压轴题复习9
最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ． （1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________； （2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____； （2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。
九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习
九年级中考数学复习三角形综合压轴题专题练习1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的值．2、如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1．3、如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．=；（1）求证：BD CE∆（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．△中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ 4、在Rt ABC⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3,BC=4,当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；△中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在（3）在Rt ABC一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．5、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上，EF交AD于点KEF的值①求AK②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2) 若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长6、【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．7、感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=（用含a的代数式表示）8、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3(1) 求证：EF＋PQ＝BC(2) 若S1＋S3＝S2，求AEPE的值(3) 若S3－S1＝S2，直接写出AEPE的值9、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．⑴当AB＝AC时，（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；⑵当AB＝kAC时（如图2），求BEFD的值（用含k的式子表示）．10、提出问题⑴如图1，在等边△ABC中，点M是BC上任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，求证：∠ABC=∠CAN；类比探究⑵如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，⑴中的结论∠ABC=∠CAN还成立吗？请说明理由.拓展延伸⑶如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN，试探究∠ABC与∠CAN的数量关系，并说明理由.11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．12、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E(1) 如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB3，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积(2) 如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝5为6，求四边形AB CD的面积(3) 如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC3，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）＝513、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s 的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．14、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）15、我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是”等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A'BC ，连结AA′交直线BC 于点D ．若点B 是△AA′C 的重心，求的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直E 1B C E （D 1）A PE 1BCED D 1A线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．16、【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．17、如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 0），点B的坐标为（5 , 0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.18、已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°。
江苏省中考数学选择填空压轴题专题9阅读理解问题
专题 09 阅读理解问题例 1．我们把 1，1，2， 3，5，8，13， 21， 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，挨次以这列数为半径作 90°圆弧 PP ，PP ，PP ， 获得斐波那契螺旋线，而后按序连接， ， ， 获得螺旋折线（如图） ，已知点 P （0， 1）， PP PP PPP （－ 1，0），（ 0，－ 1），则该折线上的点 的坐标为（ ）P PA ．（－ 6，24）B ．（－ 6，25）C ．（－ 5，24）D ．（－ 5，25） 同类题型 1.1 定义 [x]表示不超出实数 x 的最大整数，如 [1.8] ＝1，[－ 1.4]＝－12，[－3]＝－ 3．函数 y ＝[x] 的图象以下图，则方程[x] ＝ x 的解为（）2A ．0 或 2B ．0 或 2C ．1 或－ 2D ． 2或－ 2同类题型 1.2 nmn ﹣1m ﹣1对于函数 y ＝ x ＋ x ，我们定义y'＝ nx ＋ mx （ m 、 n 为常数）．比如 y ＝x 4＋x 2，则 y'＝4x 3＋2x ．已知： y ＝1x 3＋（ m ﹣1）x 2＋m 2x ．3（1）若方程 y ′＝0 有两个相等实数根，则 m 的值为 ；（2）若方程 y ′＝m ﹣1有两个正数根，则 m 的取值范围为．4例 2．将一枚六个面的编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地平均的正方体骰子先后扔掷两次，记第一次掷出的点数为 a ，第二次掷出的点数为 b ，则使对于x ，y 的方程组 {ax ＋by ＝3)有正数解的概率为 ___．x ＋2y ＝2同类题型 2.1 六个面上分别标有1，1，2，3， 4， 5 六个数字的平均立方体的表面睁开图以下图，掷这个立方体一次，记向上一面的数为平面直角坐标系 中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则获得的坐标落在抛物线y ＝2x －x 上的概率是（ ）A ．2 B ．1C ．1D ．13639同类题型 2.2 把一枚六个面编号分别为 1，2，3， 4，5， 6 的质地平均的正方体骰子先后扔掷 2 次，若两个正面向上的编号分别为m 、n ，则二次函数 y ＝x ＋mx ＋n 的图象与 x 轴没有公共点的概率是 ________．同类题型2.3 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2 的线段QR 的两头放在正方形的相邻的两边上同时滑动．假如点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点 B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD内任一点，把N 点落在线段 QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（）4－ππ 1π－1A ．B ．C ．D ．4444同类题型 2.4 从－ 1， 1， 2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为 a ，那么，使对于 x 的一次函数 y ＝2x ＋a 的图象与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积为1，4且使对于 x 的不等式组 {x ＋2 ≤a 有解的概率为 _________．－)1 x ≤2a例 3．若 f （n ）为的各位数字之和，如 ＋1＝197，1＋9 ＋ （是随意正整数）14 n 1 n＋7＝17，则 f （ 14）＝ 17，记 （ n ）＝ f （n ）， ＝（f （n ）），k 是任 f f ＝ （（）） f f f nf意正整数则f（8）＝（）A．3 B ．5 C．8 D．11同类题型 3.1 将 1，2，3，，100 这100 个自然数，随意分为50 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式1(|a－2b|＋a＋b)中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50 个值，则这 50 个值的和的最大值是 ____________．同类题型 3.2 规定： [x]表示不大于 x 的最大整数，（x）表示不小于x 的最小整数， [x）表示最靠近x 的整数（ x≠n＋ 0.5，n 为整数），比如： [2.3] ＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝ 2．则以下说法正确的选项是 ________．（写出全部正确说法的序号）①当 x＝1.7 时， [x]＋（ x）＋ [x）＝ 6；②当 x＝－ 2.1 时， [x] ＋（ x）＋ [x）＝－ 7；③方程 4[x]＋3（x）＋ [x）＝ 11 的解为 1＜x＜1.5；④当－ 1＜ x＜ 1 时，函数 y＝[x] ＋（ x）＋ x 的图象与正比率函数有两个交点．y＝ 4x 的图象同类题型 3.3 设[x]表示不大于 x 的最大整数， { x} 表示不小于 x 的最小整数，＜x＞表示最靠近 x 的整数（ x≠n＋ 0.5， n 为整数）．比如 [3.4] ＝3，{3.4} ＝4，＜3.4 ≥3．则方程 3[x]＋2{x} ＋＜ x≥ 22（）A ．没有解B．恰巧有 1 个解C．有 2 个或 3 个解D．有无数个解同类题型 3.4 对于实数 p， q，我们用符号min{ p，q} 表示 p， q 两数中较小的数，如 min{1 ，2} ＝1，所以， min{ －，} ＝ ______；若 min{ （－， }2 －3 ）xx 1＝1，则 x＝____________．例4．已知点 A 在函数y＝－1（x＞0）的图象上，点 B 在直线y＝ kx＋1＋k（k x为常数，且 k≥0）上．若 A，B 两点对于原点对称，则称点 A， B 为函数y，y图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的状况为（）A．有 1 对或 2 对B．只有 1 对C．只有 2 对D．有 2 对或3 对同类题型 4.1 在平面直角坐标内A，B 两点知足：①点 A，B 都在函数 y＝f（x）的图象上；②点 A，B 对于原点对称，则称A，B 为函数 y＝f（x）的一个“黄金点对”．|x＋4|，x ≤0则函数 f（x）＝1的“黄金点对”的个数为（）{－，x＞0 )xA．0 个 B ．1 个C．2 个D．3 个同类题型 4.2 定义：在平面直角坐标系 xOy 中，把从点 P 出发沿纵或横方向抵达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为 P，Q 的“实质距离”．如图，若 P（－1， 1）， Q（ 2，3），则 P， Q 的“实质距离”为 5，即 PS＋ SQ＝ 5 或 PT＋ TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜爱的交通工具．设A，B，C 三个小区的坐标分别为 A（3， 1），B（5，－ 3），C（－ 1，－ 5），若点 M 表示单车停放点，且知足 M 到 A， B， C 的“实际距离”相等，则点 M 的坐标为____________．同类题型 4.3 经过三边都不相等的三角形的一个极点的线段把三角形分红两个小三角形，假如此中一个是等腰三角形，此外一个三角形和原三角形相像，那么把这条线段定义为原三角形的“和睦切割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐切割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相像，∠A＝ 46°，则∠ACB 的度数为__________．专题 09 阅读理解问题例 1．我们把 1，1，2， 3，5，8，13， 21， 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，挨次以这列数为半径作 90°圆弧 PP ，PP ，PP ， 获得斐波那契螺旋线，而后按序连接， ， ， 获得螺旋折线（如图） ，已知点 P （0， 1），PP PP PPP （－ 1，0），（ 0，－ 1），则该折线上的点 的坐标为（ ）P PA ．（－ 6，24）B ．（－ 6，25）C ．（－ 5，24）D ．（－ 5，25）解：由题意， P 在 P 的正上方，推出 P 在 P 的正上方，且到P 的距离＝ 21＋ 5＝26，所以 P 的坐标为（－ 6，25）， 选 B ．同类题型 1.1 定义 [x]表示不超出实数 x 的最大整数，如 [1.8] ＝1，[－ 1.4]＝－ 2，[－3]＝－ 3．函数 y ＝[x] 的图象以下图，则方程[x] ＝ 1 的解为（ ）2 xA ．0 或 2B ．0 或 2C ．1 或－ 2D ． 2或－ 2解：当 1≤x＜2 时，1＝1，解得＝ 2 ，；2xx＝－ 2x1当 x＝0，x＝0，x＝0；21当－ 1≤x＜0时，2x＝－ 1，方程没有实数解；1当－ 2≤x＜－ 1 时，2x＝－ 2，方程没有实数解；1所以方程 [x]＝2x的解为 0 或 2．选A．同类题型 1.2 对于函数nm n﹣1m﹣1y＝ x ＋ x ，我们定义y'＝ nx ＋ mx （ m、 n 为常数）．比如 y＝x4＋x2，则 y'＝4x3＋2x．已知： y＝1x3＋（ m﹣1）x2＋m2x．3（1）若方程y′＝0 有两个相等实数根，则m 的值为；（2）若方程y′＝m﹣1有两个正数根，则4m 的取值范围为．解：依据题意得y′＝x2＋2（m﹣1）x＋m2，（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x＋m2＝0 有两个相等实数根，∴△＝ [ ﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝0，1解得： m＝；（2）y′＝m﹣1，即 x2＋2（m﹣1）x＋m2＝m﹣1，4 41化简得： x2＋2（m﹣1）x＋m2﹣m＋＝0，4∵方程有两个正数根，2(m－1)＜0∴m2－m＋＞ 0 {[－2(m－1)]2－4(m2－m＋) )，≥03 1解得： m≤且 m≠ ．4 2例2．将一枚六个面的编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地平均的正方体骰子先后扔掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使对于＋＝ax by 3)有正数解的概率为 ___．x，y的方程组 {x＋2y＝2解：①当 2a－b＝0 时，方程组无解；②当 2a－b≠0时，方程组的解为由 a、b 的实质意义为1， 2， 3， 4，5， 6 可得．易知 a，b 都为大于 0 的整数，则两式结合求解可得＝6－2b，2a－3，－y ＝－x2a b2a b∵使 x、y 都大于 0 则有6－2b＞0，＝2a－3＞0，＝－x －y2a b 2a b∴解得 a＜1.5，b＞3 或许 a＞1.5，b＜3，∵a，b 都为 1 到 6 的整数，∴可知当 a 为 1 时 b 只好是 4， 5， 6；或许 a 为 2， 3， 4， 5， 6 时 b 为 1 或2，这两种状况的总出现可能有3＋10＝13 种；（1， 4）（1，5）（ 1，6）（2，1）（ 3，1）（4，1）（ 5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）又掷两次骰子出现的基本领件共6×6＝36 种状况，故所求概率为＝13．36同类题型 2.1 六个面上分别标有 1，1，2，3， 4， 5 六个数字的平均立方体的表面睁开图以下图，掷这个立方体一次，记向上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则获得的坐标落在抛物线y＝2x－x 上的概率是（）A ．2B ．1C ．1D ．13639解：掷一次共出现 6 种状况，依据图形可知 1，2，3 所对应的数分别是 1，5，4，在抛物线上的点为：（ 1，1），只有两种状况，所以概率为：2＝1． 6 3选 C ．同类题型 2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3， 4，5， 6 的质地平均的正方体骰子先后扔掷 2 次，若两个正面向上的编号分别为m 、n ，则二次函数 ＝ ＋xy mx ＋n 的图象与 x 轴没有公共点的概率是 ________． 解：∵二次函数 y ＝x ＋mx ＋n 的图象与 x 轴没有公共点， ∴△＜ 0，即 m －4n ＜0， ∴m ＜4n ，列表以下：m 、 n 1234561 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 44 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，5 4 ， 64 4 4 45 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 66，16，26，36，46，56，6共有 36 种等可能的结果，此中知足 m ＜4n 占 17 种，17所以二次函数y＝x＋mx＋n 的图象与 x 轴没有公共点的概率＝．同类题型 2.3 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两头放在正方形的相邻的两边上同时滑动．假如点Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到 A 止，同时点R 从点 B 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到 B 止．点 N 是正方形 ABCD 内任一点，把 N 点落在线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形内的概率记为 P，则 P＝（）－ B ．πC．1 －A．4πD．π14 4 4 4解：依据题意得点M 到正方形各极点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各极点为圆心，以 1 为半径的四个扇形，∴点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4 个扇形的面积为90π×14 ×＝π，360∴点∴把M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，N 点落在线段QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则4－π．P＝ 4选A．同类题型 2.4 从－ 1， 1， 2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使对于 x 的一次函数 y＝2x＋a 的图象与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积为1，4且使对于 x 的不等式组{x ＋2 ≤a)有解的概率为 _________． 1－x ≤2a1解：当 a ＝－ 1 时， y ＝2x ＋a 可化为 y ＝ 2x － 1，与 x 轴交点为 （， 0），与 y轴 2交点为（ 0，－ 1），三角形面积为1 1 12 × ×1＝ ；241，0），与 y 轴交点当 a ＝ 1 时， y ＝2x ＋ a 可化为 y ＝ 2x ＋1，与 x 轴交点为 （－2为（ 0，1），三角形的面积为 1 1 1 2 × ×1＝ ；2 4当 a ＝2 时， y ＝2x ＋2 可化为 y ＝ 2x ＋ 2，与 x 轴交点为（－ 1，0），与 y 轴交点为（ 0，2），三角形的面积为 1×2×1＝1（舍去）；2当 a ＝－ 1 时，不等式组{x ＋2 ≤a 可化为 x ＋2 ≤－1，不等式组的解集为){)1－x ≤2a1－x ≤－2x ≤－3 ，无解；{ x ≥3 )x ＋2 ≤ax ＋2 ≤1 x ≤－1 当 a ＝ 1 时，不等式组1－x ≤2a可化为1－x ≤2 ，解得 －x ≤1)，解集为{){ ) {－≤ 1，解得 x ＝－ 1．{－)x ≥ 1使对于 x 的一次函数 y ＝2x ＋a 的图象与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积为1，4且使对于 x 的不等式组 {x ＋2 ≤a 有解的概率为1．)3＝1－x ≤2a P例 3．若 f （n ）为 ＋ （是随意正整数） 的各位数字之和，如 ＋1＝197，1＋ 914n 1 n ＋7＝17，则 f （ 14）＝ 17，记 （ n ）＝ f （n ）， ＝（f （n ）），k 是任 f f ＝ （（）） f f f nf意正整数则 f （8）＝（）A ．3B ．5C ．8D ．11解：∵ 8＋1＝65，∴ f （8）＝ f （8）＝ 6＋5＝11，同理，由 11＋1＝122 得 f （8）＝ 1＋ 2＋2＝ 5；由 5＋ 1＝26，得 f （8）＝ 2＋ 6＝8，可得f （8）＝6＋5＝11＝f （8）， （8）， ，f （8）＝f ∴ f （8）＝f （8）对随意 k ∈ N 建立又∵ 2016＝3×672，∴ f （8）＝f （8）＝f （8）＝ ＝f （8）＝ 8．选 C ．同类题型3.1 将 1，2，3， ，100 这100 个自然数，随意分为50 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式1(|a －2b|＋a ＋b)中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50 个值，则这50 个值的和的最大值是 ____________．解：①若 a ≥b ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于 a ，②若 b ＞a 则绝对值内符号相反，∴代数式等于 b因而可知输入一对数字，能够获得这对数字中大的那个数（这跟谁是a 谁是b没关）既然是乞降，那就要把这五十个数加起来还要最大，我们能够列举几组数，找找规律，假如 100 和 99 一组，那么 99 就被浪费了，由于输入 100 和 99 这组数字，获得的不过 100，假如我们取两组数字 100 和 1 一组， 99 和 2 一组，则这两组数字代入再乞降是 199，假如我们这样取100 和 99 2 和 1，则这两组数字代入再乞降是102，这样，能够很显然的看出，应防止大的数字和大的数字相遇这样就能够使最后的和最大，由此一来，只需100 个自然数里面最大的五十个数字从51 到 100 随意俩个数字不一样组，这样最后求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51 到 100 的和，51＋52＋53＋＋100＝3775．同类题型 3.2 规定： [x]表示不大于 x 的最大整数，（x）表示不小于x 的最小整数， [x）表示最靠近x 的整数（ x≠n＋ 0.5，n 为整数），比如： [2.3] ＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝ 2．则以下说法正确的选项是 ________．（写出全部正确说法的序号）①当 x＝1.7 时， [x]＋（ x）＋ [x）＝ 6；②当x＝－ 2.1 时， [x] ＋（ x）＋ [x）＝－ 7；③方程 4[x]＋3（x）＋ [x）＝ 11 的解为 1＜x＜1.5；④当－ 1＜ x＜ 1 时，函数 y＝[x] ＋（ x）＋ x 的图象与正比率函数 y＝ 4x 的图象有两个交点．解：①当 x＝1.7 时，[x]＋（ x）＋ [x）＝[1.7] ＋（ 1.7）＋ [1.7）＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当 x＝－ 2.1 时，[x]＋（ x）＋ [x）＝[－2.1]＋（－ 2.1）＋ [ －2.1）＝（－ 3）＋（－ 2）＋（－ 2）＝－ 7，故②正确；③4[x] ＋3（x）＋ [x）＝ 11，7[x]＋3＋[x）＝ 11，7[x]＋[x）＝ 8，1＜x＜1.5，故③正确；④∵－ 1＜x＜1 时，∴当－ 1＜x＜－ 0.5 时， y＝[x] ＋（ x）＋ x＝－ 1＋0＋x＝x－1，当－ 0.5＜x＜0 时， y＝[x] ＋（ x）＋ x＝－ 1＋0＋x＝x－1，当x＝0 时， y＝[x] ＋（ x）＋ x＝0＋0＋0＝0，当0＜x＜0.5 时， y＝[x]＋（ x）＋ x＝0＋1＋x＝x＋1，当0.5＜x＜1 时， y＝[x]＋（ x）＋ x＝0＋1＋x＝x＋1，∵y＝4x，则x－ 1＝4x 时，得x＝－ 1；x＋1＝4x3 时，得x＝1；当3x＝ 0 时， y＝4x＝0，∴当－ 1＜ x＜ 1 时，函数y＝[x] ＋（ x）＋ x 的图象与正比率函数y＝ 4x 的图象有三个交点，故④错误，答案为②③．同类题型 3.3 设[x]表示不大于 x 的最大整数， { x} 表示不小于 x 的最小整数，＜x＞表示最靠近 x 的整数（ x≠n＋ 0.5， n 为整数）．比如 [3.4] ＝3，{3.4} ＝4，＜3.4 ≥3．则方程A ．没有解C．有 2 个或3[x]＋2{x} ＋＜ x≥ 22（）B．恰巧有 1 个解3 个解D．有无数个解】解：当 x＝ 3 时， 3[x]＋ 2{ x} ＋＜ x≥3×3＋2×3＋ 3＝ 18，当 x＝ 4 时， 3[x] ＋ 2{x} ＋＜ x≥ 3×4＋2×4＋4＝24，∴可得 x 的大概范围为 3＜x＜4，①3＜x＜3.5 时， 3[x] ＋2{ x} ＋＜ x≥3×3＋2×4＋3＝20，不切合方程；②当3.5＜x＜4 时， 3[x]＋2{ x} ＋＜ x≥3×3＋2×4＋4＝21，不切合方程．选A．同类题型 3.4 对于实数 p， q，我们用符号min{ p，q} 表示 p， q 两数中较小的数，如 min{1 ，2} ＝1，所以， min{ －，} ＝ ______；若 min{ （－， }2 －3 ）xx 1＝1，则 x＝____________．解： min{ －2，－ 3} ＝－ 3，∵min{ ， } ＝1，（－）xx 1当 x＝0.5 时，，不行能得出，最小值为1，x＝（x－1）∴当 x＞0.5 时，（－）＜，x 1 x则（x－1）＝1，x－1＝±1，x－1＝1，x－1＝－ 1，解得：x＝2，x＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5 时，（x－1）＞x，则x＝1，解得：x＝1（不合题意，舍去），x＝－ 1，综上所述： x 的值为： 2 或－ 1．例4．已知点 A 在函数y＝－1（x＞0）的图象上，点 B 在直线y＝ kx＋ 1＋ k（k x为常数，且 k≥0）上．若 A，B 两点对于原点对称，则称点 A， B 为函数y，y图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的状况为（）A．有 1 对或 2 对B．只有 1 对C．只有2 对D．有2 对或3 对解：设 A （a ，－1），a1由题意知，点 A 对于原点的对称点B （－ a ，）在直线 y ＝kx ＋1＋k 上， a则1＝－ ak ＋1＋k ， a整理，得： ka －（ k ＋1）a ＋1＝0 ①，即（ a －1）（ka －1）＝ 0，∴a －1＝0 或 ka －1＝0，则 a ＝1 或 ka －1＝0，若 k ＝0，则 a ＝1，此时方程①只有 1 个实数根，即两个函数图象上的 “友善点 ” 只有 1 对； 若 k ≠0，则 a ＝1 或1，此时方程①有 2 个实数根，即两个函数图象上的 “友a ＝k好点 ”有 2 对，综上，这两个函数图象上的 “友善点 ”对数状况为 1 对或 2 对，选 A ．同类题型 4.1 在平面直角坐标内A ，B 两点知足：①点 A ，B 都在函数 y ＝f （x ）的图象上；②点 A ，B 对于原点对称，则称 A ，B 为函数 y ＝f （x ）的一个 “黄金点对 ”．|x ＋4|，x ≤0则函数 f （x ）＝ {1 )的“黄金点对 ”的个数为（ ） － ，x ＞0xA ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个解：依据题意： “黄金点对 ”，可知，作出函数y＝－1（x＞0）的图象对于原点对称的图象，x同一坐标系里作出函数y＝|x＋4|，x≤0的图象如右图：察看图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3．即f（x）的“黄金点对”有： 3个．选 D．同类题型 4.2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点 P 出发沿纵或横方向到达点 Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q 的“实质距离”．如图，若P（－1， 1）， Q（ 2，3），则 P， Q 的“实质距离”为 5，即 PS＋ SQ＝ 5 或 PT＋ TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜爱的交通工具．设A，B，C 三个小区的坐标分别为 A（3， 1），B（5，－ 3），C（－ 1，－ 5），若点 M 表示单车停放点，且知足 M 到 A， B， C 的“实际距离”相等，则点 M 的坐标为____________．解：若设 M（x，y），则由题目中对“实质距离”的定义可得方程组： 3－x＋1－y＝y＋5＋x＋1＝5－x＋3＋y，解得， x＝1，y＝－ 2，则 M（1，－ 2）．同类题型 4.3 经过三边都不相等的三角形的一个极点的线段把三角形分红两个小三角形，假如此中一个是等腰三角形，此外一个三角形和原三角形相像，那么把这条线段定义为原三角形的“和睦切割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和睦切割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相像，∠ A＝ 46°，则∠ ACB 的度数为 __________．解：∵△ BCD∽△ BAC，∴∠ BCD＝∠ A＝46°，∵△ ACD 是等腰三角形，∵∠ ADC＞∠ BCD，∴∠ ADC＞∠ A，即 AC≠CD，1①当 AC＝AD 时，∠ACD＝∠ADC＝（180°－46°）＝ 67°，∴∠ ACB＝67°＋46°＝113°，②当 DA＝DC 时，∠ ACD＝∠ A＝46°，∴∠ ACB＝46°＋46°＝92°，故答案为 113°或 92°．。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
九年级数学 重点题练习 压轴题
D
P
MN F
x
OA
EB
C
(3)如图2，过点D作DI⊥DG交x轴于点I,将△GDI沿 射线GB方向平移至△G′D′I′处，将 △G′D′I′绕点D′逆时针旋转α（0＜α＜ 180°），当旋转到一定度数时，点G′会与点I重 合，记旋转过程中的△G′D′I′为△G′′D′I ′′ 。若在整个旋转过程中，直线G′′I′分别交x轴和 直线GD′于K、L两点，是否存在这样的K、L，使 △GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形？若存在， 求此时GL的长。
会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们。
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础
上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多话费
7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或
“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的
基础上降价25%。学生会计划在这两个网站上分
别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，
A
Bx
O
•D
(3)如图2，点G是线段AB上的一动点，点H在第一
象限，AC∥GH，AC=GH,△ACG与△A′CG关于直线
CG对称，是否存在点G，使得△A′CH是直角三角
形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，
请说明理由。
y
C H
A
B
x
GO
A′ 图2
7.如图，在正方形ABCD的对角线，AC上取一点E， 使AE=2CE，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE， 连接DF，若BC=5，则DF的长为（ ）
A.15π B.18 3 C.15π- 18 3 D.12 3 - 5π
B
E
D
C
初三九年级数学上册上册数学压轴题试题(Word版 含答案)
初三九年级数学上册上册数学压轴题试题（Word 版 含答案）一、压轴题1．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．2．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．3．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE∽；（2）若23AC ，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF△的外接圆圆心之间的距离？4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．5．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．6．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A的水平距离为x米，与地面的距离为y米，运行时间为t秒，经过多次测试，得到如下部分数据：t秒0 1.5 2.54 6.57.59…x米04810121620…y米2 4.56 5.846 5.84 4.562…（1）当t 为何值时，网球高度达到最大值？ （2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GDGO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.8．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）9．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式； （2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．11．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题： （1）当CP⊥OA 时，求t 的值；（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值； （3）如图③，若DE CF ，求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】 【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ． 【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x = ∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，5BQ x ==∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒ ∴//OM AB ∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形 ∴13x =，25x =-（不合题意，舍去） ∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x += ∴4x = ∴312AP x == ②点P 在A 点的左侧时 I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x = ∴473x x -= ∴25x =∴635AP x x == ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去） II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -= ∴1x = ∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题． 2．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8 【解析】 【分析】（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度. 【详解】（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBA DAB ∠+∠=︒，∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠， ∴DBA DAC ∠=∠，∴90DAC DAB ∠+∠=︒， ∴90CAB ∠=︒， ∴AC 是⊙O 的切线；（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，∴BAE DAE ∠=∠，∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠， ∴CFA CAF ∠=∠ ∴CA CF =； ② 设CA CF x ==， 在Rt ABC ∆中，2BC x =+，CA x =，6AB =， 由勾股定理可得222(2)6x x +=+，解得：8x =， ∴8AC =. 【点睛】本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．3．（1）详见解析；（2）3）12【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒， ∴90AEF AFE ∠+∠=︒， ∵EC EF ⊥， ∴90FEC ∠=︒， ∴90AEF BEC ∠+∠=︒， ∴AFE BEC =∠∠， ∴AEF BCE ∽；（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴22,2AB AE BE AD AF ===； ∵AEF BCE ∽， ∴AE AFBC BE=，∴222AB BC =，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，222AB BC AC +=，∴221122AB AB +=， 解得：22AB =； （3）如图：∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处， 同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴1124MN AF AD ==， 由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2AD AB =， ∴22122882MN AB ===. 【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 4．（1）OD=4, （2）证明过程见详解（3）5043π- 【解析】 【分析】（1）根据AB 与圆O 相切,在Rt △OBD 中运用tan ∠BOD=34,即可求出OD 的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG 是矩形,得DO ∥AC,sin ∠OCG=35,在Rt△OCG 中,求出OG 的长等于半径即可解题,（3）利用S 阴影=S Rt △BAC -S 正方形ADOG -14S 圆O ,求出AC 长度即可解题.【详解】解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BDOD=34,∴OD=4,（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,∴四边形ADOG是矩形,∴DO∥AC,∴∠BOD=∠OCG,∵tan∠BOD=BDOD=34,∴sin∠OCG=3 5 ,∵CF=83,OF=4,∴OG=OGsin∠OCG=4=r,∴AC是⊙O的切线（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,在R t△ABC中,tan∠C=34,AB=4+3=7,∴AC=ABtan C∠=734=283,∴S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-14S圆O=212817444234π⨯⨯-⨯-=5043π-【点睛】本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.5．（1）菱形的周长为8；（2）t=65，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣35或t=1+315时，圆M与AC相切．【解析】试题分析：（1）过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．由点A 和点B 的坐标可知：BE=3，AE=1，依据勾股定理可求得AB 的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M 与x 轴的切线为F ，AD 的中点为E ．先求得EF 的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接MF ，F 为 M 与AD 的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM 是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF 的度数，故此可求得∠MAC 的度数；（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=33，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可． 试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，∵()B 1,3-，()A 2,0， ∴BE 3=，AE 1=， ∴22AB AE BE 2=+=，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB BC CD AD ===， ∴菱形的周长248=⨯=．（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，∵()M 3,1-， ∴()F 3,0-，∵AD 2=，且E 为AD 中点，∴()E 30，，EF 6=， ∴2t 3t 6+=， 解得6t 5=． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点， ∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=， ∴tan EAB 3∠=， ∴EAB 60∠=︒， ∴FAB 120∠=︒， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴11FAC FAB 1206022∠∠==⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线， ∴MF AD ⊥， ∵F 为AD 的中点， ∴AF MF 1==，∴AFM 是等腰直角三角形， ∴MAF 45∠=︒，∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒， ∴DAC 60∠=︒． ∵AC 、AD 是圆M 的切线 ∴MAE 30∠=︒， ∵ME MN 1==． ∴EA 3=， ∴3t 2t 53+=-， ∴3t 1=-． 如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒， ∴DAC 60∠=︒， ∴NAE 120∠=︒，∵AC 、AD 是圆M 的切线， ∴MAE 60∠=︒， ∵ME MN 1==， ∴3EA =∴33t 2t 53+=+， ∴3t 115=+． 综上所述，当3t 1=-3t 1=+时，圆M 与AC 相切． 点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.6．（1）10；（2）10+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值； （2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离； （3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110y x =，若要击杀则有(2110010a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得． 【详解】 （1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)， 可设2(10)6y m x =-+， 将（0，2）代入，可得：125m =-， ∴21(10)625y x =--+，当0y =，得10x =±(负值舍去)，∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入(2y a x k =-+，得100k a =-；②不存在．∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点，∴扣杀路线在直线110y x =上，令(2110010a x a x --=，整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 当0=时符合条件，221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得126400a -=，226a --=．开口向下，0a ＜， ∴1a ，2a 都可以， 将1a ，2a 分别代入()215610010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． 7．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大.8．（1）21322y x x =-++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）． 【解析】 【分析】（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点， 点D 为（2-，52-），点B 为（3，0），则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =-++； （2）∵22131(1)2222y x x x =-++=--+，∴点M 的坐标为（1，2）令213022x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点A 为（1-，0）；令0x =，则32y =， ∴点C 为（0，32）； ∴OA=1，OC=32， 过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：∴2ME =，1OE =，2BE =，∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形； （3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；由平行四边形的性质，∴点E 为AB 和11PQ 的中点，∵E 为（1，0），∵点Q 1为（0，y ），∴点P 1的横坐标为2；当2x =时，代入21322y x x =-++， ∴32y =，∴点13(2,)2P ；②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），∴BQ 2中点的横坐标为32，∵点A 为（1-，0），∴点P 2的横坐标为4，当4x =时，代入21322y x x =-++， ∴52y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），∴AQ 3的中点的横坐标为12-， ∵点B （3，0），∴点P 3的横坐标为4-，当4x =-时，代入21322y x x =-++， ∴212y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212-）； 综合上述，点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．9．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或2或2x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=， 综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（1）35，5784y x =+ ；（21722r ≤. 【解析】【分析】（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；②由定义可知，t=-3或6，即点C 坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC 表达式为y=kx+b ，代入即可求出结果；（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小r=2，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=17，即可得出结果．【详解】（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），设AC表达式为y＝kx+b，∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y＝5x+13或5784y x=-+；（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：∵点D（1，1），∴OD所在的直线表达式为y＝x，∴点E的坐标为（2，2），∴OE222+2=22∴⊙P的半径最小r2②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4x ，解得x ＝4， ∴OE ═224+117， ∴⊙P 的半径最大r 17， 172r ≤． 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．11．（1）t ＝3；（2）P （35t +2，45t ﹣4）；（3）t 的值为209秒或4秒或16秒或1609秒 【解析】【分析】（1）如图1，过点C 作CP ⊥OA ，交x 轴于点P ．就可以求出OP 的值，由勾股定理就可以求出的OP 值，进而求出结论；（2）t ＜10时，P 在OA 或AB 上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P 在OA 上，OP=t ，可得P 的坐标；②当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；②当P 在OC 上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 45CP C OC＝＝， 4455CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，∴331t ＝＝（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，∴P （t ，0）；当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则∠AOC ＝∠PAH ，∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 45C ＝， 44 4555PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，∴34P t+2t 455（，﹣）；（3）设切点为G ，连接PG ，分两种情况：①当P 在OA 上时，如图3，⊙P与直线AB相切，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAG，∴sin∠AOC＝sin∠OA45PGGAP＝＝，t45-t5 ＝，∴209t＝；⊙P与BC相切时，如图4，则PG＝t＝OP＝4；②当点P在OC上时，⊙P与AB相切时，如图5，∴OP＝PG＝4，∴4×5﹣t＝4，t＝16，⊙P与直线BC相切时，如图6，∴PG ⊥BC ，∵BC ∥AO ，∴∠AOC ＝∠GCP ，∴sin ∠AOC ＝sin ∠GC 45PG P PC ＝＝， ∵OP ＝PG ＝20﹣t ， ∴42051t t -=-， ∴1609t ＝， 综上所述，t 的值2016041699为秒或秒或秒或秒 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）51DE CD -= 【解析】【分析】（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到DP OD AD DF =,设AF=OD=x ，则AD=2x ，5x ，得到25x ，求出35x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，5x ，可得PC=OC-5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到51OD FC +=，进而得到51251CF CD ==+，即可得到结论.【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠，DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=，AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠，90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP a ∴=，25PD a =， 5DF a =，35PF a ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠，∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ y x =x （舍弃），∴ 12y x +=，∴ DE y CD x y ===+． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题(解析版)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．45米B ．10米C ．46米D ．12米【答案】B【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米， ∴A、B 点的纵坐标为-4， ∵水面AB 宽为20米， ∴A（-10，-4），B （10，-4）， 将A 代入y=ax 2， -4=100a ，∴125a =-， ∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ， ∴C 点的纵坐标为-1， ∴21125x -=-∴x=±5， ∴CD=10， 故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125x D ．y ＝－125 x 2＋ 85x ＋16 【答案】B【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20， 最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ， 将原点坐标代入可得 400160a += ， 解得： 125a =-， 故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+. 故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a 的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加（ ）A ．1mB ．2mC ．（ ﹣4）mD ．（ ﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a （x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12， ∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1， ∴-1=-12（x-2）（x+2）， 解得x=±6，∴水平宽度增加：（26-4）m. 故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为2125y x =-，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10， 把x=10代入 2125y x =- ， 得y=-4， ∴OD=4m， 故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。
专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
专题9二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P（0，﹣），P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（3√32，32），把x=3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=27√38−3316≠32，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−3√32，32），把x=−3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=−27√38−3316≠32，则假设不成立；（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：{0=a−94+c3=c，解得：{a =−34c =3，∴抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3； （2）不存在，理由如下：①当点Q 在y 轴右边时，如图1所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QH ⊥OC 于H ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OH =12OC =32，tan60°=QH OH ， ∴QH ＝OH •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （3√32，32）， 把x =3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =27√38−3316≠32， ∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QT ⊥OC 于T ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OT =12OC =32，tan60°=QT OT ， ∴QT ＝OT •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （−3√32，32）， 把x =−3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =−27√38−3316≠32，∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形；（3）令−34x 2+94x +3＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴B （4，0），设BC 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把B 、C 的坐标代入则{0=4k +b 3=b ，解得：{k =−34b =3，∴BC 直线的解析式为：y =−34x +3，当M 在线段BC 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3所示： 延长PM 交AB 于点D ，则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM ＝MD ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）=−34x +3， 解得：x 1＝1，x 2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD =−34+3=94；当M 在线段BC 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4所示： 延长PM 交AB 于点D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）＝x ， 解得：x 1=83，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =83；当M 在BC 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5所示：点P 与A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1，∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：−34×（﹣1）+3=154； 当M 在CB 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6所示：延长PM 交x 轴于D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =34x 2−94x ﹣3，MD =34x ﹣3， ∴（34x 2−94x ﹣3）﹣（34x ﹣3）＝x ，解得：x 1=163，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =163； 综上所述，⊙M 的半径为94或83或154或163．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【例3】（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt △BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=1 4，∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2−52x+4=14（x﹣5）2−94，∴抛物线的顶点E（5，−9 4），∵AE=√32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC =152，求点P 的坐标； （3）如图乙，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为D ，交⊙M 于点E ．点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长．【分析】（1）由二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，可得二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，构建方程即可解决问题．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．根据AM ＝MP ，根据方程求出t ，再利用中点坐标公式，求出点E 的纵坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），即y =12x 2﹣x ﹣4．（2）如图甲中，连接OP ．设P （m ，12m 2﹣m ﹣4）．由题意，A （﹣2，0），C （0，﹣4），∵S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，∴152=12×2×4+12×4×m −12×2×（−12m 2+m +4）， 整理得，m 2+2m ﹣15＝0，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴P （3，−52）．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．理由：如图乙中，连接AM ，PM ，EM ，设M （1，t ），P [m ，12（m +2）（m ﹣4）]，E （m ，n ）．由题意A （﹣2，0），AM ＝PM ，∴32+t 2＝（m ﹣1）2+[12（m +2）（m ﹣4）﹣t ]2， 解得t ＝1+14（m +2）（m ﹣4），∵ME ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t =n+12(m+2)(m−4)2，∴n＝2t−12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]−12（m+2）（m﹣4）＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE=AD⋅DBPD=(m+2)(4−m)4+m−m2=2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2√3，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=√(2−1)2+(1−14)2=54，EF=√(1−0)2+(1−14)2=54，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=1 4，故二次函数表达式为：y=14x 2；（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2√3；∵点F （0，1），∴点P 的坐标为（0，1+2√3）或（0，1﹣2√3）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点Q （1，1），故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与y =14x 2图象的交点，∴y =14×12=14，则点E （1，14）， EN =√(2−1)2+(1−14)2=54，同理EF =√(1−0)2+(1−14)2=54，点E 到直线y ＝﹣1的距离为|14−（﹣1）|=54， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线y ＝﹣1相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．【例6】（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P （2，2），以P 为圆心，为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值；（3）已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l 为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．【题组一】1．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y ＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OCOB=32a8=√33，解得，a=√3 12；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=12AB=2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+12a=(4√a√2a)2+4√2，∴当4√a=1√2a时，有d最小=4√2，即当a=√28时，有d最小=4√2；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=√4+d2，∴MS=√2MP=√2d2+8，∵MS+MT＝ST＝6，∴√2d2+8+d=6，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2√2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT=BTMB=√22．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当∠APB 达到最大时的P点位置．2．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a 、b 、c ，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设M 的横坐标为t ，用t 表示MN 的距离，再根据二次函数的性质求得MN 的最大值；2°分三种情况：当∠PMN ＝90°时；当∠PNM ＝90°时；当∠MPN ＝90°时．分别求出符合条件的P 点坐标便可．【解答】解：（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中，得 {a +b +c =09a +3b +c =0c =3， 解得，{a =1b =−4c =3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {3m +n =0n =3， 解得，{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3）， ∴MN ＝﹣t 2+3t =−(t −32)2+94，∴当t =32时，MN 的值最大，其最大值为94；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上， ∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （32，32），N （32，−34），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为32，当y =32时，y ＝x 2﹣4x +3=32， 解得，x =4+√102，或x =4−√102＜32（舍去）， ∴P （4+√102，32）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为−34，当y =−34时，y ＝x 2﹣4x +3=−34， 解得，x =52，或x =32（舍去）， ∴P （52，−34）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径， ∴△PMN 的外接圆的圆心Q 为MN 的中点， ∴Q （32，38），半径为12MN =98，过Q 作QK ∥x 轴，与在MN 右边的抛物线图象交于点K ，如图②，令y =38，得y ＝x 2﹣4x +3=38， 解得，x =8−√224＜32（舍），或x =8+√224， ∴K （8+√224，38），∴QK =2+√224＞98，即K 点在以MN 为直径的⊙Q 外， 设抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点为点L ，则l （2，﹣1）， 连接LK ，如图②，则L 到QK 的距离为38+1=118，LK =(8+√224−2)2+(38+1)2=√2098， 设Q 点到LK 的距离为h ，则12QK ⋅118=12LK ⋅ℎ，∴ℎ=118QKLK =118×2+√224√2098=22√209+11√209×224×209≈1.27＞98， ∴直线LK 下方的抛物线与⊙Q 没有公共点，∵抛物线中NL 部分（除N 点外）在过N 点与x 轴平行的直线下方，∴抛物线中NL 部分（除N 点外）与⊙Q 没有公共点， ∵抛物线K 点右边部分，在过K 点与y 轴平行的直线的右边，∴抛物线K 点右边部分与⊙Q 没有公共点，综上，⊙Q 与MN 右边的抛物线没有交点， ∴在线段MN 右侧的抛物线上不存在点P ，使△PMN 的外接圆圆心Q 在MN 边上； 综上，点P 的坐标为（4+√102，32）或（52，−34）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的1°题关键是把MN 表示成t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2°小题关键是分情况讨论．难度较大．3．（2020•望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1），①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，即可求解； （2）S △ABD =5×32=3√5×BN 2，则BN =√5，sin ∠BDH =BH BD=√22，即可求解； （3）①∠ADB ＝45°，则∠AMB ＝2∠ADB ＝90°，MA ＝MB ，MH ⊥AB ，AH ＝BH ＝HM =52，点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为√5； ②PH ＝HB ＝5，则MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22，故△HMQ ∽△QMP ，则QH QP=MH MQ=√22，即可求解． 【解答】解：（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）当x ＝5时，y =12x 2−32x ﹣2＝3，故D 的坐标为（5，3）， 令y ＝0，则x ＝4（舍去）或﹣1，故点A （﹣1，0）， 如图①，连结BD ，作BN ⊥AD 于N ，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）， ∴AD ＝3√5，BD =√10， ∵S △ABD =5×32=3√5×BN2， ∴BN =√5，∴sin ∠BDH =BHBD =√22， ∴∠BDH ＝45°；（3）①如图②，连接MA ，MB ，∵∠ADB ＝45°，∴∠AMB ＝2∠ADB ＝90°， ∵MA ＝MB ，MH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ＝HM =52，∴点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为5√22； ②如图③，连接MQ ，MB ，∵过点B 作⊙M 的切线交1于点P ， ∴∠MBP ＝90°， ∵∠MBO ＝45°， ∴∠PBH ＝45°， ∴PH ＝HB ＝5， ∵MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22， ∵∠HMQ ＝∠QMP ， ∴△HMQ ∽△QMP ， ∴QH QP=MH MQ=√22， ∴在点Q 运动过程中QH QP的值不变，其值为√22．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．4．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a=1 2，故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2√3（舍去4﹣2√3）；故m＝2或4+2√3；（3）存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即√5−0.5≤ND≤√5+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为√5−0.5和√5+0.5．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．【题组二】5．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．6．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即可求解；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB ＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点为（2，4）；（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），解得x＝0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．7．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C 的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D ＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，∴△ONA∽△OBN，∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，故c＝3a，∵a+b+c＝1，在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，∴b2﹣4ac＝13，即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3t2﹣18t+19＝0，解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），k＝t﹣4＝．若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，∴0＜k＜．8．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+ x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P （0，4），或（12，4）．9．（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出过点P 平行于直线EF 的直线与抛物线只有一个交点时，PH 最大，再求出此直线l 的解析式，即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠BMC ＝90°时，先求出BM 的长，进而求出BD ，DM 1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM ＝90°时，利用锐角三角函数求出点M 3的坐标，最后用对称的性质得出点M 4的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴{9a −3b −2=0a +b −2=0，∴{a =23b =43， ∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '， ∵直线EF 的解析式为y ＝﹣x ，设直线l 的解析式为y ＝﹣x +m ①，∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2②，联立①②化简得，23x 2+73x ﹣2﹣m ＝0， ∴△=499−4×23×（﹣2﹣m ）＝0， ∴m =−9724， ∴直线l 的解析式为y ＝﹣x −9724，令y ＝0，则x =−9724， ∴M （−9724，0），∴OM =9724，在Rt △OP 'M 中，OP '=OM √2=97√248， ∴PH 最大=97√248．（3）①当∠CMB ＝90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线，∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2＝∠BCO ，M 2（1，﹣2），∴BM 2＝2，∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1＝BM 2＝2，∠CBM 1＝∠CBM 2，∴∠CBM 1＝∠BCO ，∴BD ＝CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2＝BD 2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD=3 4，∴BD=5 4，∴DM1=3 4过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM1Q =ODDQ=BDDM1，∴1M1Q =34DQ=5434，∴M1Q=35，DQ=920，∴OQ=34+920=65，∴M1（−35，−65），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OCOB=2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m=√5 5，∴M3H＝2m=2√55，OH＝OC﹣CH＝2−√55，∴M3（−2√55，√55−2），而点M4与M3关于点C对称，∴M 4（2√55，−√55−2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（−35，−65）或（1，﹣2）或（−2√55，√55−2）或（2√55，−√55−2）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】（1）由直线y ＝﹣5x +5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值． （3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有BD BP=BP AB=12，再加上公共角∠PBD＝∠ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD ∽△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD =12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5）y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题文一轮：一课双测A+B精练九二次函数与幂函数
高考数学高三模拟考试试卷压轴题（文）一轮：一课双测A+B 精练(九)二次函数与幂函数1．已知幂函数f(x)＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是( ) A ．{x|0<x ≤2}B ．{x|0≤x ≤4} C ．{x|－2≤x ≤2}D ．{x|－4≤x ≤4}2．已知函数y ＝ax2＋bx ＋c ，如果a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )3．已知f(x)＝x 12，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )A ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b)<f(a)C ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(a)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b) 4．已知f(x)＝x2＋bx ＋c 且f(－1)＝f(3)，则( )A ．f(－3)<c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c<f(－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)<cD ．c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)5．设二次函数f(x)＝ax2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]6．若方程x2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞7．对于函数y ＝x2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．8．(·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f(x －1)<x 的解集为________．9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y2的最小值为________．10．如果幂函数f(x)＝x －12p2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．11．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f(x)≥0的解集．12．已知函数f(x)＝ax2－2ax ＋2＋b(a ≠0)，若f(x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．1．已知y ＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．1 2．(·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y ＝f(x)－g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x ＋4与g(x)＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x>0，－f x ，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(九)A 级1．D2.D3.C4.D5．选D 二次函数f(x)＝ax2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x)＝2a(x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m ≤2.6．选B 设f(x)＝x2－2mx ＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m>52.7．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．解析：因为f(x)＝x2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x2－3x ＋2<0得1<x<2.答案：0{x|1<x<2}9．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知 0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y2＝3y2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，tmin ＝34.答案：3410．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p2＋p ＋32>0，即p2－2p －3<0. ∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x ＋1)(x －3)， 将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f(x)＝2(x ＋1)(x －3)＝2x2－4x －6. (2)f(x)＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f(x)min ＝f(1)＝－8，f(x)max ＝f(3)＝0. (3)f(x)≥0的解集为{x|x ≤－1，或x ≥3}． 12．解：(1)f(x)＝a(x －1)2＋2＋b －a. 当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b<1，∴a ＝1，b ＝0， 即f(x)＝x2－2x ＋2.g(x)＝x2－2x ＋2－mx ＝x2－(2＋m)x ＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6. B 级1．选D 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f(x)min ＝f(－1)＝0，f(x)max ＝f(－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f(x)－g(x)＝x2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 3．解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2.则F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x>0，－x ＋12，x<0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f(x)＝x2＋bx ，原命题等价于－1≤x2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
三年级下册数学试题-《9 总复习》压轴题综合练习 人教版 含答案
人教新版三年级下学期《9 总复习》压轴同步卷一．选择题（共10小题）1．小数2.995精确到0.01，正确的答案是（）A．2.99B．3C．3.002．0.50的计数单位是（）A．0.1B．0.01C．0.103．下列小数中，（）是无限循环小数．A．5.32323232B．4.5308308…C．9.2314．估计一下，下面最接近自己年龄的是（）A．600分B．600时C．600周D．600月5．2008年1月1日是星期二，同年的6月1日是（）A．星期二B．星期六C．星期日6．如图，两池拥挤程度相比较为（）A．甲池拥挤B．乙池拥挤C．两池拥挤程度一样D．无法确定7．用两个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（）A．6平方厘米B．2平方厘米C．1平方厘米8．张大伯用24米篱笆靠一面墙围成一个长方形的养鸡栏（如图），要想围得最大面积，最大面积是（）平方米．A．64B．36C．72D．809．如果小红在小强北偏东42°的位置上，那么小强在小红的（）位置上．A．南偏西48°B．北偏东48°C．南偏西42°D．北偏东42°10．在地图上，上海在北京的南偏东约30°的方向上，那么北京一定在上海的（）的方向上．A．北偏东约30°B．北偏西约30°C．北偏西约60°二．填空题（共5小题）11．下列数中，是循环小数；是无限不循环小数．A.0.6B．πC.0.6321…D.0.25．12．、、中只有一个分数不能化成有限小数．．13．每个人每年都要过一次生日．．14．一个正方形的边长减少10%，那么面积减少19%．．15．遮住的是第辆和第辆，遮住了辆．三．解答题（共5小题）16．比1小的数就是小数．．17．二月份有29天，这一年是平年．…．18．如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．19．如图，长方形的ABCD面积被线段AE，AF分成三等份，且三角形AEF的面积是35平方厘米，求长方形的面积．20．优优和豆豆之间有几人？（1）数一数，优优第10，后面是第11、12、13、14、15、16、17，第18是豆豆，中间有人．（2）画一画．，中间有人．人教新版三年级下学期《9 总复习》压轴同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：小数2.995精确到0.01，应是3.00．故选：C．2．【解答】解：因为两位小数的计数单位是0.01，0.50是两位小数，它的计数单位是0.01，故选：B．3．【解答】解：A、5.32323232是有限小数，不是循环小数；B、4.5308308…中308依次不断出现，是循环小数；C、9.231是有限小数，不是循环小数．故选：B．4．【解答】解：600分＝10时，600时＝25日，600周≈11 年，600月≈50年；故选：C．5．【解答】解：（31﹣1）+29+31+30+31+1＝152（天），152÷7＝21（周）…5（天），余数是5，1月1日是星期二，2+5＝7，即6月1日是星期日；故选：C．6．【解答】解：甲池：15×8÷30＝4（平方米）；乙池：40×25÷200＝5（平方米）；因为4＜5，所以甲池比较拥挤；故选：A．7．【解答】解：1×1×2＝2（平方厘米），答：这个长方形的面积是2平方厘米．故选：B．8．【解答】解：设长方形的宽为a，则它的长为24﹣2a因为长方形的长和宽约接近，则其面积越大．所以长方形的宽应是6米，长是12米，则此长方形的面积为：12×6＝72（平方米）．故选：C．9．【解答】解：如图，由题意可知，∠1＝42°，所以∠2＝90°﹣42°＝48°，∠3＝180°﹣90°﹣48°＝42°，即小强在小红家南偏西42°．故选：C．10．【解答】解：在地图上，上海在北京的南偏东约30°的方向上，因为南与北、东与西是相对的，所以南偏东的相对位置就是北偏西，那么北京一定在上海的北偏西约30°的方向上．故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由分析可知：0.6是循环小数，π、0.6321…是无限不循环小数，0.25是有限小数，故答案选，A；B、C．12．【解答】解：＝＝0.25，分母只含有质因数2；＝＝0.2，分母只含有质因数5；＝≈0.667，分母除了含有质因数2外，还含有质因数3．故答案为：√．13．【解答】解：闰年二月29日这天出生的人，那么他只能是4年才过一次生日，因为4年一闰，所以每个人每年都要过一次生日的说法是错误的；故答案为：×．14．【解答】解：设原来正方形的边长为a，则现在的正方形的边长为（1﹣10%）a，（1﹣10%）a×（1﹣10%）a＝0.81a2，（a2﹣0.81a2）÷a2×100%，＝0.19a2÷a2×100%，＝19%．故一个正方形的边长减少10%，那么面积减少19%的说法是正确的．故答案为：√．15．【解答】解：遮住的是第3辆和第4辆，遮住了2辆．故答案为：3，4，2．三．解答题（共5小题）16．【解答】解：1.2、3.6、8.97…这些都是小数，它们都比1大，0比1小，但是整数．故答案为：×．17．【解答】解：根据题意，平年的二月份有28天；闰年的二月份有29天；二月份有29天，这一年是闰年，不是平年．所以，二月份有29天，这一年是平年是错误的．故答案为：×．18．【解答】解：设最小的长方形的长为a米，则宽为米，则阴影部分的面积是：×（12÷）＝＝30（平方米）答：阴影部分的面积是30平方米．19．【解答】解：根据以上分析知：S△EFC＝EC×CF＝×BC×CD＝BC×CD ＝×ABCD的面积，四边形AECF的面积＝×ABCD的面积，设长方形ABCD的面积为S，根据题意得：（﹣）×S＝35S＝35，S＝126．答：这个长方形的面积是126平方厘米．20．【解答】解：（1）数一数，优优第10，后面是第11、12、13、14、15、16、17，第18是豆豆，中间有7人．（2）画一画．，中间有7人．答：优优和豆豆之间有7人．故答案为：7，7．。
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。
专题09 全册综合性压轴训练(原卷版)-2020-2021学年七年级数学期末复习压轴题训练(人教版)
专题09 全册综合性压轴训练（原卷版）一．选择题（共10小题）1．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A．y＝2n+1B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+12．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，请你推测32019的个位数字是（）A．3B．9C．7D．13．若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2020＝（）A．3B．﹣2C．D．4．某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是（）A．1010B．4C．2D．15．如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65m/min的速度、乙从B点以75m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的（）边上．A．BC B．DC C．AD D．AB6．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（）A．PB B．OP C．OQ D．QB7．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间8．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到A n，则△OA2A2019的面积是（）A．504B．C．D．10099．阅读：关于x方程ax＝b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x＝；（2）当a＝0，b＝0时有无数解；（3）当a＝0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程•a＝﹣（x﹣6）无解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．a≠110．如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．A住宅区B．B住宅区C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处二．填空题（共5小题）11．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为．12．一个老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿岀糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果；……，．有一天，x个孩子一起去看老人，第二天，有y个孩子一起去看老人，第三天（x+y）个孩子一起去看老人，那么，第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多块．13．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为个．14．若代数式（a、b为常数）的值与字母x、y的取值无关，则方程3ax+b ＝0的解为．15．利用计算机设计了一个程序，输入和输出的结果如下表：输入…12345……输出…a3三．解答题（共21小题）16．为提高公民社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人收入所得税）；个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”该制度的前两级纳税标准如下：①全月应纳税所得额不超过3000元的，按3%的税率计税．②全月应纳税所得额超过3000元但不超过12000元的部分，按10%的税率计税．按照新的《个人收入所得税征收办法》，在2019年某月，如果纳税人甲缴纳个人收入所得税75元，纳税人乙当月收入为9500元，纳税人丙缴纳个人收入所得税110元．（1）甲当月个人收入所得是多少？（2）乙当月应缴纳多少个人收入所得税？（3）丙当月个人收入所得是多少？17．O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0．（1）写出a、b的值；（2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离；（3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？18．如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P 的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝P A﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．19．如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC＝25°，∠MOB＝15°，∠NOD＝10°，求∠AOD的大小；（2）若∠AOD＝75°，∠MON＝55°，求∠BOC的大小；（3）若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α，β的式子表示）．20．已知，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且满足|a+7|+（c﹣1）2020＝0，点B对应点的数为﹣3．（1）a＝，c＝；（2）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒；点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P、Q两点的距离为；（3）在（2）的条件下，若点Q运动到点C立刻原速返回，到达点B后停止运动，点P运动至点C处又以原速返回，到达点A后又折返向C运动，当点Q停止运动点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数．21．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．（2）在图①中，若∠AOC＝a，求∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE＝2∠DOB．22．列方程解应用题．（1）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如果用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t；新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？（2）元旦期间，晓睛驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了60分钟，返回时平均速度提高了5千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了5分钟，求港珠澳大桥的长度．23．已知多项式3m3n2﹣2mn3﹣2中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从原点O出发，沿OC方向以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点P，Q其中有一点停止运动，另一点同时停止运动），两点同时出发．（1）分别求4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值；（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距70；（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围：若不变，求出其值．24．已知A＝3x2+x+2，B＝﹣3x2+9x+6．（1）求2A﹣B；（2）若2A﹣B与互为相反数，求C的表达式；（3）在（2）的条件下，若x＝2是C＝2x+7a的解，求a的值．25．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？26．魔术大师夏尔•巴比耶90岁时定义了一个魔法三角阵，三角阵中含有四个区域（三个“边区域”和一个“核心区域”，如图1中的阴影部分），每个区域都含有5个数，把差相同的连结九个正整数填进三角阵中，每个区域的5个数的和必须相同．例如：图2中，把相差为1的九个数（1至9）填入后，三个“边区域”及“核心区域”的数的和都是22，即6+1+9+2+4＝22，4+2+8+3+5＝22，5+3+7+1+6＝22，2+9+1+7+3＝22（1）操作与发现：在图3中，小明把差为1的连续九个正整数（1至9）分为三组，其中1、2、3为同一组，4、5、6为同一组，7、8、9为同一组，把同组数填进同一花纹的△中，生成了一个符合定义的魔法三角阵，且各区域的5个数的和为28，请你在图3中把小明的发现填写完整．（2）操作与应用：根据（1）发现的结果，把差为8的连续九个正整数填进图4中，仍能得到符合定义的魔法三角阵，且各区域的5个数的和为2019．①设其中最小的数为x，则最大的数是；（用含x的式子表示）．②把图4中的9个数填写完整，并说明理由．27．如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C →A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的28．已知数轴上三点A、O、B表示的数分别为4、0、﹣2，动点P从A点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是．（2）另一动点R从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多长时间追上点R？（3）若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．29．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B′处；将三角形NAE沿EN折叠，点A 落在点A’处．（1）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，用直尺、量角器画出射线EB′与EA′；（2）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，求∠A'EB'的度数；（3）若∠MEB＝α，∠NEA＝β，用含α、β的代数式表示∠A'EB'的度数．30．（1）如图1，点C在线段AB上，AC＝9cm，CB＝5cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点．求线段MN的长；（2）点C在线段AB上，若AC+CB＝a，点M，N分别是线段AC，BC的中点．你能得出MN的长度吗？并说明理由．（3）类似的，如图2，∠AOB是直角，射线OC在∠AOB外部，且∠AOC是锐角，ON是∠AOC的平分线，OM 是∠BOC的平分线．当∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？31．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB 开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．32．如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．33．如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝°（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．34．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3（1）数轴上点A表示的数为．（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B'C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A的移动距离AA′＝x．当S＝4时，x＝．②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，求数轴上点A′表示的数为多少．35．如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；（2）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．36．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．。
2023年九年级数学中考复习：旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)
2023年九年级数学中考复习：旋转（面积问题）综合压轴题1．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将∠PBC绕点B逆时针旋转90°，得到∠P'BA，连接P P'，求出∠APB的度数．思路二：将∠APB绕点B顺时针旋转90°，得到∠C P'B，连接P P'，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．2．如图，已知在∠ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将∠ABD绕点A旋转，得到∠AC D，连接D E．(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D E；(2)当DE＝D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，∠D EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）AC BD相交于点O，3．如图，平行四边形ABCD中，,1,5AB AC AB BC⊥==,BC AD于点E，F．将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交,(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC 绕点O 顺时针旋转多少度时，四边形BEDF 是菱形，请给出证明．4．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．5．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．6．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD中，AD CDADC∠=︒，2∠=︒，60=，120ABCAB=，1BC=．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD，由于AD CD=，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB'，则BDB'的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC的边长为2，BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形，以D为顶BDC点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长．7．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．。
高考物理复习冲刺压轴题专项突破—热学(含解析)
高考物理复习冲刺压轴题专项突破—热学（含解析）一、选择题（1-9题只有一个选项正确，10-12题有多个选项符合条件）1．如图所示，一导热性能良好的金属气缸内封闭一定质量的理想气体。
现缓慢地向活塞上倒一定质量的沙土，忽略环境温度的变化，在此过程中（）A．单位时间内撞击气缸壁单位面积上的分子数增多B．气缸内大量分子撞击气缸壁的平均作用力增大C．气缸内大量分子的平均动能增大D．气体的内能增大【答案】A【解析】A．温度不变，气体分子的平均动能不变，平均速率不变，等温压缩时，根据玻意耳定律得知，压强增大，则单位时间内撞击气缸壁单位面积上的分子数增多，故A正确；B．气缸内封闭气体被压缩，体积减小，压强增大，大量气体分子作用在器壁单位面积上的平均作用力增大，大量分子撞击气缸壁的平均作用力却不一定增大，故B错误；C．温度不变，则气缸内分子平均动能保持不变，故C错误；D．金属气缸导热性能良好，由于热交换，气缸内封闭气体温度与环境温度相同，向活塞上倒一定质量的沙土时气体等温压缩，温度不变，气体的内能不变，故D错误。
故选A。
2．在没有外界影响的情况下，密闭容器内的理想气体静置足够长时间后，该气体（）A．分子的无规则运动停息下来B．分子的速度保持不变C．分子的平均动能保持不变D．每个分子的速度大小均相等【答案】C【解析】A．由分子动理论可知，分子总是在永不停息的无规则运动，故A错误；B．因为分子总是在无规则运动，所以分子的速度总是在变化，故B错误；C．在没有外界影响的情况下，密闭容器内的理想气体静置足够长时间后，理想气体将会达到平衡态，即理想气体的温度、体积和压强等状态参量均不会发生变化，因温度不变，所以分子的平均动能保持不变，故C正确；D．在相同温度下各个分子的动能并不相同，故速度大小也不相等，故D错误。
故选C。
3．关于花粉颗粒在液体中的布朗运动，下列说法正确的是A．布朗运动能反映花粉颗粒内部分子的无规则运动B．布朗运动就是液体分子的无规则运动C．花粉颗粒越小，布朗运动越明显D．温度足够低时，花粉颗粒的布朗运动可能停止【答案】C【解析】布朗运动是悬浮在液体中的固体颗粒做的永不停息的无规则运动，反映液体分子的无规则运动，温度越高，固体颗粒越小，布朗运动越剧烈，温度低时花粉颗粒的布朗运动变的缓慢，不可能停止，所以A、B、D错误；C正确．4．如图所示为电冰箱的工作原理示意图．压缩机工作时，强迫制冷剂在冰箱内外的管道中不断循环．在蒸发器中制冷剂汽化吸收箱体内的热量，经过冷凝器时制冷剂液化，放出热量到箱体外．下列说法正确的是()A．热量可以自发地从冰箱内传到冰箱外B．在封闭的房间里打开冰箱一段时间后，房间温度会降低C．电冰箱的工作原理不违反热力学第一定律D．电冰箱的工作原理违反热力学第一定律【答案】C【解析】A、由热力学第二定律可知，热量不能自发地从低温物体传到高温物体，除非有外界的影响或帮助．电冰箱把热量从低温的内部传到高温的外部，需要压缩机的帮助并消耗电能，故选项A错误；B、电冰箱工作时消耗电能，房间的总热量会增加，房间温度会升高，故选项B错误；C、热力学第一定律是热现象中内能与其他形式能的转化规律，是能的转化和守恒定律的具体表现，适用于所有的热学过程，故选项C正确，D错误．5．自2020年初开始，我国发生了新冠肺炎疫情。
北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题(含答案)
2021-2022年北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是．B题：当BE＝时，矩形EFGH的面积是8．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BM．PQ BQ②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C 出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．7、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．17、如图，直线y＝x+n交x轴于点A（﹣8，0），直线y＝﹣x﹣4经过点A，交y轴于点B，点P是直线y＝﹣x﹣4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）若点P的横坐标为m，则PD的长度为（用含m的式子表示）；（2）如图1，已知点Q是直线y＝x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，将△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OCA，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．18、如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．19、在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20、如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y＝经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．参考答案1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．1、【解答】（1）证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，∴∠PBG＝∠EPH（同角的余角相等），∴△PGB∽△EHP；（2）解：连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠BPE＝180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE＝∠PCE，在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BP E＝90°，∠ACD＝∠PBE，∴Rt△BPE∽Rt△ADC，∴＝，即＝＝；（3）设AP的长为x．∵AD＝3，AB＝4，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝5∵cos∠GAP＝＝＝，∴AG＝AP＝x．同理，sin∠GAP＝＝＝．则GP＝x．在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，∵＝＝．∴PE＝PB，∴S矩形BPEF＝PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，∵0＜x＜5，∴x＝时，S有最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是9．B题：当BE＝2或4时，矩形EFGH的面积是8．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠A+∠B＝180°，∵BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH＝CF＝CG，∴∠AEH＝∠AHE＝（180°﹣∠A），∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠B），∴∠AEH+∠BEF＝（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）＝90°，同法可证：∠EFG＝∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．∵AE＝BE，∴AH＝DH，BF＝CF，CG＝GD，∴EF＝AC，EH＝BD，∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵OB⊥AC，∴OB＝3，BD＝2OB＝6，∴EF＝3，EH＝3，∴S矩形EFGH＝EF•EH＝9．故答案为9．B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），由题意：x•（6﹣x）＝8，解得x＝4或2，∴BE＝2或4．故答案为A或B，9，2或4．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC=，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BMPQ BQ=．②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．3、【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH ∥BQ ， ∴＝＝．②简解：(射影定理)证2BM PM AM = 由BM =CM 得2CM PM AM = 则△PMC ∽△CMA 可得∠BPQ ＝∠BAC4、已知：矩形OABC 的顶点O 在平面直角坐标系的原点，边OA 、OC 分别在x 、y 轴的正半轴 上，且OA ＝3cm ，OC ＝4cm ，点M 从点A 出发沿AB 向终点B 运动，点N 从点C 出发沿CA 向终点A 运动，点M 、N 同时出发，且运动的速度均为1cm /秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t 秒． （1）当点N 运动1秒时，求点N 的坐标；（2）试求出多边形OAMN 的面积S 与t 的函数关系式；（3）t 为何值时，以△OAN 的一边所在直线为对称轴翻折△OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？4、【解答】解：（1）∵t ＝1∴CN ＝1，AM ＝1 过N 作NE ⊥y 轴，作NF ⊥x 轴 ∴△CEN ∽△COA ，∴，即，∴EN ＝．（1分） 由勾股定理得：，，∴．（2分）（2）由（1）得，∴∴N 点坐标为． ∵多边形OAMN 由△ONA 和△AMN 组成 ∴＝（3分） ＝（4分） ∴多边形OAMN 的面积S ＝．（0≤t≤4）（5分）（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．即OA⊥NN′，OG＝AG＝，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，∴CN＝，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．即OH⊥AC，AH＝NH＝，由面积法可求得OH＝，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．∴，∴．（8分）综上所述，t的值为．5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．5、【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，∴AB＝6，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t＝；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC，∴，∴∴t＝1（3）不存在，理由：由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ＝BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t＝，PQ＝，∴BP＝2t＝3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择A题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为5．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．6、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD∥AG∥FH，BC∥GF，∠ABD＝∠ABC，∠BGE＝∠BGF，∴∠ABC＝∠BGF，∴∠ABD＝∠BGE，∴BH∥GE，∵EH∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形；（2）解：A、∵四边形ABCD和四边形BGEH为菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠GBE＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝5；故答案为：A，5；B、如图所示：∵四边形BHCF为矩形，∴CE＝BE，∵EH∥BG，∴EH∥CD，∴EH是△BCD的中位线，∴BH＝BD＝3，∴CF＝3；故答案为：3；8、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为（1，2）．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．7、【解答】解：（1）∵点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5，∴点B（1，2），故答案为：B（1，2）；（2）如图1，过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），∴OD＝1，BD＝2，∵AC⊥x轴，点A（﹣4，2），∴AC＝2，CO＝4，∴，且∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB，∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；∵△ACO∽△ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∠CAO＝∠BOD，∵∠AOC+∠CAO＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴AO⊥BO，∵AC＝2，CO＝4，∴AO＝＝＝2，∵OD＝1，BD＝2，∴OB＝＝＝，过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，∵∠ACO＝∠OBD'，∠BOD＝∠CAO，∴△ACO∽△OCD'，∴，∴OD'＝＝5，∴D'（5，0）综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似；（3）连接DO，∵将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，∴AD＝DO，∵DN2+ON2＝DO2，∴DN2+4＝（4﹣DN）2，∴DN＝，∴点D坐标（﹣，2），∴BD＝2+＝，∵四边形BDPQ的周长＝BD+PQ+PD+BQ＝++PD+BQ，∴当PD+BQ最小时，四边形BDPQ的周长有最小值，作点B关于AO的对称点B'（﹣1，﹣2），过点D作DH∥AO，且DH＝，∴H（，1），∴B'H为PD+BQ的最小值，∴B'H＝＝，∴四边形BDPQ的周长最小值＝++＝．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．8、【解答】证明：（1）如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴▱OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形，理由是：由（1）得：四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵EM∥OC，∴∠EMB=∠OCB，∴∠EMB=∠OBC，∴BE=EM，∵BM=MC，EM∥OC，∴BE=OE，∴OE=EM，∴▱OEMF是菱形；故答案为：菱形；（3）如图4，ME=OB+MF，理由是：由（2）得：OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵MF∥BE，∴∠OBC=∠BMF，∴∠OCB=∠BMF，∵∠OCB=∠FCM，∴∠FCM=∠BMF，∴FC═FM，由（1）得四边形OEMF是平行四边形，∴OF=EM，∵OF=OC+FC=OB+FM，∴ME=OB+MF．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．9、【解答】解：（1）∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，∴在△GAB和△GC′D中，，∴△GAB≌△GC′D（AAS），∴BG＝DG；（2）∵△GAB≌△GC′D，∴AG＝C′G，设C′G＝x，则GD＝BG＝8﹣x，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得：，∴；（3）∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是AB=AD．11、【解答】证明：（1）如图（2），∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠得：G、E、M将AD四等分，∴ED=BF，∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴OE=OF；（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，∴OD=OB，连接AC，∴A、O、C共线，∵GT∥EO，∴=1，∴DT=OT，∵AE=ED，OT=DT，∴ET∥AC，ET=AO，即EQ∥AC，同理得：TQ=OC，∴EQ=AC，同理得：PF=AC，PF∥AC，∴PF=EQ，PF=EQ，∴四边形EPFQ是平行四边形，∵PF∥AC，F是BC的中点，∴P为AB的中点，同理得：Q为DC的中点，∴AP=QD=AB，∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∴△APE≌△DQE，∴PE=EQ，∴▱EPFQ是菱形．（3）当AB=AD时，四边形EPFQ是正方形，理由是：∵E是AD的中点，P是AB的中点，∴AE=AD，AP=AB，∵AB=AD，∴AP=AE，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠AEP=45°，同理∠QED=45°，∴∠PEQ=90°，由（2）得：四边形EPFQ是菱形，∴四边形EPFQ是正方形；故答案为：AB=AD．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形12、【解答】解：（1）∵AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，∴EF∥AB，EF=AB，HG∥CD，HG=CD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG=EH；（2）A、如图2，延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∠CDG+∠ADM=90°，∵∠BAF=60°，∠CDG=30°，∴∠DAM=30°，∠ADM=60°，∴∠ADM=180°﹣∠DAM﹣∠ADM=90°在Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=4，∴DM=AD=2，AM=2，∵AF=DG=4，∴FM=AF +AM=4+2，MG=MD +DG=6，∴S 四边形AFGD =S △FMG ﹣S △MAD=×FM ×GM ﹣×AM ×DM=×（4+2）×6﹣×2×2=12+4，B 、方法1、如图3．连接FD ，AG （简化图），∵∠BAF=∠CDG ，∴∠DAF=∠ADG在△ADF 和△ADG 中，，∴△ADF ≌△ADG ，∴∠ADF=∠DAG ，DF=AG ，∴∠ADF=（180°﹣∠AOD ）在△AFG 和△DGF 中，， ∴△AFG ≌△DGF ，∠AGF=∠DFG ，∴∠DFG=（180°﹣∠FOG ）∵∠FOG=∠AOD ，∴∠ADF=∠DFG ，∴AD ∥FG ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥FG ，∵AB ∥EF ，∴EF ⊥FG ，∴∠EFG=90°，由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形，∴平行四边形EFGH 是矩形，即：四边形EFGH是矩形．方法2、延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∵∠BAF=∠CDG，∴∠MAD=∠MDA，∴MA=MD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∵四边形ABEF，CDGH是菱形，∴MF=MG，∠AFE=∠DGH，∴∠EFG=∠HGF，由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，∴∠AFE+∠HGF=180°，∴∠EFG=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．13、【解答】解：（1）特例探究：AF=DE．理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAE=∠B=90°，∵∠AOE=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠DAO=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴在ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AF=DE；（2）类比解答：AF与DE的数量关系为AF=DE．理由：如图1，在AB上取点M使得DM=DA，连接DM，交AF于N，则∠DAM=∠DMA，DM=AD=AB，∵∠DAB+∠B=180°，∠DMA+∠DME=180°，∴∠DME=∠B，∵∠AOE=∠ADC，∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDO，∴∠DAO=∠CDO，又∵CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDO=∠MED，∠DAO=∠BFA，∴∠MED=∠BFA，在△MED和△BFA中，，∴△MED≌△BFA（AAS），∴AF=DE；（3）拓展延伸：=．如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵平行四边形ABCD的面积=AB×GM=BC×HN，∵AB=a，AD=b，∴=，∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°，∵∠ADC=∠HOE，∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，∴∠DHO+∠DGE=360°﹣180°=180°，∵AD∥BC，DC∥AB，∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，∴∠HFN=∠GEM，∴△GME∽△HNF，∴==．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．14、【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，根据对称性可知，AE=AB，BE⊥AD，∴B、A、E共线，∵AF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．（2）A、如图2中，当E、D、C共线时，由（1）可知：DE=DC，∵EB⊥AD，AD∥BC，∴EB⊥BC，∴∠EBC=90°，∴BD=DC=DE=CB，∴△BDC是等边三角形，∴∠C=60°，∵AB∥CD，∴∠ABC=180°﹣60°=120°．B、（1）中结论成立．理由如下：如图3中，设BE交AD于H．∵B、E关于AD对称，∴BE⊥AD，EH=BH，∵AD∥BC，∴BE⊥BC，∴∠EBC=90°，∵EH=HB，HF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．故答案为A或B．（3）A、如图4中，作FH⊥CD于H．∵∠ABC=135°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BAF=45°，∠ADC=135°，∠ADG=45°，∴∠AGD=90°，∵∠FHC=90°，∴∠FHC=∠EGC=90°，∴FH∥FG，∵FE=FC，∴HC=HG，∴FH=EG，∵△DFH是等腰直角三角形，∴DF=FH，∴EG=DF，∴=．B、如图5中，作FH⊥CD于H．同法可证：EG=2FH，DF=FH，∴=．故答案为A或B．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择A或B题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=b 或b（用含m，n，b的式子表示）．15、【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH=AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：==；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∴a=b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∴a=b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a=a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣=，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：b或b．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．16、【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，由折叠可知：BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°，在Rt△BCE和Rt△ECB′中，∵EG＝GC，∴BG＝EC，GB′＝EC，∴BG＝GB′，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，∴BE＝CE，∴BE＝EB′＝B′G＝BG，∴四边形BEB′G是菱形．（2）选A或B．故答案为A或B．A题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：如图2中，由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∴B′G∥D′H．②连接GH，则四边形AEGH是平行四边形，∴AE＝GH，设BE＝EB′＝m，则AE＝m，∴m+m＝4，∴m＝4﹣4，∴GH＝AE＝8﹣4B题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∵MN∥BC，∴MN∥BC∥AD，∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠4，∠CB′N＝∠BCB′＝2∠3，∴∠AD′M＝∠CB′N，。
杭州九上期末数学压轴题集锦
9．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sin θ﹣cos θ）2＝（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②BF 2＝PB •EF ；③PF •EF ＝2AD 2；④EF •EP ＝4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④1. 已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（ ）D C BA14Oxy14O xy14OxyOyx142. 如图，已知ABC △，DF BC ∥，DE AC ∥，四边形DECF 的面积为12，若DE 经过ABC △的重心，则ABC△的面积为（ ） A ．25 B ．26 C ．27 D ．283. 如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC 、OC 交于点E 、D ，设C α∠=，A β∠=，则（ ）A ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为20︒B ．若70αβ+=︒，则弧DE 的度数为40︒C ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为20︒D ．若70αβ-=︒，则弧DE 的度数为40︒FEDCBAOEDC BAC (3,y 3)B (1,y 2)A (1,y 1)yxFEDCBA4. 如图，二次函数2y ax bx c =++与反比例函数ky x=的图象相交于点()11,A y -、()21,B y 、()33,C y 三个点，则不等式2kax bx c ++>的解是 ．5. 如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线BD 上的点F 处，2AB =则CB = ． 6. 已知函数()()11y x m x m =+--，2y ax m =+()0a ≠在同一平面直角坐标系中．（1）若1y 经过点()1,2-，求1y 的函数表达式；（2）若2y 经过点()1,1m +，判断1y 与2y 图像交点的个数，说明理由；（3）若1y 经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且对任意x ，都有12y y >，请利用图像求a 的取值范围．7. 已知钝角三角形ABC 内接于O ，E 、D 分别为AC 、BC 的中点，连接DE ．（1）如图1，当点A 、D 、O 在同一条直线上时，求证：12DE AC =；（2）如图2，当 A 、D 、O 不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时． ①求证：△DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH ．求证：AH FG ∥图3图2图18. 如图，AB 是O 的弦（非直径），点C 是弦AB 上的动点（不与点A 、B 重合），过点C 作垂直于OC 的弦DE ．设O 的半径为r ，弦AB 的长为a ，ACm BC=，则弦DE 的长（ ）A ．与r ，a ，m 的值均有关B ．只与r ，a 的值有关C ．只与r ，m 的值有关D ．只与a ，m 的值有关DBE COACBFEDA9. 已知二次函数21y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象经过()2,1A ，()4,3B ，()4,1C -三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线1y x =-上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ）A ．最大值为1-B ．最小值为1-C ．最大值为12-D ．最小值为12-10. 如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO 与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA 绕点O 旋转到OA '处，若AO m =，AOA α'∠=，则调整后点A '比调整前点A 的高度降低了 （用含m ，α的代数式表示）．11. 如图，在锐角三角形ABC 中，45B =︒∠，65AB AC =，点D 为边AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE △沿DE折叠得到FDE △．若FE AC ⊥，则AE EC 的值为 ；DEAF的值为 ．12. 在平面直角坐标系中，设二次函数23y ax bx a =+-（a ，b 是实数，a ≠0）．（1）判断该函数图象与x 轴的交点个数，并说明理由；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，()11,A x y ，()22,B x y 为函数y 图象上的任意两点，其中12x x <，求当12x x ，为何值时，125y y a ==；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点()1,1，当a b <时，求2a b +的取值范围．13. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =AC ，⊙O 是ABC △的外接圆，连结AO ，BO ，延长BO 交AC 于点D ．（1）求证：AO 平分BAC ∠；（2）若⊙O 的半径为5，AD =6，设ABO △的面积为1S ，BCD △的面积为2S ，求12SS 的值．（3）若ODOB=m ，求cos BAC ∠的值（用含m 的代数式表示）． ODCBA14. 如图，在ABC △中，中线AD ，BE 相交于点F ，EG BC ∥，交AD 于点G ，下列说法：①2BD GE =；②2AF FD =；③AGE △与BDF △面积相等；④ABF △与四边形DCEF 面积相等，结论正确的是（ ） A ．①③④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①②④15. 已知二次函数233y x mx n =-+-图象与x 轴没有交点，则（ ）A ．423m n +>B ．423m n +<C ．423m n -<D ．423m n -> 16. 如图，ABC △的两条高线BD ，CE 相交于点F ，已知60ABC ∠=︒，AB a =，CF EF =，则ABC △的面积为（用含a 的代数式表示）．FEDC BA17. 二次函数()16y x mx m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（其中0m >），下列命题：①该函数图象过()6,0；②该函数图象顶点在第三象限；③当3x >时，y 随着x 的增大而增大；④若当x n <时，都有y 随着x 的增大而减小，则132n m≤+．正确的序号是 ．18. 已知二次函数()210y ax bx c a =++≠的图象经过三点()1,0，()6,0-，()0,3-．（1）求该二次函数的解析式；（2）若反比例函数()240y x x =>图象与二次函数()210y ax bx c a =++≠的图象在第一象限内交于点()00,A x y ，0x 落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数()20,0ky k x x=>>的图象与二次函数()210y ax bx c a =++≠的图象在第一象限内的交点为B ，点B 的横坐标为m ，且满足34m <<，求实数k 的取值范围．19. 在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且DC AE =，AD 与BE 交于点P ，连接PC ．（1）证明：ABE CAD △≌△；（2）若CE CP =，求证：CPD PBD ∠=∠；（3）在（2）的条件下，证明：点D 是BC 的黄金分割点．PE D CBA16．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．23．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．（1）求证：△FBD∽△FAC；（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长；（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求证：AE＝AF．9．（3分）（苍南县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：2510．（3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B． C．3 D．422．已知一次函数y1=x+b的图象与二次函数y2=a（x2+bx+3）（a≠0，a，b为常数）的图象交于A、B两点，且点A 的坐标为（0，3）．（1）求出a，b的值，并写出函数y1，y2的解析式；（2）验证点B的坐标为（﹣2，1），并写出当y1≥y2时x的取值范围；（3）设s=y1+y2，t=y1﹣y2，若n≤x≤m时，s随着x的增大而增大，且t也随着x的增大而增大，求n的最小值和m 的最大值．23．（如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T 点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．20. 已知(),M b m 和()1,N b n +是二次函数2y x bx c =-+（其中b ，c 是常数）上不同的两点，则判断m 和n 的大小关系正确的是（ ） A ．0b >时，m n > B ．0b <时，m n < C ．1b >-时，m n < D ．1b <时，m n >21. 如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD ⊥于点E ，若AD 的长与O 的半径相等，则下列等式正确的是（ ） A ．2222BC AB CD =+ B ．222322BC AB CD =+C ．222433BC AB CD =+D ．222544BC AB CD =+FEDCBA22. 已知在Rt ABC △中，4AC =，3BC =，则sin A = ．23. 如图，在等腰△ABC 中，1AB AC ==，AD 平分∠BAC ，点E 在BA 的延长线上，ED EC =，DE 交AC 于点F ，则图中与△AFE 相似的三角形为 ；AF 的长为 ． 24. 已知二次函数2y x bx c =-++（其中b ，c 是常数）．（1）已知函数过点()2,3，求出b 和c 满足的关系式；（2）若1c b =-，求证：不论b 为何值，该函数图象与x 轴一定有交点；（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当0x =时，5y =；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线2x =；丁发现4x =是方程20x bx c -++=的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式．25. 如图1，ABC △是边长为2的等边三角形，以BC 为一边向下作矩形BDEC ，其中1DB =．M 为线段AB 上的动点（且不与A 、B 重合），过M 作矩形MNPQ ，使边NP 在线段DE 上．（1）当MN 为312+时，请直接写出矩形MNPQ 的面积； （2）设MN x =，矩形MNPQ 的面积为y ， ①试求出y 关于x 的函数表达式；②矩形MNPQ 的面积y 是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．（3）如图2，过点N 作AB 的平行线，交线段AC 于点F ，连接MF ，若△MNF 为直角三角形，请直接写出线段MN 的长度．F NMPN QM ACBDEEDBCA23．（12分）已知二次函数y=a （x+p ）2+4的图象是由函数的图象向左平移一个单位得到．反比例函数与二次函数y=a （x+p ）2+4的图象交于点A （1，n ）．（1）求a ，p ，q ，m ，n 的值；（2）要使反比例函数和二次函数y=a （x+p ）2+4在直线x=t 的一侧都是y 随着x 的增大而减小，求t 的最大值； （3）记二次函数y=a （x+p ）2+4图象的顶点为B ，以AB 为边构造矩形ABCD ，边CD 与函数相交，且直线AB 与CD 的距离为，求出点D ，C 的坐标．。
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压轴题复习9 2017-12--8 28．(2015年长清一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
２８题图
28.(2015年槐荫一模) 如图，抛物线2
=-+(m＞0)经过点A(0，m)，与x轴交于点B、点C，抛物线
y a x m
(1)2
的对称轴交抛物线和x轴于点D、点E.
(1)求点B、点C的坐标；
(2)当∠BAC=90°时，求证：△ADE是等腰直角三角形；
(3)在(2)的条件下，除点D外，第一象限内的抛物线上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
28题图
29．(2015年槐荫一模)如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)．抛
物线y ＝－ 4 9
x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． (1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，
△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式；
②当S 最大时，在抛物线y ＝－ 4 9
x 2＋bx ＋c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接．．
写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图。