新考研数学二真题解析

2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y （3）=--⎰1221)2(x xxdx4π . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-22cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkxxx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.[ C ]【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ]【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-.(C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ A ]【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： )3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ D ]【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D ⎰⎰+++++])()()()()()()()([21 =.2241222ππσb a b a d b a D +=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D). （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.[ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】 如图，有⎰--=+-=xx tt x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(， ⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得 ⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，而xe y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.【分析】 先将y y ''',转化为22,dt yd dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dtdyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='， )sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，得 022=+y dtyd .解此微分方程，得 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,10='===x x y y代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 由题设，知x xf2=∂∂，y y f 2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f令0,0=∂∂=∂∂y fx f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=∂∂=x f A ，0)0,0(2=∂∂∂=yx fB ，2)0,0(22-=∂∂=yfC ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ，解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y x λλλλλ 得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y x D⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π （22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββM是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j β不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】 对矩阵),,,,(321321αααβββM=A 作初等行变换，有 ),,,,(321321αααβββM =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a M M M → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221M M M →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221M M M ， 当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221M M M , 显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时， →A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221M M M ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a .而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321M M M M βββααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 3240110220110221112M M M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a M M M ， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为 2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。