大学物理学第9章作业题

9-7 若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．

分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．

解 （1） 将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=

t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s π20-=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．

（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为

()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x

()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v

()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a

9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．

分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0 和v ＝v 0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0 和速度v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．

题9-12 图

解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T

ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．

解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x c o s 0，sin 0ωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；

（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，

2π2±=，因00

π2=； （3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±= ，由00

π3=； （4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±= ，由00>v ，取3π44=． 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=，3π3=，3

π44=． 振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为

（1）()m t πcos4100.22

-⨯=x （2）()()m /2πt π4cos 100.22

+⨯=-x （3）()()m /3πt π4cos 100.22

+⨯=-x （4）()()m /3π4t π4cos 100.22

+⨯=-x

9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为m 的物体时， 伸长量为9.8 ×10-2 m ．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当t ＝０ 时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s -1的速度向上运动，求运动方程．

分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω和φ．其中振动的角频

率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即ωk 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．

题9-13 图

解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg ．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m ．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl ．系统作简谐运动的角频率为

1s 10-=∆==l g m k //ω

（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x 10 ＝8.0 ×10-2 m 、v 10 ＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=

./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=［图（a ）］．则运动方程为

()

()m π10t cos 100.821+⨯=-x

（2）t ＝０ 时，x 20 ＝0、v 20 ＝0.6 ｍ·s -1 ，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=［图（b ）］．则运动方程为

()

()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x

9-14 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．

分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．

解 （1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0 ＝0 和t 1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ） 所示．由图可见初相3/π0-=（或3/π50=），而由

()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为

()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x

题9-14 图

（2） 图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ） 所示．当初相取

3/π0-=时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=，则点P 相应的相位应表示为()π200=-+=p p t ω．

（3） 由旋转矢量图可得()3/π0=-p

t ω，则s 61.=p t ．

9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到x ＝A /2 处； （3） 由x ＝A /2处到最大位移处．

解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O ．

（1） 平衡位置x 1 到最大位移x 3 处，图中的旋转矢量从位置 1 转到位置3，故2/πΔ1=，则所需时间

411//T t =∆=∆ωϕ

（2） 从平衡位置x 1 到x 2 ＝A /2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有6/πΔ2=，则所需时间

1222//T t =∆=∆ωϕ

（3） 从x 2 ＝A /2 运动到最大位移x 3 处，图中旋转矢量从位置2 转到位置3，有3/πΔ3=，则所需时间

633//T t =∆=∆ωϕ