2.3--直线-平面垂直的判定及其性质1

blO a
B
·
A
我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5º . 即卫星轨道平面与赤道
平面所成的二面角是68.5.
赤 道 平 面
问题 2. 如图, △ABC和△DBC是空间的两个等边 三角形, ∠ABD和∠ACD是二面角 A-BC-D的平面角 吗? 如果不是, 你能找出它的一个平面角吗? 答: ∠ABD和∠ACD都不是二 面角A-BC-D的平面角, 因为它们的 边与二面角的棱BC不垂直.
a
P b · O
l
Q
【课时小结】
1. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面.
P A
记作 二面角 a-l-b,
b a
l
Q
B
二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q.
【课时小结】
2. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小由它的平面角确定.
练习(补充) 1. 在正方体ABCD-ABCD中, 求二面角 A-BC-B的正切值. A
D C
B
D
C
B
A
2. 30º的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点 到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.
1. 在正方体ABCD-ABCD中, 求二面角 ABC-B的正切值. 解: 连接 BC交 BC 于 G, 连结AG, 则 BG⊥BC.
VD AB, CD AB VDC为二面角V - AB - C
1 2 2 2
V
2
在VDC中，VC 1 VD DC 2 （ 3） 1
2 2
的平面角。
C
A
D
2 3
VDC为等边三角形
VDC 60
B
二面角V - AB - C的平面角为 60
问题3. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 怎样计算二面角 A1-BD-C1 的大小. D 解: 取 BD 的中点 O, C O 连结 A1O, C1O. A B ∵A1BA1D, C1BC1D, ∴A1O⊥BD, C1O⊥BD, D1 C1 则∠A1OC1 就是二面角 E A1-BD-C1 的平面角. A1 B1 连结 A1C1. 可算出 △A1C1O 的边A1C1, A1O, C1O. 以后学了余弦定理即可解得∠A1OC1. 也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个 半平面叫做二面角的面. 如图, 记作 二面角 a-l-b, 或 二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q.
P A
b a
l
Q
B
【2】二面角的平面角 要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从 一点出发的两条射线的夹角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小就由它的平面角确定. 如图, 以棱 l 上任一点O为端点, 在半平面 a 内作OA⊥l, 在半平面 b 内作OB⊥l, 则∠AOB就是二面角a-l-b 的平面角. ∠AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.
F D A C
E
B
【课时小结】
1. 两平面垂直的定义
两个平面相交成直二面角时, 称这两个 平面互相垂直. 2. 两平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直.
l⊥ a , ⇒ ba. l b ,
b
l
a
习题 2.3 A组 第 1、 3、 6 题 .
B组 第 1 题.
习题 2.3 A组
D
C B
A
D A
C B
平面AC过左、右面的垂线AB, 所以与左、右面成90的二面角.
2.3.2
平面与平面垂直的判定
第二课时
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1. 平面与平面垂直是怎样定义的? 2. 两平面垂直的判定定理的内容是什么? 证明两平面垂直需要哪些条件?
【3】两个平面垂直的定义 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
A C B D
取BC的中点E, 连结AE、DE, E 则AE⊥BC, DE⊥BC, ∴ ∠AED就是二面角A-BC-D的平面角.
练习：如图，三棱锥V-ABC中， VA=VB=AC=BC=2，AB= 2 3 ，VC=1， 试 找出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数。 解：取AB的中点D，连接VD，CD。 VA=VB=AC=BC=2 D是AB的中点
解: 如图, 二面角a-l-b 是30. Pa, PQ⊥l 于Q, PQh. 作 PO⊥b, Ob, 连结 OQ. 则 PQ⊥l. ∴ l⊥平面 POQ, 则 l⊥OQ. ∴∠PQO是二面角的平面角. 则 ∠PQO30º .
1 PQ 1 h. 在Rt△POQ中, PO 2 2 1 h. 即点 P 到 b 的距离是 2
例(补充). 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB//DC, AB⊥BC, PC⊥平面ABCD, PCCBBA2, DC4, 求二面角P-AD-C 的正切值. 分析: 目标: 找二面角P-AD-C 的平面角. P 在平面 PAD 内找 AD 的垂线, 在平面 ABCD 内找 AD 的垂线. D C 凭直观, 考查图中已有的角, B A 线, 点等. PD, CD⊥AD 否? 不垂直. PA, BA⊥AD 否? BA与AD不垂直. 则考虑连结 AC, 得∠ACD45, 如果AC⊥AD, 需∠CDA45. 在底面梯形中可求得∠CDA45.
4. 如图, 三棱锥 V-ABC中, VAVBACBC2, AB 2 3, VC1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数. V 解: 取AB的中点D, 连接 VD, CD, C A 而 VAVBACBC2, D· ∴VD⊥AB, CD⊥AB, B 则∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角. 而 AB 2 3 , 则由勾股定理求得 VDCD1, 又 VC1, ∴△VCD是等边三角形, ∠VDC60, 即二面角 V-AB-C 的大小为60.
平面 A1BC⊥平面A1ACC1.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是 AB, A1A 的中点. 求证: 平面 BCF⊥平面B1C1E. 证明: E, F 分别是 AB, D1 C1 A1A 的中点. B1 A1 ∴在正方形 ABB1A1中, B1E⊥BF. ① ∵ B1C1⊥ 平面BAA1B1, BF 平面BAA1B1, B1C1⊥BF. ② 由①②得 BF⊥平面B1C1E, ∵BF平面BCF, 平面 BCF⊥平面B1C1E.
∵AB⊥BC, ∴BC⊥平面ABG. 得 BC⊥AG. 在Rt△ABG中, 设 AB1, 则 BG 2 , 2 tanAGB AB 2 . BG
A D A D B
C
B
G
C
∴∠AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.
2. 30º的二面角的一个半平面内有一点 P, 这点 到棱的距离为 h, 求点 P 到另一个半平面的距离.
7. 如图, 正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与 正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?
解: 与上底面所成二面角 的平面角是 ∠BCB 45. 与下底面所成二面角的 平面角是 ∠CB C 45. 与前面所成二面角的 平面角是 ∠BBC 45. 与后面所成二面角的 平面角是 ∠BCC 45.
blO O ·
B
∠AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.
a
A
【课时小结】
3. 求二面角的大小 (1) 找到二面角的两个半平面与棱.
(2) 找二面角的平面角.
在两个半平面内找垂直于棱的直线, 垂足 为棱上同一点. 常用到线线垂直与线面垂直转换.
(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.
（4）还原
习题 2.3 A组 第 4、 7 题 .
a b g
a⊥b, a1⊥b; a //a1, b //b1, a1⊥b1.
3. 如图, 在三棱锥 V-ABC 中, ∠VAB∠VAC ∠ABC90, 试判断平面 VBA 与平面 VBC 的位置 关系, 并说明理由. V
1. 判断下列命题是否正确, 正确的说明理由, 错误的举例说明: (1) 平面 a⊥平面 b, 平面 b⊥平面 g 平面 a⊥ 平面 g; (2) 平面 a //平面 a1, 平面 b //平面 b1, 平面 a⊥ 平面 b 平面 a1⊥平面 b1. (2) 对. 解: (1) 错, 如图.
2.3.2
平面与平面垂直的判定
第一课时
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1. 什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么确定的? 求二面 角的大小的关键是什么?
【1】二面角 问题 1. 当我们要求别人将一扇门(如教室门)开 大点, 或开小点时, 用什么来度量, 使开门的人能 准确地按要求开门? 如图, 两个平面相交, 常 要研究交成的角的大小, 这就 需要引入二面角.
两个平面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面 垂直. 符号表示:
b
l
l⊥ a , ⇒ ba. l b, 简记：线面垂直，则面面垂直
a
例3. 如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证: 平面 PAC⊥平面 PBC. P 解: ∵AB是⊙O的直径, 又C是⊙O上的点, C ∴ AC⊥BC, 又 ∵ PA⊥圆面, BC圆面, A · B O ∴ PA ⊥ BC, 得 BC⊥平面PAC, 而 BC平面PBC,
⇒平面PBC⊥平面PAC.