Chapter10-1 [兼容模式]

1 z 2 则 x(n) 为右边序列，且是因果的， 但其傅立叶变换不存在。
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
2
z
1 时 x[n]是左边序列，且是反因果的， 3
其傅立叶变换不存在。
10.3 Z-反变换
The Inverse Z-Transform 一.Z-反变换：

3
1 z 2 时 x[n] 是双边序列，其傅立叶变 3 换存在。
x[n] Res[ X ( z) z , zi ] n 0时， i
n 1
zi 是C内的极点。
zi 是C内的极点。 n 0 时，x[n] Res[ X ( z) z n1 , zi ]
i
zi 是C外的极点。
10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶 变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 当ROC包括 z 1时，Z 变换在单位圆上的情 况就是 X (e j ) ，因此也可以利用零极点图对其 进行几何求值。 其方法与拉氏变换时完全类似：
1
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例2.
x[n] u[n]

例3. x[n] a n u[ n 1]
X ( z ) z n
n 0
1 1 z 1
1
n 1
z 1
X ( z) an z n an z n
n
此时，ROC不包括单位圆，所以不能简单地 从 X ( z ) 通过将
由 x[n] ，N1 n ，有 X ( z ) 若 z r0 ROC，则有 如果r1 r0 ，则
n N1
n N1
n N1
x[n]z
n

x[n]r0 n
若 r0 ROC ， r1 r0 ，则有

x[ n]r1 n
n N1
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本章主要内容
1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。
第10章
Z-变换
3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 4. 由零极点图分析系统的特性。 5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。 6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。

X ( z)
x[n]z
n
n
其中 z re j 是一个复数。
当r 1时， z e j 即为离散时间傅立叶变换。 这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。

X (re j )
n
x[n]r
n j n
e
F[ x[n]r n ]
可见：对 x[n] 做 Z 变换就等于对 x[ n]r n 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。 二. Z变换的收敛域（ROC）： Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 X ( z ) 收敛。 Z平面上那些能使 X ( z ) 收敛的点的集合，就构 成了X ( z ) 的收敛域（ROC）。
Re
1/2 2 单位圆
一般情况下， X ( z )的ROC是 Z 平面上一个以 原点为中心的圆环。
4）如果 x[n] xi [n] ，则其ROC是各个xi (n) 的 ROC的公共部分。若没有公共区域则表明 x(n) 的Z变换不存在。 5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是 由 X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。 6）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有
The Z-Transform
10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅 立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多 性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要 的差异。
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一.双边Z变换的定义:
4. 右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能 不包括 z 。 设 x[n] 是右边序列，定义于 N 1 , ，




n N1
r x[n]r0 n ( 0 ) N1 r1
z r1 ROC
当 N1 0 时,由于 X (z) 的展开式中有若干个Z 的正幂项，此时 z 不能为 。 5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能 不包括 z0 。
n 0
当 N1 0时，由于X ( z) 的展开式中包括有Z的 负幂项，所以 Z 不能为零。若X ( z )是有理函数， 则ROC必是最内部极点的内部。 6. 双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一 个环形区域。 例1. x[ n]
1 aN zN z N aN N 1 1 az 1 z ( z a)
5 3 z 1 6 1 1 (1 z 1 )(1 z 1 ) 4 3
x[n]
1 2 j

c
X ( z) z n1dz
二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当 X ( z )是有理函数时，可将其展开为部分分式
1 1 z 4 3
X ( z)
i
Ai 1 ai z 1

r x[ n]r0 n ( 0 ) n r1
N1 n

x[n]r1 n
N1 n

r x[n]r0 n ( 0 ) n r1
N1

n

r x[ n]r0 n ( 0 ) N1 r1
r1 ROC
N 1
X (z) an z n
i
三. X ( z )的几何表示——零极点图： 如果 X ( z )是有理函数，将其分子多项式与分 母多项式分别因式分解可以得到：
N ( z) M D( z )
X ( z)
(z z ) (z z )
i i p p
由其全部的零、极点即可确定出X ( z ) ，最多 相差一个常数因子 M 。
Z平面
Im
z e j 得到 X (e )。
j
a 1 z 1 1 a 1 z 1 az 1
Z平面
Im 单位圆
ROC: z a
X (e j )
Re
1 ( 2 k ) 1 e j k
Re
1
（例2的ROC）
a 1
例4. x[n] ( )n u[n] 2n u[ n 1]
3
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例2. x[n] b , b 0
n
Im Z平面
例3. X ( z )
x[n] b n u[n] b nu[ n 1]
bnu[n] 1 , 1 bz 1
b
Re
1/b
1 1 (1 z 1 )(1 2 z 1 ) 3
Im
(2) 0 1/ 3
X (e j ) X (z)|ze j
2
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因此，若在 Z 平面上表示出 X ( z ) 的全部零、 极点，即构成 X ( z )的几何表示——零极点图。 如果在零极点图上同时标出ROC，则由该 零极点图可以唯一地确定一个信号。 零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特 性，具有重要的用途。
X (re j )
x[ n]r n
x[n]r
n
2
n j n
e
ROC是否包括 z
，是 x(n) 是否因果的标志。
1 2
X (re
j
j
)e jn d
ROC是否包括 z 0，是 x (n)是否反因果的标志。
x[ n]
1 2
2
例1. x[ n] a n u[ n]

X (z)
n
a z
n n

1 1 az 1
z a 时收敛
当 a 1 时， ROC包括了单位圆。 此时， x(n) 的DTFT存在。
X (e j ) 1 1 ae j
j
Z平面
Im 单位圆
z a
a 1
Re
显然有 X ( z ) |z e X ( e j )
x[n] 1 2 j
ROC1 : | z | 1/ 4
ROC2 : | z | 1/ 3

c
X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n1 , zi ]
i
ROC1
ROC2
所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。 幂级数展开法的缺点是当 X ( z ) 较复杂（含 多个极点时）难以得出 x[n] 的闭式。
将 X ( z ) 展开为部分分式有：
4
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X ( z)
1 2 1 1 1 z 1 1 z 1 4 3
பைடு நூலகம்
ROC1 : | z | 1/ 4 ROC2 : | z | 1/ 3
展开式中 z n 项的系数即为 x[n]。当 X ( z ) 是 有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为 幂级数。 由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z 的负幂项，所以要按降幂长除。 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z 的正幂项，所以要按升幂长除。 对双边序列，先要将其分成对应信号的右边 和左边的两部分，再分别按上述原则长除。
X (re
) r n e j n d
j j 令 z re ，则 dz jre d jzd
当 从 0 2 时，Z沿着ROC内半径为 r 的圆 变化一周。 其中 C 是 ROC 中逆时针方向的 圆周。
步骤 ：1. 求出 X ( z ) 的所有极点 ai ； 2. 将 X ( z ) 展开为部分分式； 3. 根据总的ROC，确定每一项的ROC； 4. 利用常用变换对和Z变换性质求出每一 项的反变换。 例：X ( z )
例：X ( z )
5 3 z 1 6
1 1 (1 z 1 )(1 z 1 ) 4 3 1 2 X ( z) 1 1 1 z 1 1 z 1 4 3
1 1 z 4 3
幂级数展开法适合用来求解非有理函数形 式 X ( z )的反变换。 3. 留数法： 对有理函数的 X ( z )由留数定理有：
Re
2
z b
1 极点：z1 , 3
z2 2
1 b nu[n 1] , 1 b 1 z 1
表明此时 X ( z )不存在。
z b
1
零点：z 0 （二阶） 若其ROC为：
Z平面上极点 在有限 总数与零点总数相同
在 b 1 时，两部分的收敛域无公共部分，
10.2
Z 变换的ROC
The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. X ( z )的ROC是Z平面上以原点为中心的环 形区域。 2. 在ROC内， X ( z ) 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可 能不包括 z 0 ，或 z ）。
ROC1
ROC2
1 1 x[n] ( ) n u[ n] 2( ) n u[ n 1] 4 3
2. 幂级数展开法:（长除法） 由 X ( z )的定义，将其展开为幂级数，有
X ( z ) x( n) z n x(1) z
x[0] x[1]z 1 x[2]z 2 x[n]z n
jIm z
z 极点：
a（一阶）
j 2 k N
z 0 （N－1阶）
a
( N 1)
a
Re z
零点： z ae
0
(k 0,1 N 1)
( N 8)
0,
a n , 0 n N 1, 其他 n
a0
在 z a 处，零极点抵消，使有限 Z平面内 无极点。 ROC : z 0
1 2
结 论：
1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存
Im
1 X ( z ) ( )n z n 2n z n n 0 2 n 1 1 1 1 1 z 1 1 2 z 2
ROC : 1 z 2 2

1
Z平面
在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X (z) 收敛。 2）仅仅由 X (z)的表达式不能唯一地确定一个信 号，只有X ( z ) 连同相应的ROC一道，才能与信 号 x[n] 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域。