2018届一轮复习人教A版 转化化归 峰回路转 学案

转化化归 峰回路转一、数与形的相互转化【例1】某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)()A ．89πB ．827πC ．24(2－1)3πD ．8(2－1)3π【答案】A【解析】由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝1，母线长为l ＝3的圆锥，则圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝32－12＝2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个底面A 1B 1C 1D 1在圆锥的底面上，过平面AA 1C 1C 的轴截面如图所示．设正方体的棱长为x ，则有22x r ＝h －x h ，即x 2＝22－x 22，解得x ＝223，(平面转化很重要，这是由形到数的关键所在) 则原工件的材料利用率为 V 正方体V 圆锥＝x 313πr 2h ＝89π.【类题通法】(1)数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息；由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．(2)破解此类题的关键点：①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．③回归结论，回归原命题，得出正确结论． 【对点训练】1．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝9在区域D 内的弧长为( )A ．3π4B ．π2C ．πD ．3π2【答案】D【解析】图中阴影部分内的圆弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1，－1，设α为两直线的夹角，所以α＝π2，而圆的半径是3，所以弧长是π2×3＝3π2.2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上，且满足PA ―→＝－2PM ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝________.【答案】－49【解析】如图所示，∵AM ＝1，点P 在AM 上，且满足PA ―→＝－2PM ―→， ∴|PM ―→|＝13|AM ―→|＝13.∵M 是BC 的中点，∴PB ―→＋PC ―→＝2PM ―→，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－2PM ―→·2PM ―→＝－4PM ―→2＝－4×⎝⎛⎭⎫132＝－49. 3．(2017·昆明质检)表面积为16π的球面上有四个点P ，A ，B ，C ，且△ABC 是边长为23的等边三角形，若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P -ABC 体积的最大值为________．【答案】3【解析】设球心为O ，半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2.又由正弦定理，得△ABC 外接圆直径2r ＝a sin A ＝23sin 60°＝4，则r ＝2， 所以△ABC 外接圆的圆心即是球心，如图所示． 因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以点P 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上， 所以PD ⊥平面AB C ．易知当D 为AB 的中点时，PD 的值最大，即所求三棱锥的体积最大． 因为△ABC 是边长为23的等边三角形，所以AB ＝23，CD ＝3，OD ＝1，PD ＝OP 2－OD 2＝3， 又S △ABC ＝34×(23)2＝33， 所以V P -ABC ＝13×33×3＝3. 二、一般与特殊的相互转化【例2】已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在 －1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ． 12，＋∞)C ． －1,12]D ．⎣⎡⎦⎤－32，12 【答案】D【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈ －1，1]，显然满足条件，故排除A 、B ； (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0,1往往是首选．) 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在 －1,1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C ．综上，选D. 【类题通法】(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．(2)破解此类题的关键点：①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论． 【对点训练】1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8>a 4a 5 B ．a 1a 8<a 4a 5 C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5【答案】B【解析】取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5. 2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6 【答案】C【解析】法一：(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图． 由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→， 知M (6,3)，N (4,4)，∴AM ―→＝(6,3)，NM ―→＝(2，－1) AM ―→·NM ―→＝6×2＋3×(－1)＝9. 法二：如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→，∴AM ―→·NM ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫13 AB ―→－14AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. 三、正与反的相互转化【例3】若对于任意t ∈ 1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－373，－5 【解析】g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．(正反转化) 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 【类题通法】(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．【对点训练】1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2【答案】C【解析】命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x－1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间 －1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－3，32 【解析】如果在 －1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 四、主与次的相互转化【例4】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－23，1 【解析】由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5(－1≤a ≤1)．(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 【类题通法】(1)本题是把关于x 的函数转化为在 －1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题． (2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其他变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．【对点训练】1．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0. 所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 2．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t ∈ －2,2]时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞) 【解析】设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈ －2,2]时，f (t )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－4log 2x ＋3＞0，(log 2x )2－1＞0， 解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3. 即0＜x ＜12或x ＞8，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪()8，＋∞. 五、形体位置关系的相互转化【例5】如图所示，已知三棱锥P -ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240【答案】C【解析】因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDG －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.【类题通法】(1)形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．(2)破解此类题的关键点：①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．②位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而 ，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题． 【对点训练】如图，在棱长为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数【答案】D【解析】点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．。