高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(九)

(bn )max =
1 6
…………11 分
要使对任意的正整数 n ，当 m ∈ [ −1,1] 时，不等式 t 2 − 2mt +
1 > bn 恒成立， 6
则须使 t 2 − 2mt +
1 1 > (bn ) max = ，即 t 2 − 2mt > 0, 对∀m ∈ [ −1,1] 恒成立 ， 6 6
∴实数 t 的取值范围为 ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) 14 分
∴⎨
⎧t 2 − 2t > 0 , 解得，t > 2或t < −2 ⎩t2 + 2t > 0
另解： bn +1 − bn =
1 1 1 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 − − + = + −⎜ + ⎟ n + 2 2n + 3 n + 1 2n + 1 n + 2 2n + 1 ⎝ 2n + 3 n + 1 ⎠ = 3n + 3 3n + 4 − 2 <0 2 n + 5n + 2 2 n + 5n + 3
解答题训练（九）参答
18． （本小题满分 14 分） 解： （1）显然 cos C = 0 不合题意，
⎧cos C > 0 ⎧cos C > 0 ⎧cos C > 0 ⎪ 则有 ⎨ ，即 ⎨ ， 即⎨ 1， 2 cos C ≤ −2或 cos C ≥ ⎩∆ ≤ 0 ⎩16sin C − 24 cos C ≤ 0 ⎪ ⎩ 2 1 ，∴角 C 的最大值为 60° 。…………7 分 2 1 3 3 （2）当 C = 60° 时， S ∆ABC = ab sin C = ab = 3 ，∴ ab = 6 ，………10 分 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c = a + b − 2ab cos C = ( a + b) − 2ab − 2ab cos C ， 121 11 2 2 ∴ (a + b ) = c + 3ab = ，∴ a + b = ………………14 分 4 2
AD = 2a, PA ⊥ 底面ABCD, PD 与底面成 30°角.
（1）若 AE ⊥ PD , E 为垂足，求证： BE ⊥ PD ； （2）在（1）的条件下，求异面直线 AE 与 CD 所成 角的余弦值； （3）求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.
21． （本小题满分 15 分） 已知椭圆 M ：
=
a 5 = . 5 a⋅ 5
⎧| x |≤ 2 ⎩| y |≤ 3
是一个矩形区域，如图所示． 2分
依题意及几何概型，可得
πab 8 3
=
π ，……3 分 4
[来源:学,科,网]
即 ab = 2 3 ．因为 所以 a = 2, b =
0 < a ≤ 2,0 < b ≤ 3 ，
3 ．4 分
[来
（2）过点 E 作 EM//CD 交 PC 于 M，连结 AM，则 AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角
连结AC. ∵ 在∆ACD中AD = 2a, AC = 2a, CD = 2a, ∴ AD 2 = AC 2 + CD 2 , ∴ ∠ACD = 90 � , ∴ CD ⊥ AC , ∴ ME ⊥ AC. 又 ∵ PA ⊥ 底面ABCD, ∴ PA ⊥ CD, ∴ ME ⊥ PA. ∴ ME ⊥ 平面PAC. ∵ ME ⊥ AM . ∵ MA ⊂ 平面PAC ,
1 1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + = + + ⋅⋅⋅ + an +1 an + 2 a2 n ( n + 1)( n + 2 ) ( n + 2 )( n + 3) 2n ( 2n + 1) 1 1 1 1 1 1 − + − + ⋅⋅⋅ + − 2 n ( 2 n + 1) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 3) 1 1 n 1 − = 2 = ( n + 1) ( 2n + 1) 2n + 3n + 1 (2n + 1 ) + 3 n
an − a1 = 2 ⎣ ⎡ n + ( n − 1) + ⋅ ⋅ ⋅ + 3 + 2 ⎦ ⎤，
∴ an = 2 ⎡ ⎣n + ( n − 1) + ⋅⋅⋅ + 3 + 2 + 1⎤ ⎦=2
n ( n + 1) = n ( n + 1) 2
…………5 分
当 n = 1 时， a1 = 1 × (1 + 1) = 2 也满足上式，∴数列 {an } 的通项公式为 an = n ( n + 1) （2） bn =
（1）求角 C 的最大值； （2）若 c =
7 3 ， ∆ABC 的面积 S = 3 ，求当角 C 取最大值时 a + b 的值． 2 2
19． （本小题满分 14 分） 已知数列 {an } 中， a1 = 2, an − an −1 − 2n = 0 ( n ≥ 2, n ∈ N ) . （1）写出 a2、a3 的值（只写结果）并求出数列 {an } 的通项公式； （2）设 bn =
（1）若函数 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数，求正实数 a 的取值范围； （2）当 a = 1 时，求 f ( x) 在 ⎢ , 2 ⎥ 上的最大值和最小值； 2 （3）当 a = 1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n ，都有 ln n >
⎡1 ⎣
⎤ ⎦
1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + 2 3 4 n
x2 y2 + = 1 (a > 0, b > 0) 的 面 积 为 π ab ， M 包 含 于 平 面 区 域 a2 b2
⎧| x |≤ 2 π 内，向平面区域 Ω 内随机投一点 Q ，点 Q 落在椭圆内的概率为 ． Ω:⎨ 4 ⎩| y |≤ 3
（1）试求椭圆 M 的方程； （2）若斜率 为
[ 来源:学科网]
∴ ∠CFB为二面角C − PG − A的平面角, 1 ∵ CB // AD, = 2
∴ GB = AB = a, ∠PDA = 30 � , PA = ∴ ∠PGA = 30 � , ∴ BF = 1 a a GB = , tan BFC = = 2, a 2 2 2 2 3 a, AG = 2a. 3
解答题训练（九） 限时 60 分钟
三、解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 18． （本小题满分 14 分） 已 知 ∆ABC 中 ， a 、 b 、 c 是 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ， 关 于 x 的 不 等 式
x 2 cos C + 4 x sin C + 6 < 0 的解集是空集．
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2. 21． （本小题满分 15 分） 解： （1） 平面区域 Ω : ⎨ …………14 分
2 3 a ), CD = (− a, a,0), 3
BC ⋅ m
| BC | ⋅ | m |
=
0 ×1 + a ×1 + 0 × 3 0 2 + a 2 + 0 2 ⋅ 12 + 12 + ( 3 ) 2
（3）易知， CB ⊥ AB , CB ⊥ PA, 则 CB ⊥ 平面PAB.
∴ BC是平面PAB 的法向量.
[ 来源:学|
∴ BC = (0, a,0). 又设平面PCD的一个法向量为m = ( x, y , z ), 则m ⊥ PC , m ⊥ CD.而 PC = (a, a,− ∴由m ⋅ PC = 0, m ⋅ CD = 0. ⎧ 2 3 az = 0, ⎪ax + ay − 得⎨ 3 ⎪− ax + ay = 0. ⎩ ⎧ x = y, ∴⎨ ⎩ z = 3 y. 令y = 1, ∴ m = (1,1, 3 ) 设向量 BC与m所成角为θ , 则 cosθ = ∴ tan θ = 2.
x2 y2 + = 1 ……………6 分 4 3
（2）设直线 l 的方程为： y =
1 x +b， 2
22． （本小题满分 15 分）
（3）当 a = 1 时， f ( x) =
1− x x −1 + ln x ， f ′( x) = 2 ，故 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数。 x x n 当 n > 1 时，令 x = ，则 x > 1 ，故 f ( x) > f (1) = 0 ……11 分 n −1 n 1− ⎛ n ⎞ n − 1 + ln n = − 1 + ln n > 0 ，即 ln n > 1 ……12 分 ∴ f⎜ ⎟= n n −1 n n −1 n n −1 ⎝ n −1⎠ n −1 2 1 3 1 4 1 n 1 ∴ ln > , ln > , ln > , ⋅⋅⋅, ln > 1 2 2 3 3 4 n −1 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln + ln + ln + ⋅⋅⋅ + ln …………14 分 > + + + ⋅⋅⋅ + 1 2 3 n −1 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln n > + + + ⋅⋅⋅ + 2 3 4 n 1 1 1 1 即对大于 1 的任意正整数 n ，都有 ln n > + + + ⋅⋅⋅ + ……………15 分 2 3 4 n