湖北省宜昌市夷陵中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定4．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则（）A．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是6．若曲线f（x）=sinx﹣cosx的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（）A．B．C．D．7．与椭圆C：+=1共焦点且过点（1，）的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣=1 B．y2﹣2x2=1 C．﹣=1 D．﹣x2=18．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．310．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．11．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为（）A．B．C．D．12．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．把“十进制”数123（10）转化为“二进制”数为．14．已知某算法的流程图如图所示，输出的（x，y）值依次记为（x1，y1），（x2，y2）若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t=．15．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：．16．已知函数f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）m+n=；（2）若x＞1时，f（x）+＜0恒成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．不等式x2﹣3x+2＞0的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．19．已知A（﹣1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a＜﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）求△ABD的面积S1．20．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．21．已知f（x）=x2+ax﹣g（x）=2x，（1）若A={t∈N*|t2﹣10t+9≤0}，当a，b∈A时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率；（2）若B=[0，9]，当a，b∈B时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率．22．如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1F2，离心率为e1；双曲线C2：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为3F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q 两点时，求四边形APBQ面积的最小值．2015-2016学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【专题】简易逻辑．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【考点】命题的否定；全称命题．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为=86，故可知＜，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B．故选B．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力．4．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用实数的性质及不等式的基本性质，我们易判断出命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真值表，对题目中的四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据实数的性质及不等式的基本性质，判断出命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．5．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则（）A．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是【考点】分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据抽样的定义分别进行判断即可．【解答】解：根据抽样的定义可知不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，故选：D【点评】本题主要考查抽样的定义，比较基础．6．若曲线f（x）=sinx﹣cosx的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．【分析】先求出函数的导数，根据导数的几何意义结合辅助角公式，即可得到tanα的取值范围，再利用正切函数的单调性及倾斜角的取值范围即可解出α的取值范围．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，∴f′（x）=cosx+sinx=sin（x+θ）∈[﹣，]，∴﹣≤tanα≤，又α∈[0，π），解得α∈[0，]∪[，π）．故选：C．【点评】理解导数的几何意义和掌握正切函数的图象和性质是解题的关键．7．与椭圆C：+=1共焦点且过点（1，）的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣=1 B．y2﹣2x2=1 C．﹣=1 D．﹣x2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线的方程为，根据双曲线基本量的关系结合题意建立关于a、b 的方程组，解之得a2=b2=2，即得该双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为，根据题意得，解之得a2=b2=2∴该双曲线的标准方程为﹣=1故选：C【点评】本题给出焦点在y轴的双曲线经过定点且与已知椭圆共焦点，求它的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴=﹣2x+60，当x=﹣4时，=﹣2×（﹣4）+60=68．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】导数的加法与减法法则．【专题】导数的概念及应用．【分析】对等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，即2f′（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（2）是个常数，通过求导构造关于f′（2）的方程是解决本题的关键．11．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率等于面积之比，根据题意算出试验包含的总面积和符合条件的面积，两者求比值，得到要求的概率．所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC．要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC的边上或内部，所构成的区域为△EFG区域，最后得到试验发生的所有事件对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：设事件M={硬币落下后与等边△ABC的网格线没有公共点}．要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC的边上或内部，故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC．当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置．如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG区域，因此事件M所构成的区域为△EFG区域．经计算得△EFG的边长为2．∴P（M）===．故选：B．【点评】本题考查几何概型和求面积的方法，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．属于中档题．12．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）【考点】轨迹方程．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．把“十进制”数123（10）转化为“二进制”数为1111011（2）．【考点】进位制．【专题】计算题．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：123÷2=61 (1)61÷2=30 (1)30÷2=15 015÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故123（10）=1111011 （2）故答案为：1111011 （2）．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．已知某算法的流程图如图所示，输出的（x，y）值依次记为（x1，y1），（x2，y2）若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t=81．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8）时，t的取值．【解答】解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；当n=3时，输出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；当n=5时，输出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；当n=7时，输出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；当n=9时，输出（81，﹣8），故t=81．故答案为：81．【点评】本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．15．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值．【考点】归纳推理．【专题】探究型．【分析】对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|﹣|PN|必为定值k，由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，|PM|•|PN|也必为定值，代入验证即可得到答案．【解答】解：由已知条件我们分析：由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比推断，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，|PM|•|PN|也必为定值，任取双曲线一点P（X，Y）则|PM|•|PN|==故答案为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．16．已知函数f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）m+n=；（2）若x＞1时，f（x）+＜0恒成立，则实数k的取值范围是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）=得到m+n的值；利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0求得m，n的值，得到函数f（x）的解析式，代入f（x）+＜0并整理，构造函数g（x）=（x＞1），利用导数求得g（x）＞得答案．【解答】解：由f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），得，∴f′（1）=m+n，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0，∴m+n=；由f′（1）=，f（1）=n，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣n=（x﹣1），即x﹣2y+2n﹣1=0．∴2n﹣1=﹣2，解得n=﹣．∴m=1．则f（x）=lnx﹣，f（x）+＜0等价于lnx﹣+，即，令g（x）=（x＞1），g′（x）=x﹣lnx﹣1，再令h（x）=x﹣lnx﹣1，，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0，∴当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（1）=．则k．故答案为：；（﹣∞，]．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中高档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．不等式x2﹣3x+2＞0的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由不等式x2﹣3x+2＞0得，x＞2或x＜1；不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0等价为（x﹣1）（x+a）＞0，①当﹣a≤1，即a≥﹣1时，不等式的解是x＞1或x＜﹣a，∵p是q的充分不必要条件，∴﹣a≥1，即a=﹣1，②若﹣a＞1，即a＜﹣1时，不等式的解是x＞﹣a或x＜1，∵p是q的充分不必要条件，∴﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1，综上﹣2＜a≤﹣1．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质进行求解是解决本题的关键．18．沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率的求法及所有小组的频率和为1，由已知得：，解之即得a，b的值；（2）根据概率的求法，计算可得答案，分别求出包含基本事件及从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数，最后求出它们的比值即可．【解答】解：（1）由题意知：解得：，（4分）（2）在（50，55]中有4个个体，在（55，60]中有2个个体，所以（50，60]中共6个个体．所以从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数为=15个，（8分）设“至少有一个个体落在（55，60]之间”为事件A，则A包含基本事件15﹣C=9个，（10分）所以P（A）==．（12分）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．已知A（﹣1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a＜﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）求△ABD的面积S1．【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）先对函数y=2x2进行求导，得到直线l1的斜率，再由点斜式方程得到直线l1的方程．（2）联立直线l2、l1与抛物线方程可求得B，D的坐标，进而得到|BD|的值，即根据三角形面积公式可求出△ABD的面积S1．【解答】解：（1）对y=2x2进行求导得到y'=4x∴k=4×（﹣1）=﹣4直线l1的方程为（y﹣2）=﹣4（x+1），即：y=﹣4x﹣2．（2）联立直线l2、直线l1与抛物线方程得到B为（a，2a2），D（a，﹣4a﹣2 ）∴|BD|=|2a2+4a+2|=2（a+1）2∴S1=×2（a+1）2×|（a+1）|=|a+1|3【点评】本题主要考查导数的几何意义和直线与抛物线的综合题．考查基础知识的综合应用．20．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，∴a+2b=0，①（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2．②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为2，圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，则根据垂径定理得：r2﹣（）2=（）2③解由方程①、②、③组成的方程组得：或∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．【点评】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．学生做题时注意满足题意的圆方程有两个．21．已知f（x）=x2+ax﹣g（x）=2x，（1）若A={t∈N*|t2﹣10t+9≤0}，当a，b∈A时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率；（2）若B=[0，9]，当a，b∈B时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率．【考点】几何概型；二次函数的性质．【专题】数形结合；函数的性质及应用；概率与统计．【分析】（1）求出f（x）＞g（x）恒成立的等价条件，利用列举法即可求出对应的概率．（2）求出满足条件的对应区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）A={t∈N*|t2﹣10t+9≤0}={t∈N*|1≤t≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，a，b∈A时，a，b共有9×9=81种组合，若f（x）＞g（x）恒成立，即x2+ax﹣+1＞2x恒成立，即x2+（a﹣2）x﹣+1＞0，则判别式△=（a﹣2）2﹣4（﹣+1）=（a﹣2）2+b2﹣4＜0，即（a﹣2）2+b2＜4，则满足条件的a，b是（1，1），（2，1），（3，1）共有3个，则对应的概率P==．（2）若B=[0，9]，当a，b∈B时，对应的区域是边长为9的正方形，面积S=9×9=81，满足f（x）＞g（x）恒成立的a，b满足（a﹣2）2+b2＜4，则对应的区域在第一象限部分的面积S==2π，则对应的概率P=．【点评】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，利用列举法以及求出对应区域面积的方法是解决本题的关键．22．如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1F2，离心率为e1；双曲线C2：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为3F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q 两点时，求四边形APBQ面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式，结合两点间的距离，可得a，b，进而得到椭圆和双曲线的方程；（2）可设直线AB的方程为x=my﹣1．联立椭圆方程+y2=1，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，设出PQ的方程，联立双曲线方程，求得P，Q的坐标和PQ的长，再由四边形APBQ面积S=|PQ|•2d，化简整理，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为e1e2=，所以•=，即a4﹣b4=a4，因此a2=2b2，即a=b，从而F2（b，0），F4（b，0），于是b﹣b=|F2F4|=﹣1，所以b=1，a=，故椭圆C1方程为+y2=1，双曲线C2的方程为﹣y2=1．（2）因为直线AB不垂直于y轴且过点F1（﹣1，0），故可设直线AB的方程为x=my﹣1．由联立椭圆方程+y2=1，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，易知此方程的判别式大于0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1+y2=，y1y2=，因此x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，AB的中点为M（，），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0．由联立双曲线方程，得（2﹣m2）x2=4，所以2﹣m2＞0，x2=，y2=，从而|PQ|=2=2，设点A到直线PQ的距离为d，则B点到直线PQ的距离也为d，所以2d=，因为点A，B在直线mx+2y=0的异侧，所以（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=，又因为|y1﹣y2|==，所以2d=，四边形APBQ面积S=|PQ|•2d==2•而0＜2﹣m2＜2，故当m=0时，S取得最小值2．四边形APBQ面积的最小值为2．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率的公式和方程的运用，同时考查直线和椭圆方程、双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。