正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
小学数学中的三角函数初步
小学数学中的三角函数初步三角函数是小学数学中的重要内容之一。
它是描述角度和边长之间关系的数学工具。
通过学习三角函数，可以帮助学生深入理解角的概念，并应用于各种实际问题中。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在初步学习中，我们主要关注正弦函数和余弦函数的定义。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为：三角形的一条直角边与斜边的比值。
即sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为：三角形的另一条直角边与斜边的比值。
即cosA = 邻边/斜边。
这两个定义是初学者理解三角函数的基础。
通过计算三角形中的边长比值，我们可以得到一个0到1的比例值，用以表示角度大小。
二、三角函数的性质学习三角函数，我们需要了解它们的一些基本性质。
以下是几个重要的性质：1. 周期性：三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重复。
以正弦函数为例，它的周期是360度或2π弧度。
也就是说，sin(A+360n) = sinA，其中n为整数。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA；而余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 单调性：在某个区间内，正弦函数和余弦函数的函数值是单调变化的。
例如，在0到90度的区间内，正弦函数值不断增加，而余弦函数值不断减小。
三、三角函数的应用三角函数的应用广泛，不仅在数学中有重要作用，还涉及到物理、工程、天文等领域。
以下列举几个常见的应用场景：1. 三角函数在测量中的应用：三角函数被用于测量高度、距离和角度等。
例如，在测量一座高楼的高度时，我们可以利用三角函数和测量仪器的数据，通过计算出两个角的大小，从而得到高楼的高度。
2. 三角函数在建筑中的应用：在建筑领域，三角函数常被用于计算斜坡、屋顶的角度等。
通过应用三角函数，可以确保建筑物的结构合理且稳定。
正弦余弦函数的性质奇偶_单调_对称性
正弦函数在每个闭区间[
2k ,
2k ]( k Z )
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
[，、 0] [， 2 ][3 , 4 ] 上时， 当x在区间[3 , 2 ]、
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
10 18 18 10 17 17 23 23 3 cos( ) cos cos (2)、 cos( ) cos cos 5 5 5 4 4 4 3 0 , 且y cos x在[0, ]上是减函数 4 5 3 3 y
cos
(1)cos x 0 : (2)cos x 0 :
3 5 2
2 3
2
(
2
2
O
2k
1
,
2
2
3 2
2
5 2
3
x
2k ) 2k )
kZ kZ
3 ( 2k , 2 2
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
1.周期性（复习）
(1) y sin x
T 2
2 y A sin( x ) T | |
(2) y cos x
T 2
2 y A cos( x ) T | |
定义域和值域
y
1
3 5 2
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如， 对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期 性和相位来判断其在任意区间上的单 调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x， 都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任 意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函 数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函 数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域 为$x \in \mathbb{R}$。
1.4.2 正、余弦函数的性质(二)
正弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________；
余弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________；
典例精析
例1判断下列函数的奇偶性
增大到 ；在每一上闭区间______________________________上都是减函数，其值从 减小到 。
（2）余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从
增大到 。在每一个闭区间______________________________上都是减函数，其值从 减小到 。
1.4.2 正、余弦函数的性质（二）
学习目标：
1、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性；
2、通过正余弦函数的图象来理解性质，培养数形结合的能力；
3、体会正余弦函数的有界性，并根据此性质来解决一些最值有关的问题；
自学导引
1．奇偶性
（1）正弦函数的奇偶性：如果点 是函数 的图象上任意一点，那么与它关于原点对称的点__________也在函数 的图象上，这时我们说函数 是_______函数。即：若__________________，则称函数 为奇函数。
A B C D
2、（1）函数 在 （ ）
A 上是增函数 B 上是减函数
C 上是减函数 D 上是减函数
（2） 的奇偶性为 （ ）
A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数
3、已知函数 的图象关于直线 对称，则 可能是（ ）
A B C D
4、已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象 （ ）
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
三角函数的周期性与奇偶性
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。
一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。
这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。
这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。
2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。
也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。
这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。
需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。
二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。
2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。
但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)， 得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
3
鸡西市第十九中学高一数学组
4
在下图中利用平移画出余弦曲线
观察图像填下列各空： 从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝
对称，余弦函数 y＝cos x 的图象 ，cos(－x)＝ 均对一切 x∈R 函数．
恒成立．所以说，正弦函数是 R 上的
函数，余弦函数是 R 上的
【注意】判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关
2
鸡西市第十九中学高一数学组
求值区间内． 训练 3 π π 5π 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 3＝1，求 f－ 6 的值． 2
【当堂训练】 3 1．函数 y＝sin(4x＋ π)的周期是( 2 A．2π B．π ) B．y＝sin 2x D．y＝cos(－4x) 1－sin x (2)f(x)＝ . 1＋sin x ) π C． 2பைடு நூலகம்π D． 4
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.2 学习 目标 重点 难点
正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
1．掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性， 2．会判断简单三角函数的奇偶性． 正弦函数、余弦函数奇（偶）函数的图像特征
【奇函数】一般地，对于函数 f ( x) 的 定义域的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那 么 f ( x) 就叫做奇函数．奇函数的图象关于 关于 例如： 对称,那么这个函数为奇函数. ； 对称.反过来,如果一个函数的图象
1
鸡西市第十九中学高一数学组
于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断 f(－x)与 f(x)的关系即可；一 些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错. 例 1 判断下列函数的奇偶性． 1 π 1＋sin x－cos2x － x＋ ； (1)f(x)＝sin (2) f ( x ) ＝ lg(1 － sin x ) － lg(1 ＋ sin x ) ； (3) f ( x ) ＝ . 2 2 1＋sin x
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性及最值)
作业：P40练习3，5，6.
函 数 y= sinyx (k∈z)
y= cosx y(k∈z)
பைடு நூலகம்性质
定义域 值域
周期性 奇偶性 单调性
最值
对称中心 对称轴
0
2 -1 2
3 2 x
2
2
0
-1 2
3 x
2
R
R
[-1,1]
周期为T=2kπ
奇函数
在x∈[2kπ-
π
2
π
, 2kπ+ 2
]
上都是增函数
在x∈[2kπ+
(1)
sin(
18
)与
sin(
10
)；
(2) cos(
23
5
)与
cos(
17
4
).
解：cos(
23
5
) cos
23
5
cos
3
5
，
cos(
17
4
)
cos
17
4
cos
4
.
Q
0
4
3
5
,
且 y=cosx 在[0, π] 上是减函数,
cos
4
cos
3
5
,
即
cos(
17
4
)
cos(
23
5
).
例4.求函数 y sin(1 x )，x∈[－2π，2π]的单调递
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)=- sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
正弦-余弦函数的单调性和奇偶性
②化简函数解析式
③计算 f (x) 并判断与 f (x) 关系
注：若函数定义域不关于原点对称，则函数是非奇非 偶函数
再观察正弦函数图像 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 在
在每个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 上是增函数，
作 业:课本65页 习题4.8 5、6、7（1）
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
我们把具有这种特点的函数叫偶函数
定义：一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域
x 内的任意一个 ，都有 f (x) f ( x) 则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 的定义
域内的任意一个 x都 f ( x) f ( x) ,则称 f (x)
5
5
cos1(011748O)
cos
17
4
cos
4x
0 3 1 ,且y cos x在[0, ]上是减函数
45
cos 3 cos 即cos 3 －cos 0
5
4
5
4
cos( 23 ) cos( 17 ) 0 课本练习P64 8
5
4
高考体验
1.（06广东）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
2
2
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [ 2k , 3 2k ](k Z ) 是减函数，
2
2
其函数值从1减小到-1
【精品资料】正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
余弦函数y=cosx R [-1，1] 当x=2kπ时，ymax=1 当x=2kπ+ π时，ymin=-1 [2k- , 2k],增 [2k, π+2k],减
单调性 奇偶性
周期性 对称性
奇函数
T=2π
偶函数
T=2π 对称轴是直线x= kπ 对称中心是点(π/2+kπ,0)
对称轴是直线x= π/2+kπ 对称中心是点(kπ,0)
y
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
-1
1 -3
5 2
y
o
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？
点(k， 0)(k Z)和直线x
y 探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
y -1
1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考 1 ：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦 答：存在 函数是否存在最大值和最小值 ？ _________ 若存在，其最大值为_____ 1 和最小值为_____. -1
142正弦函数、余弦函数的性质(二)
三、最大值和最小值探究
y
y sin x 1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
正弦函数当且仅当 x __2___2_k__,_k__Z___时取得最大值__1_
当且仅当 x ___2__2_k__, k___Z__时取得最小值__1_
三、最大值和最小值探究
y cos x y
B
5
3
4k
x
3
4k , k
Z
可得 A
B
5
3
,
3
.
所以原函数的单调递增区间为
5
3
,
3
.
1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:
(1)sin x 0
(2)sin x 0
2k, 2k ,k Z 2k,2 2k , k Z
(3) cos x 0
(4) cos x 0
2
在每个增区间，函数值从 1增大到 ，1
在每个减区间，函数值从 1减小到 . 1
正弦函数在每一个闭区间
2
2k
,
2
2k
,
(k
Z)
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
2
2k , 3
2
2k
,
(k
Z )上都是减函数，
其值从1减小到-1.
4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？
y cos x
——王安石
一、奇偶性探究
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
正余弦函数的性质2
第一章三角函数1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)学习目的：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 课堂探究：1.奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3π)；……由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如：函数f (x)=x 2+1, f (x)=x 4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=x1 都是奇函数。
如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；（2）f (-x)= f (x)或f (-x)=- f (x)必有一成立。
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调
（奇偶性、单调性） 奇偶性、单调性）
武汉睿升学校： 武汉睿升学校：关俊
正弦、余弦函数的周期性： 正弦、余弦函数的周期性： 正、余弦函数的一般形式： 余弦函数的一般形式：
f ( x) = A sin(ω x + ϕ ) f ( x) = A cos(ω x + ϕ )
T= 2π
ω
f ( x + T ) = f ( x)
y = − sin(πx +
π
6
)
下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？ 下列函数是周期函数吗？如果是，周期是多少？
1，y = sin x
2，y = sin x 3，y = sin x + sin x
1 4，y = sin x + 2
1 5、函数 对于任意实数x满足条件 、函数f(x)对于任意实数 满足条件 f ( x + 2) = 对于任意实数 f ( x)
y
1 -4π -3π -3π
−
5π 2
y
1 π
π
2
-2π -2π
− 3π 2
-π -π
−Leabharlann oπy=sinx
2π π
3π 2
3π 2π
5π 2
4π 3π
5π
7π 2
6π 4π
-1
2
o
-1
x x
关于与x轴的交点对称 关于与 轴的交点对称 （kπ ,0） k ∈ Z
2k + 1 y=cosx关于 （ 关于 π ,0） k ∈ Z 点对称 2
f ( − x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x )
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
《正弦,余弦函数的单调性和奇偶性》xx年xx月xx日•正弦函数的单调性和奇偶性•余弦函数的单调性和奇偶性•正弦,余弦函数单调性和奇偶性的比较•总结与展望目录01正弦函数的单调性和奇偶性$y=\sin x$的定义域为$x \in R$，即所有实数。
在区间$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2})$内，$y=\sin x$单调递增；在区间$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$内，$y=\sin x$单调递减。
其中，$k \inZ$。
$y=\sin x$的最大值为1，最小值为-1。
定义域单调性最大值和最小值正弦函数是奇函数。
具体来说，对于任意实数$x$，都有$\sin(-x)=-\sin(x)$。
周期性正弦函数具有周期性。
具体来说，对于任意实数$k$，都有$\sin(x+2k\pi)=\sin x$，其中$k \in Z$。
奇偶性VS三角函数在解三角形中的应用正弦函数在解三角形中有着广泛的应用。
例如，通过正弦定理可以求解三角形的形状和大小；通过余弦定理可以求解三角形的边长和角度等。
正弦函数在振动和波动中的应用正弦函数也是振动和波动中常用的函数之一。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度都可以表示为正弦函数的形式；电磁波的传播也是以正弦函数的形式表现的。
正弦函数的应用02余弦函数的单调性和奇偶性定义域余弦函数的定义域为所有实数，即x可以取到无穷大和无穷小的值。
单调区间余弦函数在区间(-∞, 0)和(0, ∞)上单调递减。
周期性余弦函数是周期函数，其周期为2π。
010203奇偶性余弦函数是偶函数，因为f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)。
图像特征余弦函数的图像关于y轴对称。
三角函数公式余弦函数在解三角方程、求三角函数值等方面有重要应用。
振动和波动余弦函数可以描述振动和波动的规律，例如简谐振动和正弦波。
物理问题余弦函数可以用于解决物理中的周期性问题，例如振荡电路和机械振动。
三角函数奇偶性的判断口诀
三角函数奇偶性的判断口诀1. 三角函数奇偶性：（1）正弦函数 y=sin x，是奇函数；（2）余弦函数 y=cos x，是偶函数；（3）正切函数 y=tan x，也是奇函数；（4）余切函数 y=cot x，是偶函数。
2. 三角函数奇偶性判断口诀：（1）正弦余弦：奇偶关，正弦是奇，余弦是偶；（2）正切余切：同上关，正切是奇，余切是偶；（3）反三角：奇偶全反，反正弦是偶，反余弦是奇。
三角函数的奇偶性是指在经过偶函数（cos x）和奇函数（sin x）加工之后，运用反三角函数求出结果时候若结果仍是原函数那么其就是奇偶性，本质上决定奇偶性的是函数在坐标对称轴交换之后是否可以恢复原来的函数形式，具体表示为：sin（-x）= - sin x，即奇函数；cos （-x）= cos x，即偶函数。
要判断某个函数的奇偶性，可以通过以下步骤：（1）先把函数画出来；（2）然后把函数的图像左右对折一下；（3）比较左右两边对折之后的图像，若两边图像完全对称，则该函数就是偶函数；若两边图像不完全对称，则该函数就是奇函数。
因此，我们可以把三角函数奇偶性的判断口诀分为以下几点：（1）正弦（sin x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arcsin x）也是奇函数；（2）余弦（cos x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccos x）也是偶函数；（3）正切（tan x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arctan x）也是奇函数；（4）余切（cot x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccot x）也是偶函数。
总之，如果想要快速判断某个三角函数的奇偶性，我们只需要记住以下口诀就好了：正弦余弦，奇偶关；正切余切，同上关；反三角，奇偶全反。
使用这个口诀就可以轻松掌握三角函数奇偶性。
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y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 思考5 正弦曲线除了关于原点对称外， 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ 思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外， 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和 线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间 的单调区间 你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习： 练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ， 思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数 上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考3： 思考 ：观察余弦曲线可知
2kπ(k∈Z) 余弦函数y=cosx当且仅当x=__________时取最 当且仅当x=__________ 余弦函数 当且仅当x=__________时取最
−2π
− 3π 2
y=|sinu|
π
2
−π
−
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即： 增区间为 k π − ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z Q
π
-1
y=- |sinu|
2 3π π kπ − ≤ x ≤ kπ − , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ − ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
2.正、余弦函数的最小正周期T=_____ 余弦函数的最小正周期T=_____ T= 2π
(ωx+φ)(A≠0 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos (ωx+φ)(A≠0， 2 π 的最小正周期T= ω T=___ ω＞0) 的最小正周期T=___
函数y=Asin( y=Asin(2 (A≠0 若函数y=Asin(2ωx+φ) (A≠0，ω＞0) 1 的最小正周期是4 ω=____ 的最小正周期是4π，则ω=____ 4 周期性是正 是正、 3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质. 弦函数、 基本性质. 正弦函数、余弦函数还具有 哪些性质呢？ 哪些性质呢？ 值域、单调性、奇偶性、 值域、单调性、奇偶性、最值
π
3π +2kπ, π 2 2
你能求 y=3sin(π/4-2x) 的单调区间？ 的单调区间？
2
+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈
π
(2) y=3sin(2x- 4 ) 解：k π − π ≤ 2 x − π ≤ 2 k π + π 2
π
3π kπ − ≤ x ≤ kπ + 8 8 2 4 2 3π 3π 7π π π 2 kπ + ≤ 2 x − ≤ 2 kπ + kπ + ≤ x ≤ kπ + 2 4 2 8 8 3π π 所以： 所以：单调增区间为 [ k π − , k π + ] 8 8 3π 7π , kπ + ] 单调减区间为 [ k π + 8 8
单调性 奇偶性 周期性 对称性
求下列函数的最大值和最小值， 例 1 求下列函数的最大值和最小值 ， 并写出取最大 最小值时自变量x的集合. 值、最小值时自变量x的集合.
理论迁移
（1）y=cosx＋1，x∈R； y=cosx＋ x∈R； y=－ sin2 x∈R. （2）y=－3sin2x，x∈R.
探究（ ）：正 探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性 思考1 思考1 ：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性， y 正弦曲线关于原点o对称 你有什么发现？
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 y 1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
余弦曲线关于原点o对称
π
2
-3π
−
5π 2
-2π
3π − 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
x
cosx
-π π -1
…
−
π
2
…
0 1
…
π
2
…
π -1
0
0
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ −π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
y=sinx
点 π， ∉Z 和 线 = +2kπ(k ∈Z) (k 0)(k ) 直 x 2
π
正弦函数y=sinx 正弦函数 定义域 值域与 最值 R [-1，1] ， 当x=2kπ+ π/2时ymax=1 时 当x=2kπ+ 3π/2时ymin=-1 时 [-π/2+2kπ, π/2+2kπ],增 π π 增 [π/2+2kπ, 3π/2+2kπ],减 π π 减 奇函数 T=2π 对称轴是直线x= 对称轴是直线 π/2+kπ 对称中心是点(kπ,0) 对称中心是点
2 3π π π 3π 减小到-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减小到 ， 减小到 2 π 2 ] π ∈
π− π
π π
思考4 类似地， 思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是 增函数？在哪些区间上是减函数？ 增函数？在哪些区间上是减函数？
y
1 -3π
5π − 2
y 探究（ ）：正 探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
1 -3π
− 5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
y -1
1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
5π − 2
-2π
3π − 2
-π
Hale Waihona Puke −π2o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线， 思考 1 ： 观察正弦曲线和余弦曲线 ， 正 、 余弦 函数是否存在最大值和最小值？ 答：存在 函数是否存在最大值和最小值 ？ _________ 若存在，其最大值为_____和最小值为_____ _____和最小值为_____. 若存在，其最大值为_____和最小值为_____. 1 -1 思考2 正弦函数y=sinx当且仅当x=_________ y=sinx当且仅当 2 思考2：正弦函数y=sinx当且仅当x=_________ π − +2kπ, k ∈Z 时取最大值1 当且仅当x=__________ x=__________时取最 时取最大值 1, 当且仅当 x=__________ 时取最 2 小值小值-1
3π 5
4
<
3π <π 5
<cos
π
4
又 y=cosx 在 [0, π ] 上是减函数 即： cos
17π ) 4
3π 5
– cos
π
4
<0
<0
求下列函数的单调递增区间： 例3 求下列函数的单调递增区间： (1) y=2sin(-x ) Q
解：y=2sin(-x ) = -2sinx π π − +2kπ, +2kπ],k∈Z 上单调递减 π 2 π ∈ 函数在 [ 函数在 [
f(-x)=f(-x)=-f(x) f(f(-x)= f(x)
f(x)=sinx (x∈R)是奇函数 ∈ 是
f(x)=cosx (x∈R)是偶函数 ∈
思考3 观察正弦曲线升降趋势， 思考3 ：观察正弦曲线升降趋势 ，正弦函数在哪 些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？ 些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如 y 何将这些单调区间整合？ 何将这些单调区间整合？