学案三角函数、平面向量综合题六类型
学案1：高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题考点一·平面向量 一、基础知识要记牢在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 二、经典例题领悟好例1 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则λμ＝________.方法技巧平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：1.忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；2.错用数乘公式. 对此，要注意两点：1.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；2.运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件. 三、预测押题不能少1．(1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 (2)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP 等于( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b 考点二·平面向量的数量积 一、基础知识要记牢(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |先求出夹角的余弦值， 然后求夹角．(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝|a |cos θ.二、经典例题领悟好例2 (1)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152(2)在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1, 则AB 的长为________． 方法技巧求平面向量的数量积的方法有两个：(1)定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角； (2)坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 三、预测押题不能少2．(1)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3C.3π4D.5π6(2)已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB ·AC ＝－2，则|AG |的最小值是( ) A.33B.22C.23D.34交汇·创新考点盘点平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式与几何形式的“双重型”，考查时经常与三角函数、解析几何、线性规划问题等知识交汇命题． 角度一·平面向量与线性规划问题的交汇 一、经典例题领悟好例1 已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ＝λAB ＋μAC (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．学审题——审条件之审视隐含设P 点坐标―→AP 、AB 、AC 坐标――――――――――――→AP ＝λAB ＋μAC关于λ，μ，x ，y 方程组―→求出λ，μ―→关于x ，y 不等组―→作出可行域―→D 的面积．方法技巧本题由AP ＝λAB ＋μAC 把平面向量转化为线性规划问题，求解的易误点是由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1求x ，y 的范围然后计算面积时，出现面积变大，错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形．本题采用线性规划知识求解． 二、预测押题不能少1．已知O 为坐标原点，A 点的坐标为(1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2角度二·平面向量与三角函数的交汇 一、经典例题领悟好例2 已知O 为坐标原点，对于函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，称向量OM ＝(a ，b )为函数f (x )的伴随向量，同时称函数f (x )为向量OM 的伴随函数．(1)设函数g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π2－x )，试求g (x )的伴随向量OM 的模；(2)记ON ＝(1，3)的伴随函数为h (x )，求使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π2]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．方法技巧解决平面向量与三角函数结合的题目，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题.而本题求解需要在理解新定义的基础上把问题转化为常规类型，运用三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式进行化简运算，同时也伴随着平面向量的坐标运算. 二、预测押题不能少2．设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β) >0,0<<<2λαβπ⎛⎫⎪⎝⎭是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直． (1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．角度三·新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在． 一、经典例题领悟好例3 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( ) A.52 B.32 C ．1 D.12方法技巧本题把向量的数量积、夹角、不等式和集合等问题通过新定义有机结合在一起．解答本题的关键是明确a ∘b 与b ∘a 在集合Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式． 二、预测押题不能少3．在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为“若OP ＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)”． 若F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|1MF |＝|2MF |，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0 D.2x ＋y ＝0参考答案考点一·平面向量 二、经典例题领悟好 例1 4【解析】以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴 建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)， c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.三、预测押题不能少 1．(1)A【解析】由已知， 得AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5， 因此与AB 同方向的单位向量是15AB ＝⎝⎛⎭⎫35，－45. (2)C【解析】选C 如图，连接BP ， 则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB .③ 又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝⎛⎭⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋47b .考点二·平面向量的数量积 二、经典例题领悟好 例2 (1)A (2)12【解析】 (1)由已知得AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，因此AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD |CD |＝1552＝322.(2)设AB 的长为a (a >0)，又因为AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝AD －12AB ，于是AC ·BE ＝(AB ＋AD )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝12AB ·AD －12AB 2＋AD 2 ＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.三、预测押题不能少 2．(1)D【解析】a ⊥(a ＋b )⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0， 故cos 〈a ，b 〉＝－963＝－32，故所求夹角为5π6.(2)C【解析】设BC 的中点为M ，则AG ＝23AM .又M 为BC 中点，∴AM ＝12(AB ＋AC )，∴AG ＝23AM ＝13(AB ＋AC )，∴|AG |＝13AB 2＋AC 2＋2AB ·AC＝13AB 2＋AC 2－4.又∵AB ·AC ＝－2，∠A ＝120°， ∴|AB ||AC |＝4. ∵|AG |＝13AB 2＋AC 2－4≥132|AB ||AC |－4＝23，当且仅当|AB |＝|AC |时取等号， ∴|AG |的最小值为23.交汇·创新考点盘点一、经典例题领悟好 例1 3【解析】设P (x ，y )，则AP ＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB ＝(2,1)，AC ＝(1,2)．由AP ＝λAB ＋μAC知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎨⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.二、预测押题不能少 1．D【解析】 如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.角度二·平面向量与三角函数的交汇 一、经典例题领悟好例2 解 (1)∵g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π2－x )＝2sin x ＋cos x ，∴OM ＝(2,1)，∴|OM |＝22＋12＝ 5.(2)由已知可得h (x )＝sin x ＋ 3 cos x ＝2sin(x ＋π3)，∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴h (x )∈[1,2]．∵当x ＋π3∈[π3，π2]时，即x ∈[0，π6]时，函数h (x )单调递增，且h (x )∈[3，2]；当x ＋π3∈(π2，5π6]时，即x ∈(π6，π2]时，函数h (x )单调递减，且h (x )∈[1,2)．∴使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π2]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为[3，2)．二、预测押题不能少2． 解：(1)由题设，可得(a ＋b )·(a －b )＝0，代入a ，b 的坐标，可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0， 所以(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0. 因为0<α<π2，故sin 2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)． 故λ＝2.(2)由(1)及题设条件，知a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45.因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0.所以sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34.所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝－34＋431－⎝⎛⎭⎫－34×43＝724.所以tan α＝724.角度三·新定义下平面向量的创新问题 一、经典例题领悟好 例3 D【解析】 a ∘b ＝a ·b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |·cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m 2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ·n4＝cos 2θ.因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ·n <2， 故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.二、预测押题不能少 3．D【解析】依题意，1MF ＝(－1－x ，－y )＝(－1－x )e 1－y e 2，2MF ＝(1－x ，－y )＝(1－x )e 1－y e 2，由|1MF |＝|2MF |，得1MF 2＝2MF 2，∴[(－1－x )e 1－y e 2]2＝[(1－x )e 1－y e 2]2，∴4x ＋4y e 1·e 2＝0. ∵∠xOy ＝45°，∴e 1·e 2＝22，故2x ＋2y ＝0，。
三角函数与平面向量综合问题
三角函数与平面向量综合问题【题型解读】题型特点命题趋势1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a a 2＋b2·sin x ＋ba 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2020年·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx－12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. ▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题．2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性． 【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB ＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (优质试题·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π4的值． 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A＝a sin B b ＝31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.⎝⎭▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (优质试题·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(优质试题·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3. (1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋B ＝12. 因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝332＝23，解得R ＝3，所以S ＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
三角函数与平面向量综合题(合编打印)
三角函数与平面向量题型归类解析1.考查三角函数的化简或求值2.考查三角函数中的求角问题3. 考查三角形的边长或角的运算4. 考查三角函数的最值与向量运算5. 考查三角函数解析式的求法一、结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【解答】因为β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，又cos tan()24a b βαα⋅=⋅+-，故cos tan()24m βαα⋅+=+．由于04πα<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)cos sin ααπαα++-22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan ααα+=⋅-cos tan()24m βαα=⋅+=+．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sinθθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( )A.21 B.32C.22D.236. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是( )A.-2B.2C.1D.-17. α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.BACD②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+=⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）A ．π25B ．π45C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2A Bi j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
专题三 三角函数与平面向量的综合应用试题
三角函数与平面向量的综合应用要点梳理1．同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力．通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点．2．研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±A sin ωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±A cos ωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函12数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调区间．3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．题型一 三角函数的化简求值问题例1 求⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 2140°－1cos 2140°·12sin 10°的值3例2已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图象上的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，0(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．4例3 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围例4设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.56训练1 已知0<α<π4，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，－1，b ＝(cos α，2)，且a ·b ＝m .求2cos 2α＋sin 2(α＋π)cos α－sin α的值． 训练 2 (2010·山东)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4上的最大值7和最小值．训练3已知角A ，B ，C 是△ABC 三边a ，b ，c 所对的角，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos A 2sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos A 2，sin A 2，a ＝23，且m ·n ＝12. (1)若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值；(2)求b ＋c 的取值范围．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b.第一步：将向量间的关系转化成三角函数式．第二步：化简三角函数式．第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质．第四步：明确结论．第五步：反思回顾．查看关键点，易错点和规范解答失误与防范1．对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围．2．平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性．8。
三角函数与平面向量综合问题—6种类型
三角函数与平面向量综合问题—6种类型一、三角函数与平面向量综合问题经典回顾三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．开心自测题一：设的三个内角，向量，，若，则=（）A．B．C．D．题二：设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．金题精讲题一：平面上三点不共线，设，则的面积等于（）．A．B．C．D．题二：设向量（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）若，求证：∥．题三：在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．题四：设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）．三角函数与平面向量综合问题经典回顾参考答案开心自测题一：C．题二：A．金题精讲题一：C．题二：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）略．题三：（I）；（II）．题四：(Ⅰ)；(Ⅱ)．二、三角函数与平面向量综合问题—6种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
向量和三角函数综合题
向量和三角函数综合题引言向量和三角函数是数学中常见且重要的概念，它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍向量和三角函数的基本概念和性质，并通过一些综合题目来加深理解和应用。
向量的基本概念什么是向量向量是由大小和方向共同决定的量，可以用有向线段表示，其中起点和终点分别称为向量的始点和终点。
通常用小写字母表示向量，如a、b等。
向量的表示方法向量可以用矩阵或坐标表示。
如果一个向量在二维坐标系中，可以用二维列向量表示；如果一个向量在三维坐标系中，可以用三维列向量表示。
向量的运算向量之间可以进行加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法可以通过将向量的始点与终点相连得到，而数量乘法就是将向量的长度进行比例缩放。
向量的数量特征向量的数量特征包括模长、方向角和方向余弦。
模长表示向量的长度，方向角表示向量与正方向的夹角，而方向余弦就是向量的方向角的余弦值。
三角函数的基本概念什么是三角函数三角函数是描述角度关系的函数，主要包括正弦、余弦和正切函数。
它们在三角形的计算和周期性变化的问题中经常出现。
正弦函数正弦函数在数学上表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的值域在[-1, 1]之间，当x为0、π、2π等整数倍的π时，函数的值为0，这也是函数图像上的极值点。
余弦函数余弦函数在数学上表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数的值为0，极值点出现在函数图像的波峰和波谷处。
正切函数正切函数在数学上表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的值域为全体实数，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数没有定义。
三角函数的性质三角函数有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、和差公式、倍角公式、半角公式等。
这些性质在计算中经常用到，对于解题非常有帮助。
向量和三角函数的综合应用向量与三角函数的关系向量和三角函数在很多应用中是密切相关的。
(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型
第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
2013高考数学专题之--三角函数与平面向量的综合应用
专题三、三角函数与平面向量的综合应用【题型分类】题型一、三角函数式的化简求值问题例1、已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图像上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326， 求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． 题型二 三角形中的三角恒等变换例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x4，1， n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8.平面向量与三角函数的综合问题试题：设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、填空题1．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是_______ 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为__________3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值=___________4．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，则2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝________.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．6．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝________. 二、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图像上的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．8．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝ ⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升题组一、填空题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是__________2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是__________3．(2011·大纲版全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于_______4．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的 值为________．6．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. 二、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．8．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 的值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程|x a －b |＝|m a |有两个不同的正实数解，且x ≠m ，求m 的取值范围．答案题型分类·深度剖析例1 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π. 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤(2x 0＋π6)－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 变式训练1 (1)13 (2)－1314 2例2 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.变式训练2 (1)13 (2)－72例3 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 变式训练3 (1)5π4 (2)－59课时规范训练 A 组1．B 2.C 3.B 4.4＋2m 5.π2或π3 6.－1957．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R (2)函数的最小值为－3； 相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z8．(1)π3 (2) 3B 组1．D 2.B 3.A 4.4、0 5.1235 6.1527．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0. 所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14， 即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2. 所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10. 8．解 (1)由题意得，(a ＋2b )(a －4b )＝0，即a 2－2a·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫162＝356， tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2 ＝x 2a 2－2x a·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9⎝⎛⎭⎫x －362＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值为12， 此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量a 与x a －b 垂直．(3)对方程|x a －b |＝|m a |两边平方整理， 得9x 2－(6cos θ)x ＋1－9m 2＝0，①设方程①的两个不同正实数解为x 1，x 2，则由题意得，⎩⎨⎧Δ＝(6cos θ)2－4×9×(1－9m 2)>0，x 1＋x 2＝6cos θ9>0，x 1x 2＝1－9m 29>0.解之得，13sin θ<m <13.若x ＝m ，则方程①可以化为－(6cos θ)x ＋1＝0，则x ＝16cos θ，即m ＝16cos θ. 而x ≠m ，故得m ≠16cos θ. 令13sin θ<16cos θ<13， 得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ<1，cos θ>12， 得0°<θ<60°，且θ≠45°， 当0°<θ<60°，且θ≠45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13，且m ≠16cos θ； 当60°≤θ<90°，或θ＝45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13.。
专题5.2 三角函数与平面向量综合题
专题5.2 三角函数与平面向量综合题近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求： 第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形式下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。
【考点预测】预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。
复习建议1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般都出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。
【考点pk 】【考点一 三角函数】1．（全国文7、理5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 2．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C )2 (D)33．（课标卷文 11）.设函数)42cos()42sin()(ππ+++=x x x f ，则（ ）A 函数上在)2,0(),(πx f 单调递增，其图像关于直线4π对称；B 函数上在)2,0(),(πx f 单调递增，其图像关于直线2π对称；C 函数上在)2,0(),(πx f 单调递减, 其图像关于直线4π对称；D 函数上在)2,0(),(πx f 单调递减，其图像关于直线2π对称；4．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．已知函数()f x =Atan(x ωϕ+)(02πωϕ＞，＜）， ()y f x =的部分图像如图，则24f π⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）（A ） (C)(D)2 6．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。
三角函数平面向量综合问题
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
9.已知向量a＝(cos x，－ >，b＝( sin x，cos 2x>，x∈R，则a·b在 上的最大值和最小值分别为(>
A. ，－ B. ，－ C．1， D．1，－
10.若函数y＝Asin(ωx＋φ> 在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且 · ＝0，则A·ω＝(>
在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界>任意一点，则 · 的最大值为________．
已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t>b，若b·c＝0，则t＝________.
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
申明：
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A. B.பைடு நூலகம்C. πD. π
11.已知关于x的一元二次方程a·x2＋b·x＋c＝0，其中a，b，c是非零平面向量，且a，b不共线，则该方程(>
A．可能有无穷多个实数解B．至多有两个实数解
C．至少有一个实数解D．至多有一个实数解
12.在△ABC中， · ＝1， · ＝－3，则 的值为________．
课题
三角函数、平面向量综合问题
学习目标
重点难点
导学过程
备注
1.已知函数f(x>＝sin ＋cos ，g(x>＝2sin2 .(1>若α是第一象限角，且f(α>＝ ，求g(α>的值；(2>求使f(x>≥g(x>成立的x的取值集合．
三角函数、平面向量综合题六类型 生
三角函数与平面向量综合题的六种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦。
【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出被求角的三角函数值，题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C =（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅= ，且9a b +=，求c ．【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】()f x a b =⋅ ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如sin()y A x k ωϕ=++，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
三角函数与平面向量综合二轮专题
高三理科二轮数学学案课题三角函数与平面向量综合应用专题一、学习目标（考纲分析）1.运用正余弦定理解决实际问题2.三角函数的综合应用二、重点、难点：三角函数的综合应用三、知识网络：见附页四、导练展示：1.2. 3. 已知ABC∆的内角A．B．C所对边分别为a、b、c，设向量)2cos),cos(1(BABA-+-=，)2cos,85(BAn-=，且89=⋅nm.（Ⅰ）求BA tantan⋅的值；（Ⅱ）求222s i ncbaCab-+的最大值.五、达标训练：1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？2. 已知ABC△的面积为3，且满足0≤ACAB∙≤6，设AB和AC的夹角为θ．（I）求θ的取值范围；（II）求函数2()2sin24fθθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大值与最小值．3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．4.设锐角ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c，，,2sina b A=.(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求cos sinA C+的取值范围.1A2A 120 105六、反思小结：。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
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…
2021年三角函数与平面向量的综合应用复习检测题型归纳
2021年三角函数与平面向量的综合应用复习检测题型归纳高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理了三角函数与平面向量的综合应用复习检测，希望大家喜欢。
1.已知向量a=(cos ，sin )，b=(2,3)，若a∥b，则sin2-sin 2的值等于()A.-513B.-313C.313D.513解析：由a∥b，得2sin -3cos =0得tan =32.sin2-sin 2=sin2-2sin cos sin2+cos2=tan2-2tan tan2+1=322-232322+1=-313. 答案：B2.(经典考题)△ABC中，AB边的高为CD，若CB=a，CA=b，ab=0，|a|=1，|b|=2，则AD等于()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵ab=0，ab，ACB=90，AB=AC2+BC2=5.又CDAB，AC2=ADAB，AD=455.AD=45AB=45(a-b)=45a-45b.答案：D3.已知，sin2+=-35，则tan的值为()A.34B.43C.-34D.-43解析：因为sin2+=-35，所以cos =-35，因为，所以sin =45，所以tan =sin cos=-43，所以tan()=-tan .答案：B4.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(3，-1)，n=(cos A，sin A).若mn，且acos B+bcos A=csin C，则角A，B的大小分别为()A.3B.26C.6 3，3解析：由mn得mn=0，即3cos A-sin A=0，即2cosA+6=0，∵6又acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C，所以sin C=1，C=2，所以B=3-6.答案：C5.若1+tan 1-tan =2 014，则1cos 2+tan 2=________.解析：1cos 2+tan 2=1cos 2+sin 2cos 2=sin +cos 2cos2-sin2=sin +cos cos -sin =tan +11-tan =2 014.答案：2 0146.在直角坐标系_Oy中，已知点A(-1,2)，B(2cos _，-2cos 2_)，C(cos _,1)，其中_[0，]，若ABOC，则_的值为________.解析：因为AB=(2cos _+1，-2cos 2_-2)，OC=(cos _,1)，所以ABOC=(2cos _+1)cos _+(-2cos 2_-2)1=-2cos2_+cos _=0，可得cos _=0或cos _=12，所以_的值为3.答案：3在高中复习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识，这样有助于提高大家的分数。
高一三角函数与平面向量综合题
讲座 三角形内的三角函数问题○知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.4.面积公式：222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2==========++=a b cS ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2a b cp ++=）.5.射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
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三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π
=+的最小正周期，
(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m β
αα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
【解答】
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．
（1）求cos C ；
（2）若52
CB CA ⋅=
，且9a b +=，求c ．
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，
x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4
π． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法 【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式3()2
f x ≥成立的x 的取值集.
【跟踪训练】
1.已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(—cosA+sinA ，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2
的最大值.
2．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，
(cos ,sin ),c x x x R =-∈．
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d ．
3．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-
<<．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值．。