浙江省衢州市2015年高三4月教学质量检测 数学文

浙江省衢州市2015年高三4月教学质量检测数学文考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷．考试结束后，将答题卷上交．2．试卷共4页，有三大题，20小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 343V R π= 台体的体积公式其中R 表示球的半径 ()1213V h S S =锥体的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 试卷Ⅰ注意事项：请用2B 铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，然后开始答题． 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知,a b 为正实数，则“1a >且1b >”是“1ab >”的（ ▲ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ▲ ）A. 3y x x =+ B. log a y x = C.3xy = D.1y x=-3．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A. //,,//l n l n αβαβ⊂⊂⇒ B. ,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥C. ,//l n m n l m ⊥⊥⇒D. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥4．将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ▲ ） A.3π-B.6π C.3π D.56π5．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ▲ ） A. 10 B.4+C. 5+D. 6．在ABC ∆中，若1AB =，3AC =，AB AC BC +=，则AB BC BC⋅=（ ▲ ）A. B.12- C. 12D.7． 已知∈a R ，若函数21()|2|2=--f x x x a 有三个或者四个零点，则函数2()41=++g x ax x 的零点个数为（ ▲ ） A. 1或2 B.2 C. 1或0 D. 0或1或2 8．设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y均满足b +取值范围为（ ▲ ）A. (]0,2B. []1,2C. [)1,+∞D. [)2,+∞非选择题部分（共110分）二、 填空题 ：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分。

9．设全集=U R ，集合{}{}2|10,|20,=+≤=-<A x x B x x 则=AB ▲ ，=A B ▲ ， R =B ð ▲ ．10．设函数1()2cos()26π=+f x x ，则该函数的最小正周期为 ▲ ，值域为 ▲ ，单调递增区间为 ▲ ． 11．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为 ▲ 3cm ，外接球的表面积为 ▲ 2cm ．俯视图侧视图（第11题图）12．设不等式组0,24,24≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩x x y x y 所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ▲ ；若直线1=-y ax 与区域D 有公共点， 则a 的取值范围是 ▲ ．13．12,F F 分别是双曲线221169-=x y 的左右焦点，P 为双曲线右支上的一点，A 是12∆PF F 的内切圆，A 与x 轴相切于点(,0)M m ，则m 的值为 ▲ ．14．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a ,仍是等比数列,则称()f x 为“等比函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①()3=x f x ；②3()=f x x ； ③2()=f x x； ④2()log ||=f x x .则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ▲ ．15．在∆ABC 中，0⋅=AC BC ，点M 在BC 边上，且满足2=BM MC ，则co s ∠M A B 的 最小值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题,满分74分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cos A a C =． （Ⅰ）求角C 的大小；cos A B +取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．17．（本小题满分15分）已知数列{}n a 是首项为2的等差数列，其前n 项和n S 满足14n n n S a a +=⋅．数列{}n b 是以12为首项的等比数列，且123164b b b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意n ∈*N 不等式121111142n n T S S S λ+++≥- 恒成立，求λ的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==PA AD ，1=AB，=AC （Ⅰ）证明：//MN 平面PCD ；（Ⅱ）求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．19．（本小题满分15分）如图，设抛物线C ：22(0)=>y px p 的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，且||8=AB ，线段AB 的中点到y 轴的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线2l 与圆2212+=x y 切于点P ，与抛物线C 切于点Q ,求∆FPQ 的面积. 20．（本小题满分14分）已知函数2()2=++f x ax bx c (∈x ,R 0)≠a（Ⅰ）若1,0=-=a c ，且()=y f x 在[1,3]-上的最大值为()g b ，求()g b ； （Ⅱ）若0>a ，函数)(x f 在[8,2]--上不单调，且它的图象与x 轴相切，求(1)2-f b a的最小值.2015年4月衢州市高三教学质量检测试卷（第19题图）D B（第18题图）数学（文科）参考答案一、选择题：BADDC BAD二、填空题：9．(1];(,[2,)--∞-∞+∞ 10．74;[2,2];[4,4],33k k k πππ-π-π-∈Z 11．203；12π 12．47;[,)34+∞ 13．1214．②③ 15三、解答题：16．解：sin cos A aC =结合正弦定理变形得:sin sin a cA C==3分cos C C =,tan C =…………………………………6分 ∵0C π<<,∴6C π=； …………………………………………………7分（Ⅱ）由(1)知56B A π=-………………………………………………………8分cos A B +5cos()6A A π=+-1sin 2A A A =-+ 1sin 2A A =+sin()3A π=+11分∵506Aπ<<, ∴7336A πππ<+< ………………………………12分当32A ππ+=时,cos A B +取得最大值1, ………………13分此时2,63A B ππ==,6C π=, …………………………………………14分 故此时ABC ∆为等腰三角形 . ……………………………………15分17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1114()a a a d =+，解得2d =，∴2n a n=…………………………………………………………………4分由31232211644b b b b b ==⇒=，从而公比2112b q b ==， ∴1()2nn b = …………………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111(1)1n S n n n n ==-++ ∴12111111111(1)()()122311n S S S n n n +++=-+-++-=-++10分又11(1)12211212n n n T -==--，……………………………………………12分 ∴对任意*n N ∈，121111142n n T S S S λ+++≥-等价于131112124n n λ+--≥+ …………………………………………………13分 ∵1311212n n +--+对∈n *N 递增， ∴min 13113113()2122244n n +--=--=+， ………………………14分 ∴31344λλ≥⇒≤.即λ的取值范围为(,3]-∞ ……………………15分 18．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点E ，连结NE ，CE ．N 为PA 中点，//12NE AD ∴=， 又M 为BC 中点，底面ABCD 为平行四边形，1//2MC AD ∴=． //NE MC ∴=，即MNEC 为平行四边形， ……………………4分 ∴//MN CEEC ⊂平面PCD ，且MN ⊄平面PCD ，//MN ∴平面PCD ． ……………………………………………7分 （其它证法酌情给分） （Ⅱ）方法一：PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ．则MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的角， ……………………10分由1AB =，AC =，2AD =，得AC CD⊥，由AC CD AD MF ⋅=⋅，得MF=， 在Rt AMN ∆中，1AM AN ==，得MN=在Rt MNF ∆中，2NF ==tan 5MFMNF FN ∴∠===,直线MN 与平面PAD 所成角的正切值为5． ……………………15分方法二：PA ⊥平面ABCD ，PAAB ⊥，PA AC ⊥， 又1AB =，AC ，2BC AD ==，D222AB AC BC ∴+=，AB AC ⊥． ……………………………9分 如图，分别以,,AB AC AP 为x 轴，y 轴，z建立空间直角坐标系A xyz -，则1(2M ，(0,0,1)N ， (0,0,2)P，(1D -，1(,2MN ∴=--，(0,0,2)AP =，(1AD =-，……………………11分设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则 由20000z AB n x AD n ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1y =得(3,1,0)n =， ……13分设MN 与平面PAD所成的角为θ，则sin cos ,MN n θ=<>==tan 5θ⇒=， MN ∴与平面PAD 所成角的正切值为5．………………………15分 19．解：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 由题意知1232x x +=，126x x ∴+=， ………………………3分 又128AB x x p =++=，2p ∴=，………………………6分故抛物线C的方程为24y x =； ………………………………………7分 （Ⅱ）设2:l y kx m =+，由2l 与O 相切得22212m k =⇒=+ ① …………………………………9分 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩222(24)0k x km x m ⇒+-+= （*） 直线2l 与抛物线相切，222(24)40km k m ∴∆=--= 1km ⇒= ②……………………11分 由 ①，②得1k m ==±，∴方程（*）为2210xx -+=，解得1x =， (1,1)Q ∴±，PQ ∴===； ………………13分 此时直线2l 方程为1yx =+或1y x=--，∴令(1,0)F 到的距离为d =1122PQF S PQ d ∆∴=⋅==． ………………………15分20．解：（Ⅰ）1,0=-=a c 时，222()2()=-+=--+f x x bx x b b ， ∴对称轴是直线=x b ，①1<-b 时，max ()(1)12=-=--f x f b ②当13-≤≤b 时，2max ()()==f x f b b ③当3>b 时，max ()(3)96==-+f x f b综上所述，212,(1)(),(13)96,(3)--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩b b g b b b b b ； ………………………………6分（Ⅱ）∵函数)(x f 的图象和x 轴相切，∴22140()4∆=-=⇒=c b b ac a a， ∵)(x f 在[8,2]--上不单调， ∴对称轴2(8,2)2=-=-∈--b bx a a∴(2,8)∈ba222111()(1)242222++++++===----b c b bf a b ca a a ab b b a b aa a， 设(2,8)2(0,6)=∈⇒-∈bt t a， ∴2222111()12(1)1844422422++++++===----b b t t f t t a a b b a t t a1161[(2)8]8]4424=-++≥+=-t t ， ∴min (1)()42=-f b a，此时当且仅当24(0,6)6-=∈⇒=t t ．………14分。