湖南省醴陵一中、攸县一中、浏阳一中2013届高三第五次联合考试理科数学试题

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2013届醴陵、攸县、浏阳一中高三第五次联考理综卷(2013.01)

2013年元月醴陵一中、攸县一中、浏阳一中联合考试试题理科综合时量：150分分值300分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16 Na23 Mg 24 S 32Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题（本题包括13小题，每小题6分。

每小题只有一个选项符合题目题意）1．新采摘的玉米味道比较甜的原因是籽粒中蔗糖的含量较高。

采摘一天后玉米籽粒中50% 的游离蔗糖被转化成淀粉，采摘几天后的玉米籽粒失去甜味；采摘后立即冷冻可以保持玉米籽粒的甜味。

下列表述正确的是A．玉米籽粒中的蔗糖是籽粒通过光合作用合成的B．蔗糖转化为淀粉是通过光合作用的卡尔文循环实现的C．冷冻处理抑制了相关酶的活性减少了淀粉的生成D．蔗糖转化成淀粉后籽粒的呼吸速率增加利于储存23．甲图表示在一定条件下某绿色植物细胞内部分物质转化过程，乙图表示在适宜温度条件下该植物净光合速率与环境因素之间的关系。

下列叙述正确的是A．图甲中物质X和Y的合成场所分别在叶绿体基质和线粒体基质B．图甲中①②③④四个过程不能在同一个细胞中进行C．图乙中光照强度为B时，细胞内X物质的产生速率比Y物质产生速率要快D．图乙中光照强度小于A时，两曲线重合的原因主要是受二氧化碳浓度的限制4．下图表示某种生物的部分染色体发生了两种变异的示意图，图中①和②，③和④互为同源染色体，则图a、图b所示的变异A．均为染色体结构变异B．基因的数目和排列顺序均发生改变C．均使生物的性状发生改变D．均可发生在减数分裂过程中5．下图为人体某一反射弧的示意图，a、b为微型电流计F的两极，下列叙述错误．．的是A．兴奋从细胞B传到细胞D，存在化学信号与电信号的转换B．从a处切断神经纤维，刺激b处，效应器能产生反应C．刺激皮肤细胞A，电流计指针将发生两次方向相反的偏转D．神经元静息时，细胞膜对Na+的通透性增加以维持电位差6．下图表示的是硅藻和一些非生物因子季节性的变化，数据来自北温带海洋上层。

13年高考真题理科数学湖南卷

19．（本小题满分 12 分）在直棱柱
ABCD A1B1C1D1 中（如图 5），
AD // BC ， BAD 900 ， AC BD ， BC 1，
AD AA1 3 。⑴证明: AC B1D ；⑵求直线 B1C1 与平
面 ACD1 所成角的正弦值。
图5
20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将
2013 年高考真题理科数学（解析版）卷
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给也的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．复数 z i 1 i（ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
则输出的 a 的值为__________。
14．设 F1, F2 是双曲线 C :
个焦点， P 是 C 上一点，若| PF1 | | PF2 | 6a ，且
PF1F2 的最小内角为 300 ，则 C 的离心率为__________。
15．设 Sn 为数列an
的前 n
⑴ a3 _______；⑵ S1 S2 S100 ___________。
（C）第三象限
（C）系统抽样法
x

2
（D）0

6．已知 a, b 是单位向量， a b 0 。若 c 满足| c a b | 1 ，则| c | 的取值范围是（
）（A） 2 1, 2+1 （B） 2 1, 2+2 （C） 1, 2+1 （D） 1, 2+2
全做，则按前两题计分）
椭圆
9．在平面直角坐标系

湖南省浏阳一中、醴陵一中高二上学期联考试题(数学理).doc

湖南省浏阳一中、醴陵一中高二上学期联考试题（数学理）本卷共21小题，时量1，满分150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 在ABC ∆中，o 45C 22c 32a ===,,，则A 为：A.60°或1B. 60°C. 30°或150°D. 30°2. 已知等差数列}{n a 中，,,1a 16a a 497==+则12a 为：A.15B.30C.31D.643. 等差数列}{n a 中，120S 10=，那么92a a +的值为：A.12B.24C.16D.484. 等比数列}{n a 中，243a 9a 52==,，则数列}{n a 的前4项和为A.81B.1C.168D.1925.二次不等式0c bx ax 2<++的解集是全体实数的条件是：A.⎩⎨⎧>∆>00aB. ⎩⎨⎧<∆>00aC. ⎩⎨⎧>∆<00aD. ⎩⎨⎧<∆<00a6.一元二次不等式03x 2x <-+))((的解集为：A. }|{3x 2x x >-<或B. }|{2x 3x <<-C. }|{2x 3x x >-<或D. }|{3x 2x <<-7.已知实数x,y 满足约束条件x y z 0y 0x 1y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+则,的最大值为：A. 1B. 0C. 1-D.2-8. 已知椭圆5ky x 522=+的一个焦点是（0，2），则k 为：A. 1-B. 1C. 5D.5-9. 设P 是双曲线19y ax 222=-上一点，双曲线的一条渐近线方程为0y 2x 3=-，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若3=|PF |1，则|PF |2等于：A. 1或5B. 6C. 7D. 910.焦点在直线012y 4x 3=--上的抛物线标准方程为：A. x 12y 16x 22==y 或B. y 12x 16y 22==x 或C. y 12x 16y 22-==x 或 D. x 12y 16x 22-==y 或二、填空题（共5小题，每小题5分，共计25分）11. 在ABC ∆中，若,,,8c 3b 7a ===则其面积等于__________. 12.已知数列}{n a 的前n 项和为n 21n S 2n +=，则这个数列的通项公式为____________. 13.已知1y 4x R y x =+∈+且,,，则y x ,的最大值是__________.14.抛物线x 8y 2=上到焦点的距离等于6的点的坐标是___________. 15.已知椭圆上点M ），（32，且两个焦点是(-2,0)1F 和(2,0)2F ,这个椭圆的标准方程为____________.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. 在ABC ∆中，，已知,,,o 30A 6b 32a ===求B 、ABC S ∆以及ABC ∆的外接圆半径。

2013年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案

2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=最大值故选：C5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1211．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为3．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n ∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k ∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y51484542P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=4619．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y ≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。

《精编》湖南省浏阳一中、醴陵一中高三数学第五次月考理新人教A版.doc

第五次月考高三数学〔理科〕联考试卷时量:120分钟, 总分值:150分一、选择题：〔本大题共8个小题，每题5分，共40分．〕1．设全集,{2,3,5,8,9},{1,2,3,4,5,6}U Z A B ===，那么右以以下列图中阴影局部表示的集合是A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {2,5,6}D. {1,4,6}2．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，36S =，公差3d =，那么4a = A ．8 B.9C ．11D ．123．向量(2,3),(1,2)a b ==-，假设ma nb +与2a b -共线，那么mn等于 A ．2-B.2C ．12-D ．124. βα,是两个不重合的平面，那么平面βα,平行的充分条件是 A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n m B.βα,都垂直于平面γC.α内不共线的三点到β的距离相等D.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m5．函数()sin()(,f x A x A ϕϕ=+为常数，0,)A x R >∈在4x π=取得最大值，那么函数()4y f x π=-是A.奇函数且它的图象关于直线2x π=对称 B.偶函数且它的图象关于点(,0)π对称C.奇函数且它的图象关于直线x π=对称D.偶函数且它的图象关于点(,0)2π对称6．数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，那么该数列的前18项和为A ．2101 B.2012 C ．1012 D ．10677．正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，那么AE SBC 与面所成的角的余弦值为A．3 B．3 C ．13 D．38．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，那么以下错误的选项是A ．sincos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()()sin1cos1f f >C ．()()cos2sin2f f >D ．22cossin33f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：(本大题共7小题，每题5分，共35分.)9．设向量,(2,1),3(5,4),sin a b a b a θθ=+=与的夹角为则= 。

2013年高考真题——理科数学(湖南卷)解析版 Word版含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】 D 【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A【解析】的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。

2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等【参考答案】116- 10011(1)32-【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2x xa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()5f α=.求()g α的值；（II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2）（II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1）（Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1532463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥；（II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2）（Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5）所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6）（Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y xk k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()12144||||55k k d p p -+-+++====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。

2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)

2013年全国一致考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B 剖析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为认识男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面可否存在明显差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行检查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案：D剖析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好可否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3答案：D剖析：由2a sin B得2sin A sin BB ，故sin AA ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足拘束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．52答案：C剖析：拘束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，因此d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B剖析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递加．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12] 答案：A剖析：由题意，不如令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．以下列图，当点(x ，y )在地址P 时到原点的距离近来，在地址P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，应选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不能能等于( )．A ．1BC ．12D ．12答案：C剖析：θ，以下列图．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S而1<12，故面积不能能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光辉从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光辉QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83D ．43答案：D剖析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系以下列图．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，由于直线BC 方程为x ＋y －4＝0，因此P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，依照光辉反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12PD P D k k =，即4443344433m m -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，若是全做，则按前两题记分)9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右极点，则常数a 的值为__________．答案：3剖析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，因此其右极点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12剖析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号建立，因此a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 订交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．答案：2剖析：以下列图，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内订交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，因此PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC因此O 到CD 距离为OE =(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 剖析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．(2013湖南，理13)执行以下列图的程序框图，若是输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．答案：9剖析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，停止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．剖析：不如设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝22224224c a a a()+()-()，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记会集M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能够构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值会集为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则以下结论正确的选项是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能够构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )建立的x 的取值会集．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2sin x －12cos x ＋12cos x ＋2sin xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，因此cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )建立的x 的取值会集为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在以下列图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交织点以及三角形的极点)处都种了一株相同品种的作物．依照历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“周边”作物株数X 之间的关系以下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株作物，求它们恰好“周边”的概率； (2)从所种作物中随机采用一株，求它的年收获量的分布列与数学希望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，界线上的作物株数为12.从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株的不相同结果有11312C C ＝36种，采用的两株作物恰好“周边”的不相同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株作物，它们恰好“周边”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机采用的一株作物的年收获量Y 的分布列．由于P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，因此只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“周边”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学希望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，由于BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，因此AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，因此AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，因此AC ⊥B 1D ．(2)由于B 1C 1∥AD ，因此直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，由于棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，因此A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，因此四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，因此B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，由于AC ⊥BD ，因此∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ. 即直线B 1C 1与平面ACD 1. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．由于AC ⊥BD ，因此AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．由于AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，因此AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．以下列图的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方地域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能够进入保护区，请确定点P 的地址，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，由于d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号建立，又由于|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号建立．因此d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号建立． d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号建立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能够进入保护区，因此d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号建立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不相同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 订交于点A ，B ，l 2与E 订交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2；(2)若点M 到直线lE 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .因此点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，因此0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1. 故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ，因此|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.由于p ＞0，因此点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)可否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明原由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+；当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递加． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递加．因此g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++，故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩ (2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递加．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 故(*)建立等价于会集A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与会集B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．由于342a a +＜3a ，因此当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2013年高考数学试题理科数学湖南卷试题及参考答案

2013年各地高考数学试题（湖南卷)数学（理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B 【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(－1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】 D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤。

2013年湖南省高考数学试卷(理科)及word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π34．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足约束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．525．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )． A ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12] 7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1 BC．12 D．128．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________． 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．(二)必做题(12～16题)12．(2013湖南，理12)若T ⎰x2dx ＝9，则常数T 的值为__________．13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．14．(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．15．(2013湖南，理15)设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________.16．(2013湖南，理16)设函数f(x)＝ax ＋bx －cx ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin 2x .(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“这里，两株作物“相近”(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为5，求抛物线E 的方程． 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x ax a-+.(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．πB．πC．πD．π2asinB=由正弦定理=2sinAsinB= sinA=A=．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．5B．0 C．5D．5，y=取得最大值为解：作出不等式组表示的平面区域，，﹣（，，）26．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值C D．令，，作出图象，根据图象可求出解：令，如下图所示：则，又共线时达到最值，最大值为，最小值为所以[﹣+17．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A ．1BC ．12 D ．12求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为；当正视图为对角面时，其面积最大为皆有可能，而正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（）A ．2B ．1C ．8 D ．4，）解得k=，故直线（的重心（，），或，AP=二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．：，得得，．的右顶点为（c=时等号成立时，11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．的半径为，==故答案为：12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．解：=9的值为9．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．×，c==故答案为：15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．解：由时，有，得时，即．所以=所以）故答案为﹣）因为，所以﹣又，所以则，则．====故答案为．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a+b﹣c，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；，求得的范围，解出函数变形为，所以，则得，所以）因为又17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．=，结合，利用同=；，即））=sinxcos﹣cosxsin=cosx）+sinxsin=cosx+∴（cosx+sinx而）∵，∴===，即移项，得sinx+cosx x+x+≥，可得+2k x+≤+2k≤18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有为；得，==，=××+45×+42×=461111AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．，最后在D=，由此即可得因此，=D==，，可得直线20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．12l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．求出向量和转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于的焦点为的方程为．由，得．的坐标为，的坐标为，于是．故，，所以的半径的方程为化简得．的方程为的方程为．=．故当取最小值．由题设22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．时，时，时，，时，=；当，=∴•∴∈，（∵，即，。

2013湖南理科高考数学卷(含答案)

2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．24．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π）B．C．D．7．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A．3+B．C．10 D．5二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．计算的值等于_________．10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于_________．11．（5分）若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为_________．12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=_________．13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p 是q的_________条件．14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为_________．15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为_________．16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=_________；若把y表示成x的函数，其解析式是y=_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{a n}的前n项和S n=f（n），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c n}的变号数．2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．解答：解：复数===2﹣i故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（）A．0B．1C．2D．不能确定考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据两个集合的意义，两个集合的交集的定义，求得M∩N的元素个数．解答：解：由于M={直线}，表示所有直线构成的集合，N={抛物线}，表示所有的抛物线构成的集合，故M∩N=∅，故M∩N的元素个数是0，故选A．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，集合的表示方法，属于基础题．3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．π+2 B．C．2π+2 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式，即可得到结论．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积为=π+2故选A．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出．解答：解：分为以下两类：一类：若选出的3人中有乙，还得选出另外2人有，又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位，可有，因此，共有=12种不同的结果；另一类：若选出的3人中没有乙，则可有=6种不同的结果．综上共有：12+6=18种不同的结果．故选B，点评：熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键．5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用；几何概型．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P===故选：A点评：本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（）A．[0，π）B．C．D．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：当sinθ=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角α=，当sinθ≠0时，直线l的斜率k=结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线l的斜率k的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：当sinθ=0时，直线l的方程为：x﹣2013=0此时倾斜角α=当sinθ≠0时，直线l的方程为：y=x+2013直线l的斜率k=∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）直线l的倾斜角α∈综上所述：直线l的倾斜角α∈故选C点评：本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，解答时易忽略直线l的斜率不存在，倾斜角α=，而错选D．7．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：证明题．分析：①相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，相关性越强．②存在性命题的否定是全称命题③正态分布函数曲线的特点是：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值④性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，解答：解：①R2越大拟合效果越好，故①不正确，②由存在性命题的否定是全称命题得②正确，③正态分布函数曲线的特点是：关于x=0对称，在x=0处达到最大值，且p（ξ＜0）=，若P（ξ＞1）=p则若P（ξ＜﹣1）=p所以．故③正确．④样本中心点在直线上，故④正确故选C．点评：本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A．3+B．C．10 D．5考点：两点间的距离公式．专题：新定义．分析：利用新定义对x、y分类讨论即可得出．解答：解：∵d（C，A）=|x﹣2|+|y﹣3|，d（C，B）=|x﹣8|+|y﹣8|，d（C，A）=d（C，B），∴|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣8|+|y﹣8|，（*）∵实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则可以分以下4种情况：①当0≤x＜2，0≤y≤3时，（*）化为2﹣x+3﹣y=8﹣x+8﹣y，即11=0，矛盾，此种情况不可能；②当0≤x＜2，3＜y≤8时，（*）化为2﹣x+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到y=＞8，此时矛盾，此种情况不可能；③当2≤x≤8，0≤y≤3时，（*）化为x﹣2+3﹣y=8﹣x+8﹣y，得到x=，此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度为3；④当2≤x≤8，3＜y≤8时，（*）化为x﹣2+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，点（2.5，8）；令y=3，得x=7.5，点（7.5，3）．此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度==．综上可知：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是3+5．故选A．点评：正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．计算的值等于2．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的计算法则进行计算，求出3x2的原函数即可；解答：解：==13﹣（﹣1）3=2，故答案为2．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的知识点，此题是一道基础题．10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于4π．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：设圆的半径为R，由正弦定理可得，可求圆的半径，进而可求圆的面积解答：解：设圆的半径为R由正弦定理可得，∵，∴2R=∴R=2，S=4π故答案为：4π点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题11．（5分）若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为x2=2y．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：曲线的方程即ρ2•cos2θ=2ρsinθ，根据极坐标和直角坐标之间的互化公式，求出它的直角坐标方程．解答：解：曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，即ρ2•cos2θ=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2=2y，故答案为x2=2y点评：本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，属于基础题．12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=21．考点：伪代码．专题：图表型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个循环结构．依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是2，每循环一次i就加进2，初始i=1，可循环4次，第4次进入循环体后i=9，故S=9×2+3=21．故答案为：21．点评：考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值．13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p 是q的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：a与b没有公共点，则a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；但α∥β，则面面平行的性质定理，我们易得a与b平行或异面．结合充要条件定义即可得到结论．解答：解：∵a与b没有公共点时，a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；∴命题p：a与b没有公共点⇒命题q：α∥β，为假命题；又∵α∥β时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点∴命题q：α∥β⇒命题p：a与b没有公共点，为真命题；故p是q的必要不充分条件故答案：必要不充分点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为14．考点：通讯安全中的基本问题．专题：计算题．分析：根据题意中给出的解密密钥为y=log a（x+2），及明文“6”通过加密后得到密文“3”，可求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答．解答：解：∵加密密钥为y=log a（x+2），由其加密、解密原理可知，当x=6时，y=3，从而a=2；不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，则有4=log2（b+2），从而有b=24﹣2=14．即解密后得明文为14故答案为：14．点评：本题考查新运算，解题的关键是：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值．解答：解：因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c因为x2+y2﹣2x﹣2y=0表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆，则圆心到直线的距离为d==则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长l=≥2所以0截得的弦长的最小值为2，故答案为2．点评：求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长．16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=4；若把y表示成x的函数，其解析式是y=．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把x=2代入已知可得=10，解之即可；由又求和公式可得=，解之可得答案．解答：解：由题意可得x=2时，1+2+3+4+…+y=1+9，故可得=10，解得y=4，又由1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1可得=，即y（y+1）=，故y=，故答案为：4；点评：本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式可得f（x）=，又可得，由周期公式可得；（2）由题意可得，由余弦定理和面积可得b，c的方程组，解之即可．解答：解：（1）∵==，又∴，解得ω=1；（2）∵f（A）=1，∴，由0＜A＜π得，又∵∴解得或点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及余弦定理的应用，属中档题．18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，分别求出其概率，进而可得其分布列．解答：解：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，即相互独立事件同时发生，故其概率为：P=．（5分）（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，其概率分别为：P（ξ=8）=分布列为：（13分）点评：本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列，两者经常一起考查，平时要加强这方面的训练．19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）连接A1C，证明AE⊥A1C，AF⊥A1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C⊥面AEF；（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．解答：证明：（1）连接A1C正四棱柱⇒CB⊥平面ABB1A1⇒CB⊥AE又∵AE⊥A1B∴AE⊥平面A1BC⇒AE⊥A1C同理可得：AF⊥A1C∴A1C⊥平面AEF（2）∵AE⊥A1B⇒Rt△ABA1∽Rt△ABE⇒∠ABA1=∠BEA，如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，又底面边长是，侧棱长是3∴，得，BE=1同理DF=1又，∴．点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求出列车的速度关于t的表达式，令v（t）=0解出即可；（2）利用（1），令t=0，解出即可；（3）因为加速度a（t）=V'（t），利用导数求出即可．解答：解：（1）∵紧急刹车后列车的速度V（t）=S'（t），∴，当列车完全停止时V（t）=0m/s，∴t2﹣4t﹣60=0，解得t=10或t=﹣6（舍去）．即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s．（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s，又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当t=0时，V（0）=90m/s（3）∵紧急刹车后列车运行的加速度a（t）=V'（t）∴∵|a（t）|=∴|a（0）|最大，|a（t）|max=84m/s2点评：熟练掌握v（t）=s′（t），a（t）=v′（t）是解题的关键．21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．解答：解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2∴抛物线方程为：y2=4x由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（﹣1，0）1，F2（1，0），∴c=1对于椭圆，∴，所以椭圆方程为对于双曲线，∴，所以双曲线方程为（2）设由|PQ|≥|a|得，t2+16﹣8a≥0，t2≥8a﹣16恒成立则8a﹣16≤0，a≤2∴a∈（﹣∞，2]点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想．22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{a n}的前n项和S n=f（n），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c n}的变号数．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a2﹣4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用S n与a n的关系即可求得a n．（2）由（1）求得b n，根据其结构特征利用错位相减法即可求得T n；（3）先求出C n，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，可得此处变号数，从而可求得数列{c n}的变号数．解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2﹣4a=0⇒a=0或a=4，当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，当a=4时，函数f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．综上，得a=4，f（x）=x2﹣4x+4，∴，∴；（2）∵=，∴b n=n，，①，②①﹣②得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，∴；（3）由题设∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{c n}递增，∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．综上得数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3；点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．。

湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高三数学上学期12月联考试题理

理科数学试题时量120分钟总分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知R b a ∈、，则复数 i a b +是虚数的充分必要条件是（） A.0ab ≠ B.0a ≠ C.0b ≠ D. 0a =且0b ≠ 2．函数()lg(1)f x x =-的定义域是（）A ．[-1，4]B ．(]1,4- C ．[1，4] D ．(]1,43．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.34、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（） A.8 B.7 C.6 D.55.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则（） A.b a c << B.c b a << C.b c a << D.a b c <<6 ．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.2ln2B.2ln 21-C.1ln 22D.547．已知点G F E 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（）8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是（）1DA.120B.720C.1440D.50409、函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是（） A.[6K-1，6K+2](K ∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K ∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K ∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K ∈Z)10、已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则 a = ( ).A.2-B.-1C.2D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11、已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，,112a a -=,934a a -=则=+54a a 。

湖南省浏阳一中、醴陵一中高二数学上学期联考试卷理

浏阳一中、醴陵一中2013年下期高二联考试题数学（理科）时量：120分钟分值：150分一．选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．不等式230x y +-≤表示的平面区域（用阴影表示）是（）n {}n a 的前n 项和，若7，则4( ) A.8 B.7 C.6 D.53．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )． A.63B.223C ．－63D ．－2234.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )． A ．ab >ac B ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 5．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是( ) (A)1516 (B)158(C)34(D)387．假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( ) (A)2 008 (B)2 010 (C)4018 (D)1DC B Axyx yxyxyooo o二、填空题：(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把正确答案填在题中横线上) 9．在等差数列{a n }中,已知a n =-2n+9，则当n=______时,前n 项和S n 有最大值. 10．已知不等式20ax x b ++>解集为{|23}x x -<<，则a + b = _____________． 11.如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝ 60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长______.12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝______.13．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是______海里。

湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高二数学上学期12月联考试题理

理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．若0a b >>，0c d >>，则一定有( )A ．a b d c > B ． a bd c< C ． b a d c < D ． b a d c > 2．已知向量)5,3,2(-=a 与向量),,4(y x b -=平行,则,x y 的值分别是（） A ．–6和10B ．6和10C ．–6和-10D ． 6和-103．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（）A ．13B ．35C ．49D ．634．已知命题,:R x p ∈∃使;25sin =x 命题R x q ∈∀:，都有012>++x x 。

给出下列结论：①命题""q p ∧是真命题； ②命题""q p ∨⌝是真命题； ③命题""q p ⌝∨⌝是假命题； ④命题""q p ⌝∧是假命题。

其中正确的是（） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③5．已知命题265:x x p ≥-，命题2|1:|>+x q ，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A ．160元B ．80元C ．240元D ．120元7. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A ．12B ．2C ．1 D8．已知实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是（）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[0,2]9．已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++= （） A.21n n + B. 2(1)n n + C. (1)2n n + D.2(1)n n + 10．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在相应位置上。

2013年湖南省高考数学试卷(理科)学生版

2013 年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2013?湖南）复数 z=i?（ 1+i）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5 分）（2013?湖南）某学校有男、女学生各500 名，为认识男、女学生在学习兴趣与业余喜好方面能否存在明显差别，拟从全体学生中抽取100 名学生进行检查，则宜采纳的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5 分）（2013?湖南）在锐角△ ABC中，角 A， B 所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角 A 等于（）A．B．C．D．，知足拘束条件，则 x+2y 的最大值4．（ 5 分）（2013?湖南）若变量 x y是（）A．B．0C．D．5．（5 分）（2013?湖南）函数 f （）=2lnx的图象与函数2﹣4x+5 的图象x g（x）=x的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（ 5分）（ 2013?湖南）已知，是单位向量，，若向量知足，则的取值范围为（）A．，B．，C．，D．，7．（5 分）（2013?湖南）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不行能是（）A．1B．C．D．8．（5 分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中， AB=AC=4，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光芒从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P（如图），若光芒 QR 经过△ ABC的重心，则 AP等于（）A．2B．1C．D．二、填空题：本大题共8 小题，考生作答 7 小题，第小题 5 分，共 35 分．（一）选做题（请考生在第9，10，11 三题中任选两题作答、假如全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16 题）9．（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：，（ t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右极点，则常数 a 的值为．10．（ 5 分）（ 2013?湖南）已知 a，b， c∈ R， a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为．AB， CD 订交于点P，11．（ 5 分）（2013?湖南）如图，在半径为的⊙ O中，弦PA=PB=2，PD=1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为．12．（ 5分）（2013?湖南）若x2dx=9，则常数 T 的值为．13．（ 5分）（2013?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入a=1， b=2，则输出的 a 的值为．14．（ 5 分）（2013?湖南） F1，F2是双曲 C：（a＞0，b＞0）的两个焦点， P 是 C 上一点，若 | PF1|+| PF2| =6a，且△ PF1F2的最小内角 30°，C 的离心率．．（分）（湖南）S n 数列 { a } 的前 n 和， S （）na n，n15 52013?n n=1∈N*，（ 1） a3=；（2）S1+S2+⋯+S100=．16．（ 5 分）（2013?湖南）函数 f （x）=a x+b x c x，此中 c＞ a＞ 0， c＞ b＞0．（ 1）会合 M={（a，b，c）| a，b，c 不可以组成一个三角形的三条，且 a=b} ，（ a， b， c）∈ M 所的 f（x）的零点的取会合．（ 2）若a，b，c是△ ABC的三条，以下正确的选项是．（写出所有正确的序）① ? x∈（∞， 1）， f（x）＞ 0；②? x∈ R，使 a x， b x，c x不可以组成一个三角形的三条；③若△ ABC角三角形， ? x∈（ 1， 2），使 f（ x） =0．三、解答：本大共6 小，共 75 分．解答写出文字明、明程或演算步．17．（12 分）（ 2013?湖南）已知函数（fx）=sin（x）+cos（x），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α） =，求g（α）的；（Ⅱ）求使 f （x）≥ g（x）建立的 x 的取会合．18．（ 12 分）（2013?湖南）某人在如所示的直角 4 米的三角形地的每个格点（指纵、横直线的交错点以及三角形极点）处都种了一株同样品种的作物．依据历年的栽种经验，一株该种作物的年收获Y（单位： kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系以下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“邻近”是指它们之间的直线距离不超出1 米．（I）从三角形地块的内部和界限上分别随机选用一株作物，求它们恰巧“邻近” 的概率；（II）在所种作物中随机选用一株，求它的年收获量的散布列与数学希望．19．（12 分）（2013?湖南）如图，在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥ BD， BC=1， AD=AA1=3．（Ⅰ）证明： AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值．20．（ 13 分）（ 2013?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向抵达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L路径”．以下图的路径MM 1M2M 3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A（3，20），B（﹣ 10，0），C（ 14，0）处．现计划在 x 轴上方地区（包括 x 轴）内的某一点 P 处修筑一个文化中心．（I）写出点 P到居民区 A 的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L路径”不可以进入保护区，请确立点 P 的地点，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13 分）（2013?湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F 作斜率率分别为 k1，k2的两条不一样直线 l1，l2，且 k1+k2=2．l1与 E 交于点 A， B，l2与 E 交于C，D，以 AB，CD为直径的圆 M ，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为 l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞ 0，证明：＜；（Ⅱ）若点M 到直线l 的距离的最小值为，求抛物线 E 的方程．22．（ 13 分）（ 2013?湖南）已知a＞ 0，函数．（Ⅰ）记 f（ x）在区间 [ 0，4] 上的最大值为 g（a），求 g（ a）的表达式；（Ⅱ）能否存在 a 使函数 y=f（x）在区间（ 0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明原因．。

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湖南省醴陵一中、攸县一中、浏阳一中2013届高三第五次联合考试理科数学时量：150分分值：150分命题人：黎友贵审题人：陈昌龙参考公式：（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（2）球的表面积公式S=4πR 2，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．若(),,,11R b a bi a ii∈+=+-则a b 的值是 ( )A . 1B . 0C . 1-D . 2- 2．全集,R U =且},086|{},21|{2<+-=>-=x x x B x x A 则=⋂B A C U )(（） A ．)4,1[- B. )3,2( C. ]3,2( D. )4,1(- 3．命题“"041,2≥+-∈∀x x R x 的否定是（） A ．041,2<+-∈∀x x R x B ．041,2<+-∉∀x x R x C ．041,2<+-∉∃x x R x D ．041,2<+-∈∃x x R x4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x =3π对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（） A ．y = sin(2x －6π) B ．y = sin(2x +6π) C ．y = sin(2x+6π) D ．y = sin|x |5．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}nA 为等比数列的充要条件为 A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

6．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f -=+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则=+-)2012()2011(f f （）A ．3log 12+B ．3log 12+-C ．1-D ．17.设m>1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y xy 目标函数z=x+my 的最大值大于2，则m 的取值范围为A ．)21,1(+B ．),21(+∞+C ．（1，3）D ．),3(+∞8．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，若不等式k 恒成立，则称函数()f x 在[,a b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( ) A ．[0，+∞) B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,223 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,223二.填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(一)、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4cos(=-πθρ对称，PQ = ．10．如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为．11．已知：x+2y+3z=1,则222x y z ++的最小值是 .(二)、必做题（12~16题）12. 如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 012的值的一个程序框图，则判断框内13、已知向量a , b ，其中2||,2||==b a ，且a b a⊥-)(，则向量a 和b 的夹角是 .14、已知F 1、F 2分别是双曲线221412x y -=的左、右焦点，点P 是双曲线上的点，且|P F 1|=3，则|PF 2|的值为 .15．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，……．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点租车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.18. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+ （1）判断数列}1{+n a 是否为等比数列；（2）若1t =，令12nn n n c a a +=⋅, 记n n c c c c T ++++= (321)证明：1n T <19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB=AD=PB=3，BC=6．点E 在棱PA 上，且PE=2EA.(1)求异面直线PA 与CD 所成的角； (2)求证：PC ∥平面EBD ；(3)求二面角A —BE--D 的余弦值．20(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．21.(本小题满分13分) 设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4,点M （2在椭圆上，。

（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面积的取值范围。

22.（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-．（Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()(2)2b af a b f a a-+-<；（Ⅲ）设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.数学参考答案（理科）一．选择题BCDA D CBD二．填空题9．22； 10.4； 11．11412. i<1007？ 13.4π； 14.7； 15.-1； 16.3959三．解答题17. (本小题满分12分)解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=……………………………..4分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8…………….5分1(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=……………………………………………….10分分布列ξ0 2 4 6 8 P18516 5163161165591784822E ξ=+++=………………………………………………………….12分18. （本小题满分12分）解:（1）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+ ……………2分又111a t +=+, 所以，当1t =-时，{1}n a +不是等比数列当1t ≠-时，{1}n a +是以1t +为首项，2为公比的等比数列． …………5分 (2)解：由⑴知21n n a =-， ……………7分故1112211(21)(21)2121n n n n n n n n n c a a +++===----- 111n n a a +=-……………9分 12311111113372121n n n n T c c c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n +=-<-…………12分19．(本小题满分12分)解： (1)∵PB ⊥底面ABCD ，在直角梯形ABCD 中AB=AD=3，∴BC=6 取BC 的中点F ，连结AF ，则AF ∥CD.∴异面直线PA 和CD 所成的角就是PA 和AF 所成的角∠PAF（或其补角），在△PAF 中，AF=PA=PF=32， ∴∠PAF=60° ………………3分（2）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，∵,21==BC AD GC AG 又,21=EP AE ∴EPAEGC AG =∴PC ∥EG又EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD.∴PC ∥平面EBD ……………7分（3）∵PB ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PB.又∵AD ⊥AB,∴AD ⊥平面EAB.作AH ⊥BE,垂足为H,连结DH,则DH ⊥BE,∴∠AHD 是二面角A-BE-D 的平面角.在△ABE 中,BE=5AH=,55345sin =∙∙BE AE AB∴tan ∠AHD=5=AHAD, 所以，二面角A-BE-D 的余弦值为6……………12分解：（I ）设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故322248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-由于2l r ≥因此0 2.r <≤……………………………………………………………………………………………….3分所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c r ππππ=⨯+=⨯-⨯+因此21604(2),0 2.y c r r r ππ=-+<≤……………………………………………………..5分（II ）由（I ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m 则0m > 所以2228(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++……………………………………………………….7分（1）当9022m c <<>即时， ∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。