§2-5_用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
用三种方式表示二次函数
y x 10x ( x 5) 25
2 2
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
即当x=5cm时,长方形的面积 最大,它的最大面积=25cm2.
。
。
议一议
③请பைடு நூலகம்描述一下y随x的变化而变化的情况.
y x 10x ( x 5) 25
2 2
当0<x<5时,y随x的增大
议一议
知识在于积累
• 二次函数的三种表示方式各 有什么特点?它们之间有什么 联系?与同伴进行交流.并完 成导学案的表格。
讨论交流，老师巡视
表示
表达 式 表格
优点
缺点
变量间关系简捷明了, 需要通过计算,才能得 到所需结果. 便于分析计算. 直接得到变量间的对 应值. 直观表示了变量间的 变化过程和变化趋势. 不能反映函数整体变 化情况. 函数值是近似值.
图象
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键, 图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体 概括和形象化的表达.
三种表示方式的关系流程图 表达式
点的坐标
表格表示
图像表示
描点连线
挑战自我
抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，回答： （1）这个二次函数的表达式是 y=x2-2x ； （2）当x= 3或-1 时，y=3； （3）根据图象回答：当x X>2或x<0 时，y＞0．
天全县初级中学 李云学
学习目标
通过自主探索，讨论交流，理 解三种方式表示二次函数的优缺 点和彼此间的联系，为解决函数 类实际问题打下坚实的基础 .
自学教材p61内容，完成导学案问题一：
• 自学提示: • 1.根据题意列出二次函数表达式。实际问题的二次 函数表达式要注意自变量的取值范围。 • 2.根据二次函数表达式列表.列表的目的是画二次 函数的图像，顶点坐标不能少。 • 3.根据表格的对应值描点，连线。画实际问题的二 次函数图像，应在自变量的取值范围内取值 （0<x<10），注意两个极端点用空心圆圈表示 。 • 4.三种表示函数的方式各有什么特点，又有什么联 系？
§25 用三种方式表示二次函数解析法,列表法图象法PPT课件
x
y
5
议一议
①在上述问题中,自变
量x的取值范围是什么？x
y
因为x表示周长为20cm矩形的 边长,所以x>0,10-x>0.因此， 自变量x的取值范围是0<x<10.
6
议一议
②当x取何值时,长方形的面积最 大？它的最大面积是多少?
y x2 1x0 (x5 )225
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
需要通过计算,才能得到 所需结果
不能反映函数整体的变化情况
函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图 关系 象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概
括和形象化的表达. 16
提问与解答环节
Questions And Answers
17
谢谢聆听
18
• 你能分别用函数表达式,表格和图象表 示这种变化吗?
9பைடு நூலகம்
做一做
解析法—用表达式表
示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数 为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
用函数表达式表示：
y x x 2 即 y x 2 2 x .
10
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
7
议一议
③请你描述一下y随x的变化而变化的情
况. yx21x0 (x5)225
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解
二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。
下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。
1.顶点形式：y=a(x-h)²+k顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
2. 一般形式：y = ax² + bx + c一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。
3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。
其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。
求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。
以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。
不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。
希望对你的学习有所帮助！。
§2-5 用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
问题研究
已知矩形周长20cm, 已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为 面积为ycm xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的而变化的规律是什么？ 随 的而变化的规律是什么 的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式， 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？ 和图象表示出来吗？
y = x − 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么? 1.自变量x的取值范围是什么? 自变量 ∵x表示任意一个数 ∵x表示任意一个数 自变量x的取值范围是: ∴自变量x的取值范围是: 或y = ( x − 1) − 1. 全体实数
例3、如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正 、如图，有一座抛物线型拱桥， 常水位AB时宽为 时宽为20米 水位上升3米就达到警 常水位 时宽为 米，水位上升 米就达到警 戒线CD，这时水面宽度为10米 戒线 ，这时水面宽度为 米. (1)在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式; 在如图的坐标系中求出此抛物线的表达式 (2)若洪水到来时 水位以每小时 米的速度上升 若洪水到来时,水位以每小时 米的速度上升, 若洪水到来时 水位以每小时0.2米的速度上升 从正常水位开始,再持续多长时间 会达到共拱顶? 再持续多长时间,会达到共拱顶 从正常水位开始 再持续多长时间 会达到共拱顶
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
用三种方式表示二次函数
二次函数是数学中一种常见的函数形 式，其一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。
二次函数的标准形式
总结词
二次函数的标准形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的标准形式是将其写成一般形式，即$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$和$c$是常数，且$a neq 0$。这种形式便于计算和识别函数的性质 。
二次函数的非标准形式
总结词
二次函数的非标准形式包括顶点式、交点式和一般式。
详细描述
除了标准形式，二次函数还可以表示为其他形式。其中顶点式表示为$f(x) = a(x-h)^2 + k$，其中$(h, k)$是函 数的顶点；交点式表示为$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$和$x_2$是函数与x轴的交点；一般式即标准形式 。这些非标准形式各有特点，适用于不同的问题和计算。
01
02
03
描点法
通过选取函数定义域内的 若干个点，用平滑的曲线 将它们连接起来，形成二 次函数的图象。
切线法
利用切线性质，通过切线 与x轴的交点来绘制二次 函数的图象。
参数方程法
通过设定参数方程来表示 二次函数，从而绘制出其 图象。
二次函数图象的形状和特点
开口方向
二次函数的开口方向由系数a决定 ，a>0时开口向上，a<0时开口向
成本和收益分析
在经济学中，二次函数益曲线。
供需关系
通过建立二次函数模型，可以描 述市场的供需关系，预测价格波
用三种方式方法表格示二次函数
用三种方式表示二次函数【知识要点】1．二次函数可以用哪些方式表示？它们各有哪些优缺点？ 2．二次函数的三种解析法你是如何选择的?3．选择顶点式和两根式解析法表示有什么优点和缺点？4．你能总结选择恰当的表示方法来解决二次函数实际应用问题吗？【典型例题】# 例1 一个二次函数，它的图象的对称轴是y 轴，顶点是原点，且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,1．（1）写出这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象；（3）抛物线在对称轴左侧部分y 随x 的增大怎样变化？ （4）这个函数有最大值还是最小值．# 例2 函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后解三元方程组求解；（1）已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
（2）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2求解。
（3）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
（4）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，该二次函数的解析式为 。
三、已知抛物线与x 轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。
（5）二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
# 例3 分析若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x=21,对称，那么图象还必定经过哪一点？#例4 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）求证：△AOB∽△BDE 。
# 例5 你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?(2)完成下表：1 2 3 4 5边上的小圆圈数小圆圈的总数(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?例6 某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？例7 某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的关系式.(2)按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元.①预计生产成本每件比2008年降低多少万元？②如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）？增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示 注意力越集中）.当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分， 当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．⑴当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 函数关系式； ⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否 经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数 都不低于36．*例9 已知一次函数x y 21=，二次函数122+=x y ．（1）根据表中给出x 值．计算对应的函数值1y ，2y ，并填在表格中．（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数围，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值≤1y 2y 均成立；（3）试问是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（-5，2），且在实数围，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值231y y y ≤≤均成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．*例10 如图，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值围.大展身手1.已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。
用三种方式表示二次函数课件
例如，选择 x = -1, 0, 1 并计算 y 值，可以绘制出一个关于原点对称的抛物线。
二次函数图像的性质
1
轴对称性
二次函数的图像关于一条垂直线对称，该线称为对称轴。
2
顶点坐标
顶点是抛物线的最高或最低点，它的坐标表示二次函数的垂直平移。
3
开口方向
开口向上的抛物线表示 a 的值大于 0；开口向下的抛物线表示 a 的值小于 0。
应用二次函数的例子
建筑设计
二次函数用于设计创新的、流 线型的建筑结构。
卫星接收器
卫星接收器的抛物形天线聚焦 射入信号，提供稳定的接收。
物理学
二次函数在抛物线运动等物理 学问题中有广泛应用。
结论和总结
1 总结
我们学习了二次函数的定义、属性，以及用标准形式、顶点形式和描点法表示二次函数 的方法。
2 重要性
二次函数在数学和实际生活中都有重要的应用，帮助我们解决问题、做出决策。
3 继续学习
继续探索二次函数的高级概念，如焦点、准线、最小值和最大值等。
用标准形式表示二次函数
标准形式
y = ax^2 + bx + c
含义
标准形式提供了二次函数的 系数 a、b 和 c 的清晰表示。 它可以用于求解方程、描绘 图像等。
示例
例如，y = 2x^2 + 3x - 1 就是一 个二次函数的标准形式。
用顶点形式表示二次函数
1
顶点形式
y = a(x-h)^ 2 + k
含义
2
顶点形式直接给出了二次函数的顶点
坐标 (h, k)，其中 h 表示水平移动，k
表示垂直移动。
3
示例例如，y = 2(源自-1)^2 + 3 就是一个二次函 数的顶点形式。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，其解析式可以有三种形式。
下面将分别介绍它们的计算公式、特点和应用。
一、顶点式顶点式是一种简洁明了的表示二次函数的方式。
它的通式为：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k分别代表二次函数的导数、顶点横坐标、顶点纵坐标。
在这个式子中，a控制函数的开口方向和缩放程度，h决定了函数图像的移动方向和距离，k则是函数图像的最低点或最高点。
使用顶点式有一个明显的好处，那就是可以轻松地推导出函数的最值和零点。
具体地说，函数的最小值为k，最大值为正负无穷，当且仅当a的符号与k的符号一致时成立；函数的零点可以通过方程y=0求解，即x=h。
二、一般式一般式是表达二次函数的另一种方式，它较为复杂但能够包括所有二次函数。
一般式的通式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c还是分别表示函数的导数、一次项系数和常数项。
使用一般式计算一般为求解函数的导数、顶点坐标和零点。
其中函数图像的顶点坐标可以用二次函数顶点公式求解，即h=-b/2a和k=-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac；函数的零点可以使用求根公式求解，即x=(-b±√Δ)/2a。
三、描点式描点式是较为简单粗暴的表示二次函数的方式。
它的基本原理是，通过描出函数图像上的若干个点，然后拟合出二次函数的解析式。
描点式解析式的范式为：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a是二次项系数，x1和x2是函数图像上任意两个不同的点对应的横坐标。
相对于顶点式和一般式，描点式的优点在于计算简单，随时可用。
但缺点也很明显，就是易受图像上的干扰影响，甚至有可能产生误差。
总结：综上所述，二次函数可以用三种解析式进行表示：顶点式、一般式和描点式。
虽然它们的计算方法不同，但本质上都是描述同一个函数。
在不同情景下，可以灵活地采用不同的解析式，以达到最佳计算效果。
九年级数学辅导： 二次函数用三种方式表示二次函数
三 面 侠 客——用三种方式表示二次函数【知识要点】1．二次函数列表表示法二次函数列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来很方便，不足之处在于很难把自变量与函数的全部对应值都列出来，且从表中也不容易发现自变量与函数值之间的对应规律．2．二次函数图象表示法图象法非常直观，函数的变化情况和某些性质在图象上很直观地显示出来了，它的不足之处在于从图象上找出自变量与函数的对应值时，不很准确．3．二次函数解析式表示法解析法简单明了，通常能从解析表达式了解到整个变化过程中自变量与函数间的全部相依关系，适合于作理论分析和推导计算，不足之处在于求对应值要逐个计算，有时很麻烦，而且，并不是所有的函数关系都能用解析式表示．如气象站记录的一天的气温与时间之间的函数关系等；二次函数解析式有三种形式：（1）一般式2y ax bx c =++．已知抛物线上任意三点坐标，或不适合其他两种设法时，用一般式．（2）顶点式()2y a x h k =-+．其中(),h k 是抛物线顶点．当已知抛物线顶点坐标，或者能够先求出抛物线顶点坐标时，设顶点式解题十分简捷．（3）两根式()12()y a x x x x =--．其中12,x x 是方程20ax bx c ++=两根，即是抛物线与x 轴两交点横坐标．当题中已知抛物线与x 轴两交点的坐标时，设出两根式解题比较简单．如果我们选取恰当的解析式，可以简化运算。
【经典例题】例1．已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求二次函数解析式例2．已知二次函数的图象的顶点坐标是（-1，2），且过点（2，-3），求二次函数解析式例3．已知二次函数的图象与x 轴交点坐标分别（-2，0），（5，0），在y 轴上的截距是-2，求二次函数解析式例4．已知二次函数2y ax bx c =++的最大值为2，顶点在直线1y x =+上，并且图象经过点（3，－6），求解析式。
二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式求法解题技巧
求二次函数的解析式及二次函数的应用
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：y=a（xh)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）交点式：y=a(xx1)(xx2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
【小学课件】《用三种方式表示二次函数》二次函数优质PPT课件
用三种方式表示二次函数
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
x y
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一 边长为xcm,面积为ycm2.
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
y x 1 1.
2
x2-2x= (x-1)2-1
… … -2 -1 0 1 2 3 4 … …
用表格表示：
2
y x2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或y x 1 1. 坐标分别是什么? y x 2x
2
2
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线x=1,顶点 坐标是:(1,-1).
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
2 2
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的
一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格
和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
§2-5 用三种方式表示二次函数(修改)解析法,列表法,图象法
-2 4.当m=_____时，抛物线 y=mx2+2(m+2)x+m+3 -2 的对称轴是y轴；当m=_____时，图象与y轴交点 4 的纵坐标是1；当m=_____时，函数的最小值是 －2. 5.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)， Y=2(x+2)2+3 且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 6.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则直 y 四 线y=abx+c不经过第_____象限. x O 7. 如图2中的抛物线关于y轴对称的 y 5 2 y- x 抛物线的表达式为______. 4 -2 O 2
主备人：赖羡菁 议课时间：2011-11-28 上课时间：2011-12-1
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学习目标：（1分钟）
• 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关 系. • 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从 不同侧面对函数性质进行研究． • 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数 关系的过程，体会三种方式之间的联系与 各自不同的特点．
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自学指导:（1分钟）
• 自学课本p61-63内容，完成问题：
• 1.完成表格并画出图象。 • 2.p61中问题（1）和“做一做”中自变量的取值范 围是什么? • 3.当x取何值时，最大面积是多少？ • 4.三种表示函数的方式各有什么特点，又有什么联 系？
学生自学，老师巡视（8分钟）
问题点拨：
（8分钟）
已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2. y=x(10-x)=-x2+10x
x
y
10-x
§2-5_用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
y
y随x的变化而变化的规律是什 么？你能分别用函数表达式， 表格和图象表示出来吗？
合作探究
2.已知矩形周长20cm,并设它的 2. 一边长为xcm,面积为ycm ①在上述问题中,自变量x的取值 范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长,
所以x>0,10-x>0.因此，自变量x的
取值范围是0<x<10.
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
6.二次函数的
y 2x 2x 1
2
当 x_____时,y随x的增 大而减小．
2＋b不经过第三、四 7．若抛物线y=ax
2＋bx＋c（ 象限，则抛物线y=ax
）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向上，对称轴是y轴或在左侧 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2+bx+8 9.如果抛物线y=x
【例2】一次函数y=2x＋3，与 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象 交于A（m,5）和B(3,n）两点， 且当x=3时，抛物线取得最值 为9． 求二次函数的表达式；
小结
拓展
函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数. 二次函数的三种表示方式的特点, 它们之间的联系.
的顶点的在x轴的正半轴 上，那么b的值是＿＿ .
二次函数用三种方式表示二次函数课件ppt
04
应用举例
在求解最值中的应用
总结词
在求解二次函数最值时，通常有三 种方法，分别为配方法、判别式法 和利用二次函数图像。
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式 ，再利用顶点式求出最值。
判别式法
通过使用判别式求出二次方程实数 根的分布，进而求出最值。
熟悉相关性质和概念
二次函数定义和性质
二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函 数
二次函数的性质：二次项系数a控制函数的开口方向和大小，一次项系 数b控制函数图像的对称轴，常数项c控制函数图像的截距
二次函数的图像为抛物线
02
二次函数的三种表示方法
顶点式
总结词
顶点式，也称为点对式或唱筹式，是二次函数表示中最简单 的方法之一。
通过观察与坐标轴学习题
习题1
根据二次函数表达式，画出函 数图像。
习题2
已知二次函数图像上的三个点 ，求函数的解析式。
习题3
将二次函数的一般式化为顶点 式，并指出图像的开口方向、
对称轴以及顶点坐标。
思考题：探究二次函数图像的性质
01
02
03
探究1
观察不同的二次函数图像 ，总结它们的共性和差异 。
交点式
总结词
交点式也称为韦达定理或求根公式，它反映了二次函数与x轴交点的特征。
详细描述
交点式表示的二次函数为 f(x) = (x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数与x轴的两 个交点坐标。这个公式适用于需要求解二次方程根的问题，但计算较为复杂。
03
比较与联系
三种表示方式的比较
二次函数解析式的三种形式
二次函数解析式的三种形式
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y 轴的抛物线。
本文整理了相关知识点，一起来看看吧！
二次函数解析式形式
1.一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
2.顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)
3.交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)（又叫两点式，两根式等）二次函数一般式的画法
描点法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
平移法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式，确定其顶点（h,k)；
②作出函数y=ax的图像；
③将函数y=ax的图像平移，使其顶点平移到（h,k)。
二次函数的最值问题
二次函数的一般式是y＝ax2+bx+c，当a大于0时开口向上,函数有最小值；当a小于0时开口向下,则函数有最大值。
顶点坐标就是（b/-2a,(4ac-b2）/4a)这个就是把a、b、c分别代入进去，求得顶点的坐标。
(4ac-b2）/4a就是最值。
名校课件：2.5用三种方法表示二次函数
面积为y cm。 y随x变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达 式、表格和图象表示出来吗？ （1）用函数表达式表示： y = x 2 10 x 。 （2）用表格表示：
x 1 2
8 16
3
7 21
4
6 24
5
5 25
6
4 24
7
3 21
8
2 16
9
1 9
10－x 9 y
9
（3）用图象表示：
2 2
练习： y 2 x 2 5x 1 1.图象经过三点A(0,1), B(1,－2), C(2,－1) 2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个 1 交点的横坐标是8。 y （x - 6） - 2
2
2
小结：
1.本节学习了函数的三种表示方式：
解析法； 列表法； 图象法。
2.解析法能定量地反映两个变量之间的对应关系的规律；
议一议： （1）在上述问题中，自 变量x的取值范围是什么？ （2）当x取何值时，长方 形的面积最大？它的最大 面积是多少？你是怎样得 到的？ 请你描述一下y随x的变化 而变化的情况。
y
o
5
x
做一做：
两个数相差2，设其中较大一个数为x ，那么它们的积y 是 如何随x的变化而变化的？你能分别用函数表达式、表格和图 象表示这种变化吗？ x2 2x 1、用函数表达式表示：y= 。 2、用表格表示： x … －2 －1 … 0 1 2 3 4
三种表示方式必须考虑自变量的取值范围 !
三种表示方式的关系流程图 表达式
表格表示
点的坐标 描点连线
图像表示
(一)由函数图象上的点的坐标用待定系数法 求函数解析式
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合作探究(一):
同一直角坐标系中作 1 s v 出 100 与 s 1 v 的图象
2
2
50
S距离(米)
128 112 96 80
S=
1 2 v 50 S=
1 2 v 100
72
36
64 48
32 16
v速度(公里/小时)
用表格表示：
x
y x 1 1.
2
y=
x -2x=(x-1) -1
… …
… -2 8 -1 3 0 0 1 -1
2 0
3 3
4 8
… …
…
3.图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中 较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随 x的变化而变化的?
用图象表示:
y x 2x
变量间关系简捷明了,便 表达式 于分析计算.
表格 图象 能直接得到某些具体的对应值
需要通过计算,才能得到 所需结果
不能反映函数整体的变化情况
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
函数值只能是近似值
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键, 图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体 概括和形象化的表达.
而变化的情况.
y x 10 x ( x 5 ) 25
2 2
（5，25）
当0<x≤5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
训练反馈
两个数相差2,设其中较大的一 个数为x,那么它们的积y是如何 随x的变化而变化的?
•你能分别用函数表达式,表格 和图象表示这种变化吗?
y x 2x
2
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的情况是
当x<1时,y随x的增大而减小; 当x>1时,y随x的增大而增大.
4.这个乘积的最小值为几?
5.当-1≤x≤4时,函数值y 有最大值和最小值吗?若 有,是多少?
• 二次函数的三种表示方式各有什 么特点?它们之间有什么联系?
表示 优点 缺点
2
y
y O
A
x
A
y
O
x
B
y O
O
x
x
C
D
3、在同一坐标系中，直线y=ax+b 和抛物线y=ax2+bx+c的图象只可能 是（ Y ） Y A、 B、
O
X
O
X
Y
Y
C、
O
X
O
X
D、
4．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0） 如图所示，回答： （1）这个二次函数的表达式是 ； （2）当x= 时，y=3； （3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．
【例2】一次函数y=2x＋3，与 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象 交于A（m,5）和B(3,n）两点， 且当x=3时，抛物线取得最值 为9． 求二次函数的表达式；
小结
拓展
函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数. 二次函数的三种表示方式的特点, 它们之间的联系.
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
2.5
用三种方式表示二次函数
学习目标
1.学会用函数表达式法﹑表格法 图象法来表示变量之间的二次函 数关系,并能解决与二次函数相关 的问题
2.掌握三种方法的各自特征以及 三种方法之间的联系
问题导学 自学课本61页内容,完 成课本问题,并思考函 数的表示方式有几种?
合作探究
1.已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
14．等边三角形的边长2x与 面积y之间的函数表达式为 ． 2＋kx－2k通 15．抛物线y=x 过一个定点，这个定点的坐 标为 ．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用 品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈 利的过程．图中二次函数图象（部分）刻 画了该公司年初以来累积利润S（万元）与 销售时间t（月）之间的关系（即前t个月 的利润总和S与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，：
பைடு நூலகம் 1.解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一 个数为x,那么它们的积y是如何 随x的变化而变化的? 用函数表达式表示：
y x x 2 即 y x 2 x .
2
2.列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x, 那么它们的积y是如何随x的变化而变化 的? 2 2
合作探究
②猜想:当x取何值时,长方形 的面积最大？它的最大面积是 多少? y x 10 x ( x 5 ) 25
2 2
Y
25
∴当X=5时,Y最大=25
（5，25）
0 5 10
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
X
③请你描述一下y随x的变化
x
y
y随x的变化而变化的规律是什 么？你能分别用函数表达式， 表格和图象表示出来吗？
合作探究
2.已知矩形周长20cm,并设它的 2. 一边长为xcm,面积为ycm ①在上述问题中,自变量x的取值 范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长,
所以x>0,10-x>0.因此，自变量x的
取值范围是0<x<10.
2
y x 2x
2
4.根据以上三种表示方式,回 答下列问题: (1).自变量x的取值范围是什么? ∵x表示任意一个数 ∴自变量x的取值范围 或 y x 1 1 . 是: 全体实数
2
y x
2
2x
2 2.图象的对称轴和顶 或 y x 1 1 . 点坐标分别是什么? 由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对 称轴是:直线x=1,顶 点坐标是:(1,-1). 3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
0
20
40
60
80
100
例2:课本63页 第3题
课本第４０页 课本第６０页 ２
４ ３
1．已知函数y=ax ＋bx＋c（a≠0）的图 象，如图所示，则下列关系式中成立的是 ( )
A．0＜－ C．1＜－
b 2a
b 2a
训练反馈 2
＜1
b
B．0＜－
＜2
2a b
＜2
D．－
2a
=1
2.抛物线 y ax bx c 和直线 y = ax + b 可以在同一直角坐标系中的是（ ）
的顶点的在x轴的正半轴 上，那么b的值是＿＿ .
10．两个数的和为8，则这两个 数的积最大可以为 ， 若设其中一个数为x，积为y， 则y与x的函数表达式为 ． 11．一根长为100m的铁丝围成 一个矩形的框子，要想使铁丝 框的面积最大，边长分别为 ．
12．若两个数的差为3，若其中较大 的数为x，则它们的积y与x的函数表 达式为 ，它有最 值，即当 x= 时，y= ． 13．边长为12cm的正方形铁片，中 间剪去一个边长为x的小正方形铁片， 剩下的四方框铁片的面积y（cm2） 与x(cm)之间的函数表达式为 ．
课本６３
１
２
问题导学
1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。
2. 刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度
及路面的摩擦系数.
有研究表明:汽车在某段公路上行驶 时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式：
6.二次函数的
y 2x 2x 1
2
当 x_____时,y随x的增 大而减小．
2＋b不经过第三、四 7．若抛物线y=ax
2＋bx＋c（ 象限，则抛物线y=ax
）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向上，对称轴是y轴或在左侧 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2+bx+8 9.如果抛物线y=x