）8、若成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则= （）A、4B、3C、2D、19、数列的前n项和，则由所确定的数列的前项的和为Ａ、B、Ｃ、Ｄ、（）10、在中，分别是内角的对边，且，成等比数列，则角= A、B、C、D、（）11、某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定价格，由于底层与顶层均为复式结构，底层价格为元/，顶层价格为元/，第二层价格为元／，从第三层开始每层在前一层价格基础上加价元/，则该商品房各层的平均价格为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、12、在数列中，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是A、和B、和C、和D、和（）二、填空题（每题4分，共计24分）13、已知数列为等比数列，首项为，公比为，则前n项和= ．14、已知数列中，，则数列通项= ．15、随着计算机技术的不断发展，电脑的性能越来越好，而价格又在不断降低．若每隔两年电脑的价格可降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑在6年后的价格可降为元．16、等差数列的前项之和分别为，且，则的值为．17、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制数的形式为．18、设数列的前项和为。

高中数学必修五数列测试题

高中数学必修五数列测试题一、填空题1. 已知数列的首项为\( a_1 = 3 \)，公差为\( d = 2 \)，求数列的第5项\( a_5 \)。

2. 若数列的前4项分别是1，4，9，16，则数列的第5项是多少？3. 已知数列的前4项分别是4，7，10，13，求数列的通项公式。

4. 若数列的通项公式为\( a_n = 2n + 1 \)，求数列的第10项\( a_{10} \)。

5. 数列的前3项分别是3，6，12，求数列的公比。

二、选择题1. 对于公差为2的等差数列\( \{a_n\} \)，下列哪个命题是正确的？A. \(a_1 = 2\)，\(a_2 = 5\)，\(a_5 = 10\)B. \(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，\(a_5 = 9\)C. \(a_1 = 3\)，\(a_2 = 6\)，\(a_5 = 15\)D. \(a_1 = 4\)，\(a_2 = 7\)，\(a_5 = 14\)2. 对于公比为3的等比数列\( \{b_n\} \)，下列哪个命题是正确的？A. \(b_1 = 3\)，\(b_2 = 9\)，\(b_3 = 27\)B. \(b_1 = 1\)，\(b_2 = 4\)，\(b_3 = 16\)C. \(b_1 = 5\)，\(b_2 = 10\)，\(b_3 = 20\)D. \(b_1 = 2\)，\(b_2 = 4\)，\(b_3 = 8\)3. 若数列的前三项为\(a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)，\(a_3 = 3\)，则下列哪个数列的第4项一定与之相同？A. 5，8，11，...B. -2，-1，0，...C. 0，1，3，...D. 4，5，7，...三、解答题1. 求等差数列\( \{c_n\} \)的前4项和，已知首项为1，公差为3。

2. 若数列的前两项和为10，第二项和第四项的和为18，求数列的前四项。

四、应用题1. 小明计划连续7天抛掷一枚硬币，他决定从第2天开始，每天与前一天的正反面相反。

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（） A ．52-B ．116C ．332D ．12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（） A ．10B ．17C ．21D ．354．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13297．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．28．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（）．A ．2B ．1C ．32D ．129．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202210．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-11．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________． 15．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .24．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.（1）求证数列{}1n a +是等比数列；（2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272nn n c -=，利用数列的单调性即可求解．【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=，则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--，所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=，当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<，因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332．故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈），所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.4．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围．【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<，因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 7．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-，则{}12n S a -不为等比数列，舍去，当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----，为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立，故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥，当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤，当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-，当5n =时，a R ∈，故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<．故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4，故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=，当且仅当822nn =时取等号，又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．【详解】解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++，由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ．【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=．故答案为：7576．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++，依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-，故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【解析】所以解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->，记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减，又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-.【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-．（2）由（1）得n n n a 2n 122-=，所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，所以2332n nn S +=-．【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2nn n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭，得324522b b b =+，设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，解得2q，或12q =，由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =，则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，122n n S +∴=-当2n ≥时，()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时，12b =也满足上式.2n n b =（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用定义证明12n n b b +=即得证；（2）分析得到211321n n a -≤⋅-，再利用等比数列求和得证. 【详解】解：（1）121n n b a n =+-，1223241n n n a a n ++-=-，则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--，又11312b a =+=，所以数列{}n b 是等比数列；（2）由（1）得，1232322n n n b --=⋅=⋅，N n *∈， 213221n n a n -∴=⋅--，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，211321n n a -∴≤⋅-，当2n ≥时，21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-，又11123S a ==<，综上，3n S <，n *∈N . 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）数学归纳法；（5）放缩法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ．【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合），（2）∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅．【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=，所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=，所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12.【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-；（2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n=++++，令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>，则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。

4高中数学必修5第二章数列测试卷

高中数学必修五第二章数列复习测试卷一、选择题：1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n2．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f102.101.100.99.D C B A３．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是Ａ．此数列为等差数列 B ．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列Ｄ．此数列从第二项起是等差数列４．已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A ５．如果数列｛n a ｝的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是Ａ．n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２n Ｃ．n a =3n +1Ｄ．n a =2·3n ６．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于63.62.27.26.D C B A７．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为Ａ．3n －1 B ．3(3n －1) Ｃ．419-n Ｄ．4)19(3-n ８．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零９．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos ＝32.42.43.41.D C B A 10．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30.若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为A ．18B ．12C ．10D ．8二、填空题：1．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________.2．在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ______________，=n ______________.3．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .4．若数列{}n a 是等差数列，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，则=+85a a .5在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .6．已知等比数列｛n a ｝的前m 项和,30,102==m m S S 则=m S 3 .三、解答题： 1．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .（7分）2．已知数列｛n a ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，（8分）（1）求.,42a a（2）求证213-=n n a .3)2(111411*********≥-++-+-+-n n （7分）4．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （8分）（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式.答案：一、C C B C D D D D B D 二、1．4或10 2.－2 、10 3.4，8，16 或 16，8，4 4.3 5.20 6.70 三、1．解：设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或2．（1）解：.40133,1343,413,1342321=+==+==+==a a a a（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，得 11232211)()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----13333321+++++=--- n n n213-=n ； 213-=∴n n a . 3．解：)1111(21)1)(1(1112+--=-+=-n n n n n111411311212222-++-+-+-∴n )]1111()5131()4121()311[(21+--++-+-+-=n n )2.()1(21243)111211(21≥++-=+--+=n n n n n n 4．（I ）证明：由11,a =及142n n S a +=+，12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-= 由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）解：由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224nn n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅。

必修5《第一章数列》章末测试卷含解析

, [学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，2，－3，4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．2．有穷数列1，23，26，29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3C. 3D.32解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C.162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12 D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 9．近年来，我国最大的淡水湖鄱阳湖湖区面积逐年减少，江西省政府决定将原3万亩围垦区退垦还湖，计划2013年退垦还湖面积为3 000亩，以后每年退垦还湖面积比上一年增加20%，那么从2013年起到哪一年可以基本完成退垦还湖工作(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 1.2≈0.079 2)( )A ．2015年B ．2016年C ．2017年D ．2018年解析：选D.由题意可知每年退垦还湖面积依次构成一个等比数列，记为{a n }，则首项a 1＝3 000，公比q ＝1＋20%＝1.2，前n 项和S n ＝30 000，由3 000（1－1.2n ）1－1.2＝30 000，得1.2n ＝3，所以n ＝log 1.23＝lg 3lg 1.2≈6，即到2018年可以基本完成退垦还湖工作，故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255. 答案：16 25512．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n （n ＋1）2＋1.答案：n （n ＋1）2＋1 13．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．解析：因为a n ＋1＝11－a n，所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1 ＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 答案：1214．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n 项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 答案：2n n ＋115．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6<S 7，S 7>S 8，有下列四个命题：①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)解析：因为S 7>S 6，即S 6<S 6＋a 7，所以a 7>0.同理可知a 8<0.所以d ＝a 8－a 7<0.又因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，所以S 9<S 6.因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，所以可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)一个等比数列的前三项依次是a ，2a ＋2，3a ＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：因为a ，2a ＋2，3a ＋3是等比数列的前三项，所以a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1，0，0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，所以a n ＝－4(32)n －1，令－4(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3. 所以n －1＝3，即n ＝4，所以－1312是这个数列中的第4项． 17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意可设{a n }公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设{b n }公比为q ，则q >0，由b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，所以q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N ＋)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.19．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；…10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .解得x ＝380a (m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.20．(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1），数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，所以S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式．所以a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153，可得9（b 1＋b 9）2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，所以{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，所以b 1＝5，所以b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3（2n －1）（6n ＋3）＝12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)．因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝13. T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立，只要T 1＝13>k 57，所以k <19，则k max ＝18.。

(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）．从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式；（2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得．【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+，因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和，所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列．因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++，所以6332121λ-<-=-=+，所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞．故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出．【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<，由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =．故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=，由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列，所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论．【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27．【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列；若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+，因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=，故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=；（3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =；（4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-，即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠，则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅，事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+，因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-，则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=，设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-，设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=，所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-．【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-．即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =．（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-．所以332n nn T +=-．所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-．【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析．【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立．当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+；故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。

高中数学必修5数列单元测试题含解析

新课标数学必修5第2章数列单元试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A．34 B．35 C．36 D．37考查等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等*，Nn∈≤36．4，·11=11n+99，由a≤500，解得n差数列，公差为11，数a=110+（n－1）nn∴n≤36．【答案】C2－1（n≥1），则a+a+a+a+a=12．在数列{a}中，a，a=a等于（）54n+112nn31A．－1 B．1 C．0 D．2考查数列通项的理解及递推关系．2－1=（a+1）（=aaa－1），【解析】由已知：nn+1nn∴a=0，a=－1，a=0，a=－1．5342【答案】A 3．{a}是等差数列，且a+a+a=45，a+a+a=39，则a+a+a的值是（）9432n78156A．24 B．27 C．30 D．33考查等差数列的性质及运用．【解析】a+a+a，a+a+a，a+a+a成等差数列，故a+a+a=2×39－45=33．932394576168【答案】D2f(n)?n*）且f（1）=2，则f（20（n∈N+14．设函数f（x）满足f（n）=）为（）2192D．．105 B．97 C95 A．考查递推公式的应用．1?1?f(1)?f(2)??2?1?2)(2??f(3)?fn? ?）f（n=f【解析】（n+1）－2?2? ?1?1919)??f(20)?f(?2?1?．1）=97（20）=95+f20）－f（1）=…（1+2++19）（f相加得f（2B【答案】*）（n≥3=0－6，a，公差d∈N）的最大值为（，则n中，已知5．等差数列{a}a=n1n8 D．B．6 C．7 A．5考查等差数列的通项．6?+1 n（n－1）d=0=－a【解析】=a+（n1）d，即－6+1n d*．=7d=1时，n取最大值n∵d∈N，当C【答案】2 }从首项到第几项的和最大（）=6．设a－n，则数列+10n+11{a nn项．第10项或11项D12C项10A．第项B．第11 ．第考查数列求和的最值及问题转化的能力．2 S<0a>0a=0a）－（+1－（n－=【解析】由an+10+11=n）n11，得，而，，S=．1110121011n【答案】C7．已知等差数列{a}的公差为正数，且a·a=－12，a+a=－4，则S为（）20n4763A．180 B．－180 C．90 D．－90考查等差数列的运用．2+4xxa联立，即，a是方程4与a·a=－12【解析】由等差数列性质，a+a=a+a=－77674333－12=0的两根，又公差d>0，∴a>aa=2，a=－6，从而得a=－10，d=2，S=180．?2033771【答案】A 8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A．9 B．10 C．19 D．29考查数学建模和探索问题的能力．n(n?1)<200．【解析】1+2+3+…+n<200，即220?19 根．n=20时，剩余钢管最少，此时用去=190显然2B 【答案】）aa，a+，a+a…是（a9．由公差为d的等差数列a、、a…重新组成的数列a+642335112 2d的等差数列A．公差为d的等差数列B．公差为D．非等差数列3C．公差为d的等差数列考查等差数列的性质．－aa+a）－（a+a）=（aa）－（a+a）=（a－）+（a－a）=2d．（+【解析】（a3526154152432 +（a－a）=2d．依次类推．a）526B【答案】）=30，则n的值为（a10．在等差数列{a}中，若S=18，S=240，－4n9nn17 D．16 A．14 B．15 C．考查等差数列的求和及运用．)a9(a?91?? =4d=18【解析】S=）a+a=4．2（a+411992)a?an(n1．=，又a=a+4d．∴S=16n=240d∴a+4=2－nn1n4 2 ．∴n=15B 【答案】4二、填空题（本大题共小题，每小题4分，共16分）2a2*n），则是这个数列的第_________项．（n∈N=1．在数列11{a}中，a，a=+1nn1a?27n考查数列概念的理解及观察变形能力．111111+，∴{}是以=1【解析】由已知得=为首项，公差d=的等差数列．aaaa221n1?nn1221=1+（n－1），∴a=∴=，∴n=6．n a?172n n【答案】6 12．在等差数列{a}中，已知S=10，S=100，则S ．=_________11010100n考查等差数列性质及和的理解．?a+a=－2．（a+a）=－90=45S－S=a+a+…+a（a+a）=45【解析】11010010011010011111110121（a+a）×110=－110．S=11011012110 【答案】－．n=_______个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则13．在－9和3之间插入n 项和公式及等差数列的概念．考查等差数列的前n)39?(n?2)(?．n=5【解析】－21=，∴25【答案】Sa2n n11=_________、T，若．=，则14．等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S nnnn bT3n?111n考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用．(a?a)21(a?a)211211aS2?2121221121??? =【解】．=(b?b)21(b?b)bT3?21?13212112121112221 【答案】32 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）5小题，共54三、解答题（本大题共项，问它们有多少10011，…均有，…与3，7，分）若等差数列15．（本小题满分85，8，11 相同的项？考查等差数列通项及灵活应用．．－13k+2=4m=4n－1，令a=b，则=3【解】设这两个数列分别为{a}、{b}，则an+2，b mknnnn 3整除．m，∴m被13k=3（m－）+∴* 1．k=4pp（p∈N－），则设m=3 ］．1，100∈［∵k、m 25．≤p≤≤3p≤100且1则1 25个相同的项．∴它们共有，求数列前多少项和最大．S=Sa{}中，若a=25且16．（本小题满分10分）在等差数列17n19项和公式的应用．考查等差数列的前n)1(17?9?1)179?( d×25+9×25+d=17【解】∵S=S，a=25，∴191722)1n?n(2 +16913）．－n+（－2）=－（n=解得d－2，∴S=25n2 13项和最大．由二次函数性质，故前为递减数列．2－，数列a注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d=n．．50，即n≤13）≥=25+a（n－1）（－2n项和最大．∴数列前132 +4，问－5n（本小题满分17．12分）数列通项公式为a=n n有最小值？并求出最小值．n为何值时，a）数列中有多少项是负数？（（12）n考查数列通项及二次函数性质．2．1<n<4，解得为负数，得（【解】1）由an－5n+4<0n*项．3项和第2项为负数，分别是第2，即数列有3或=2n，故N∈n ∵．59522－5n+4=（n2）∵a=n－）－，∴对称轴为n==2．5 （n2242*．－5×2+4=－n又∵∈N2，故当n=2或n=3时，a有最小值，最小值为2n的两处同时相向运动，甲第一分钟走70 m18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．，以后每分钟比前2 m （1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．，乙继续2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前11 m分钟多走（ 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？每分钟走考查等差数列求和及分析解决问题的能力．)?1n(n=70nn++5【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得222－20整理得：n（舍去）+13n－140=0，解得：n=7，n= 7分钟．∴第1次相遇在开始运动后)?1n(n70×n（2）设分钟后第2次相遇，依题意有：2n++5n=322整理得：n+13n－6×70=0，解得：n=15或n=－28（舍去）分钟．次相遇在开始运动后15第21 a=．2S·=0（n≥），，a19．（本小题满分12分）已知数列{}的前n项和为S且满足a+2S1nnn1nn－ 21}是等差数列；）求证：{ （1S n（2）求a表达式；n222<1．bb +…a（n≥2），求证：b++n3（）若b=2（1－）nnn32考查数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）∵－a=2SS，∴－S+S=2SS（n≥2）1nnn11nnnn－－－11111－=2，又==2，∴{S≠0，∴}是以2为首项，公差为2的等差数列．naSSSS11nnn1?11=2+（n－1）2=2n，∴S= （2）由（1）n Sn2n1 －=S=2当n≥时，aS－1nnn－)1?n(n21?(n?1)?12?= ，∴a时，a=S=n=1?n1112?-(n?2)?2n(n-1)?1 a=－n）b3）由（2）知=2（1（nn n111111222+++b=…+<++…+ ∴b+b+…n32222n1n?)(2?32?1n32111111）+（－）+…+（－）－=1（=1－<1．nn1?n322。

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12. 设 a1＝ 5，an ＋1＝ 2an＋3( n≥1)， an=_________
13. 数列｛ an｝的前 n 项和为 Sn＝ n2＋ 3n＋ 1，则它的通项公式为
.
14.等差数列｛ an｝和｛bn｝的前 n 项和分别为 Sn 与Ｔn，对一切自然数 n，都有 Sn = 2n ， Tn 3n 1
A ．甲是真命题，乙是真命题
B．甲是真命题，乙是假命题
C ．甲是假命题，乙是真命题
D ．甲是假命题，乙是假命题
7.设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a5 a3
5 ，则 S9 的值为
9
S5
A ．1
B ．－ 1
C．2
1
D．
2
8.在等差数列 a n 中，若 S4 1, S8 4 ，则 a17 a18 a19 a20 的值为
（Ⅱ）求证：数列 { an } 是等差数列；
（Ⅲ）求数列 {| an |} 的前 n 项的和 .
N ) 均在函数 y＝－ x+12 的图像上 .
21.已知数列｛ an｝中， Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn＋1＝ 4an＋ 2(n＝ 1， 2，… )， a1＝ 1.(1)设
bn ＝an ＋1－ 2an(n＝ 1，2，… )求证｛ bn｝是等比数列；
数学必修五二、填空题：
姓名
2
3
11
12
13
14
学号
总分
4
5
6
7
8
9
10
15.__________________ 16 17.____________ _______________
三、解答题：（本大题共 4 小题，共 42 分。解答应写出文字说明，或演算步骤）
A ．513
B ． 512
C． 510
225
D．
8
5.等差数列 { an} 中， a1 a4 a7 39 ， a3 a6 a9 27 ，则数列 { an} 的前 9 项的和 S9
等于
A ．66
B ．99
C． 144
D ． 297
6.已知命题甲： “任意两个数 a， b 必有唯一的等差中项” ，命题乙：“任意两个数 a，b 必有两个等比中项” .则
则 a5 等于 ___________ b5
15. 已知等差数列｛ an ｝中， a1＝ 29，S10＝S20，则 n=______ 时， Sn 取最大值。
16.已知数列 1,
，则其前 n 项的和等于
。
17.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”
D 、可能为 0，可能为 1，可能为 2
中，若 an 1
a
2 n
an 1
0(n
2) ，则 S2n 1 4n
Ａ． 2
Ｂ． 0
Ｃ． 1
二、填空题：（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
Ｄ． 2
11.在等比数列 a n 中 , 若 a1, a10 是方程 3x2 2x 6 0的两根，则 a4 a 7 =___________.
(2)设
cn ＝
an 2n
(n＝1， 2… )求证｛ cn｝
是等差数列； (3) 求数列｛ an｝的通项公式及前 n 项和公式 .
A ．49
B ． 50
C． 51
1
2
3
n
3.已知数列 1011 ， 1011 ， 1011 ，…， 1011 ，…，使数列前
整数 n 是
D ． 52
n 项的乘积不超过 105 的最大正
A ．9
B． 10
C． 11
D． 12
4.在公比为整数的等比数列和为
an 中，如果 a1 a 4 18, a 2 a3 12, 那么该数列的前 8 项之
形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第
…
2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图 1 所示方式
固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放
图1
在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以
f (n) 表示这 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) _____ ； f (n) _____（ f (n) 的答案用 n 表示）.
18. 设等差数列｛ an｝的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝ 12，S12＞ 0，S13＜ 0.求公差 d 的取值范围 .
19.
求和：
1＋
4 5
＋
7 52
＋…＋
3n 2 5n 1
20.设数列
{ an} 的前
n 项和为
Sn ，点
(n, Sn )( n n
（Ⅰ）写出 Sn 关于 n 的函数表达式；
数学必修五《数列》单元测试卷
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . ） 1. 数列 2， 5，2 2，11 ，的一个通项公式是（）
A. an 3n 3 B. an 3n 1 C. an 3n 1 D. an 3n 3
2.在数列 { an} 中， a1 2 ， 2an 1 2 an 1 ，则 a101 的值为
A ．9
B ． 12
9.数列 {a n} 、 {b n} 的通项公式分别是
{b n} 中，使 an=b n 的 n 值的个数是
A 、2
B、1
C、 0
10.在各项均不为零的等差数列 an
C． 16
D ． 17
an= an+b (a ≠ 0，a、 b∈ R)，bn=qn-1(q>1) ，则数列 {a n} 、

高一数学必修5数列单元测试卷