最新精编高中人教A版必修四高中数学同步习题第三章章末复习课3和答案

章末复习课课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力． 知识结构一、选择题 1．tan15°＋1tan15°等于( )A ．2B ．2＋3C ．4D.4332．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( ) A.π4B.π2C ．πD．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ等于( )A.223B ．－223 C.23D ．－235．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π67．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．8．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 10．已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.三、解答题11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．能力提升 13．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sinx2是( )A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数 14．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________.本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．章末复习课作业设计 1．C2．A [∵3sin α＋cos α＝0， ∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝－132＋11＋－13＝103.] 3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1 ＝1－sin 2x cos 2x ＝1－1sin 22x ＝1－1×1－cos4x ＝1cos4x ＋7∴T ＝2π4＝π2.]4．A [∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，∴sin 22θ＝89.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin2θ>0.∴sin2θ＝223.]5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．] 6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)， ∴C ＝23π.]7．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x .∴T ＝π. 8．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－ 2. 9.4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47， ∴sin(α＋β)＝4780.10．－17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π.∴sin 2α＞0. ∴sin 2α＝1－cos 22α＝45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17.11．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310， f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为 5.12．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－x－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 13．A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x2＋1)≠0，得x ≠2k π，k ∈Z .∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称．∵f (x )＝sin x sin x ＋2sin x2＝cosx21＋cosx2.∴f (－x )＝－x 21＋－x 2＝cosx 21＋cosx2＝f (x )．∴函数f (x )为偶函数．又f (x ＋2π)＝cosx ＋2π21＋cosx ＋2π2＝＋x21＋＋x2＝－cosx21－cosx2≠f (x )．f (x ＋4π)＝cosx ＋4π21＋cosx ＋4π2＝＋x21＋＋x2＝cosx21＋cosx2＝f (x )，∴函数f (x )以4π为周期．] 14．－34解析 由sin3αsin α＝α＋αsin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos2α＝135.∵2cos 2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝135，∴cos2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π，(k ∈Z )∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限， 又∵cos2α＝45，∴sin2α＝－35，tan2α＝－34.。