22.3.2运用公式法
初中数学 教案1：22.2.3 公式法
导学：让学生讨论、交流，从中得出结论，当 时，一般形式的一元二次方程 的根为 ，即 。
导做：由以上研究的结果，得到了一元二次方程 的求根公式： （ ）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
课题名称
.3一元二次方程的解法
三维目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点目标
对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
导思：让学生反思以上解题过程，归纳得出：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根。
小结:
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。
达标检测
1．完成教材第36页习题22．2第2题（4）、（5）、（6）小题．
难点目标
掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
导入示标
复习旧知，提出问题
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
目标三导
学做思一：探索同底数幂除法法则？
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程 转化为 呢？
部编人教版九年级数学上册22.3.2 用二次函数求实际中的应用问题(课件)
知2－讲
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知 道应如何定价能使利润最大了吗？ 定价为65元时，利润最大.
总结
知2－讲
用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的
实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通
过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
知2－讲
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变 化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时， 每星期少卖_1_0_x__件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额 为_(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付_4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)
知识点 1 用二次函数解析式表示实际问题
知1－讲
运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际上 是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出 y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函 数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定 基础.
知1－讲
例1 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日 租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增 加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y 元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 (_1__4_0_0_－__5_0_x_)_(_0_≤__x_≤__2_0_)_元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之 间的函数关系式．
知1－讲
22.3.3运用公式法
§22.3求根公式法(3)——根的判别式〖课前回顾〗一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：。
〖课堂探究〗活动1：用公式法解方程：x2＋2x＝0x2＋2x＋1＝0x2＋2x＋2＝0思考：上面一元二次方程的根有什么不同？活动2：解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时为什么规定b2－4ac≥0．那么方程的根的情况由谁决定？归纳：Δ＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式．思考：Δ＝b2－4ac怎样决定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况？归纳：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－4ac，则：①Δ＝b2－4ac＞0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根：x=．1,2②Δ＝b 2－4ac ＝0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根：122b x x a ==-． ③Δ＝b 2－4ac ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．活动3：利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2－4x －1＝0(2) 5x ＋2＝3x 2(3) (x －2)(3x －5)＝0(4) 4x 2－3x ＋1＝0注意：运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
思考：1.关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0。
a 为何值时：(1)有两个不等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)有两个实数根；(4)只有一个实数根；(5)没有实数根；2.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0。
求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。
3.如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．。
22.3.2商品利润最大问题(第2课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
2.3.2用公式法求解一元二次方程
课题：2.3.2用公式法求解一元二次方程 课型：新授课 年级：九年级教学目标1．熟练的掌握公式法，并能利用方程解决简单的实际问题． 2．训练用公式法方法解题的技能．教学重点与难点：重点是利用方程解决实际问题.难点是对于开放性问题的解决，即如何设计方案.教法及学法指导：本节课以“提出问题—设计方案—验证方案—总结升华”为主线，使学生亲身体验如何“设计方案”、如何验证方案的合理性，体会数学来源于生活又服务于生活，实现数学的“再创造”的过程. 本节课为学生提供思考、尝试、探索和发现的机会，使学生以一个设计者的身份去探究知识，从而形成学生主动参与、自觉实践的氛围，使学生经历、体验、感悟，达到收获的目的.课前准备：多媒体课件 教学过程：一、知识回顾1．用配方法解下列一元二次方程： （1）(16-2x )( 12-2x )= 12 ×16×12（2）(16-x )(12-x )= 12×16×12，设计意图：帮助学生回忆如何用配方法解一元二次方程，为后面说明设计方案解一元二次方程节约时间，为突破验根做好铺垫.二、探求新知现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？在一块长为16m ，宽为12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 设计意图：通过问题情境的设计，让学生以主人翁的态度投入到方案设计中，学习积极性高涨，学习效率高.（学生先自己设计，画出草图，教师巡视学生的设计方案，选择有代表性的设计黑板展示.）（1）学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种.(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)（2）在学生自行设计和展现作品时，教师提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：①怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？能②以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？⑴、⑵、⑶、⑷图③剩下的图形怎样通过计算来说明？列方程解应用题(3)如何设未知数？怎样列方程？分组解答图（5）、（6）所列的方程如图所示：①设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？(16-2x)(12-2x)=12×16×12②一元二次方程的解是什么？（借用学生的练习，直接求出方程的解，节约解方程所用的时间，为验根作铺垫.）x2-14x+24=0，x2-14x+49=-24+49．(x-7)2=25．x1=12，x2=2．③你认为小路的宽为12m和2m都合要求吗？为什么？x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半.师释疑：好，一般地来说：在解一元一次方程时，只要题目、方程及解法正确，那么得出的根便是所列方程的根，一般也就是所解应用题的解，而一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题．因此，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解．这一点，该同学做得很好，大家要学习他从多方面考虑问题．接下来，我们来看小亮的设计方案（如图2-6）．你能帮小亮求出图2-6中的x吗?解析：因为四个相同的扇形拼凑在一起正好是一个圆，即四个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？×12×16．x2π=12一元二次方程的解是什么？x1≈5.5．x2≈－5.5．符合条件的解是多少？因为半径为正数，所以x＝-5.5应舍去．因此，由以上所述可知，符合条件的解是x1=5.5.你还有其他设计方案吗？与同伴交流.设计意图：通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程.由于时间关系，分组解答时，部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可.三、巩固新知 1．（P44 随堂练习）对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮助她求出图中的x 吗?解：根据题意，得 (16-x )(12-x )= 12×16×12，即x 2-28x +96=0．解这个方程，得 x 1=4，x 2＝24(舍去)． 所以x =4．（学生列出方程后，借用学生的练习，直接求出方程的解，便于突破验根这一难点．）2、在一幅长90cm 、宽60cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？(1) (2) (3)师出示：图（2）和图（3）相比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？生思考后：（2）图解：设金边的宽为x m,由题意,得(90+2x )(40+2x )×72%=90×40.设计意图：增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程.学生解答时准确率较低的原因有两点：一是本例数据较繁，二是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练，教学中如有可能可以给学生更多的时间. 四、小结反思通过这节课的学习你学到了什么知识？1.本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可.2.设计方案时，关键是列一元二次方程.3.一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解.设计意图：通过列方程解应用题，帮助学生了解一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，知道要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 五、达标检测1．用公式法解方程：x 2+4x -2=0.．2．某校团委准备举办学生绘图展览，为美化画面，在长为30m 、宽为20m 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度.六、作业达标1．基础作业：习题2.6 第1题及助学第46页第8题2．拓展作业：习题2.6 第2、3、4题板书设计。
22.2.3 公式法
22.2.3 公式法在数学和物理学中，公式法是一种使用数学公式和方程来解决问题的方法。
公式法是一种非常常见且强大的方法，在许多学科和领域都有广泛的应用。
本文将介绍公式法的基本概念和使用方法。
什么是公式法？公式法是一种使用数学公式和方程来解决问题的方法。
通过建立数学模型，并使用数学公式和方程来描述和分析问题，我们可以通过计算来得到问题的解决方案。
公式法通常被认为是一种精确和可靠的方法，因为它基于严密的数学原理和逻辑。
公式法适用于各种问题，包括数学问题、物理学问题、化学问题以及工程问题等等。
它可以用来求解方程、计算数值、推导公式等等。
通过使用公式法，我们可以将复杂的问题拆解为一系列简单的数学运算和推导步骤，从而更容易理解和解决问题。
如何使用公式法？使用公式法解决问题的基本步骤如下：1.理解问题：首先，我们需要仔细阅读和理解问题的要求和条件。
明确问题的关键因素和所需的解决方案。
2.建立数学模型：接下来，我们需要建立一个数学模型来描述问题。
数学模型通常由一系列的数学公式和方程组成，用于描述问题中的各个变量和关系。
建立数学模型需要一定的数学和领域知识，在一些复杂的问题中可能需要使用高级的数学工具和方法。
3.形式化模型：在建立数学模型之后，我们需要将问题转化为数学形式。
这涉及到将问题中的自然语言描述转化为数学符号和表达式。
这个过程需要仔细考虑问题的细节和限制条件，确保数学模型能够准确地反映问题的本质。
4.解析模型：一旦建立了数学模型，我们就可以使用数学方法来分析和解决问题了。
这包括推导公式、解方程、计算数值等等。
在这个步骤中，我们需要运用一系列的数学技巧和工具，如代数运算、微积分等。
5.检验解决方案：完成计算之后，我们需要对解决方案进行检验。
这通常涉及将解决方案代入问题中，看是否满足问题的要求和条件。
如果解决方案合理并且满足问题的特定要求，那么我们就可以得出最终答案。
例子：使用公式法解决物理问题以下是一个使用公式法解决物理问题的例子：问题：一个物体以12 m/s的速度沿着水平方向运动，并在2秒后停止。
人教版数学九年级上册22.2.2《公式法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.2《公式法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.2《公式法》是二次函数章节的一部分，主要介绍了公式法在解决二次函数问题中的应用。
本节课的内容包括：二次函数的顶点式、对称轴公式、开口方向与判别式的关系等。
通过本节课的学习，学生能够掌握公式法在解决二次函数问题中的应用，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，对二次函数的图像有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用公式法进行解答。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已学的知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数的顶点式、对称轴公式、开口方向与判别式的关系。
2.学会运用公式法解决二次函数问题。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点式、对称轴公式、开口方向与判别式的关系的理解。
2.公式法在解决二次函数问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握公式法在解决二次函数问题中的应用。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何解决这个问题。
例如：已知二次函数的图像经过点(1,2)和(3,4)，求该二次函数的解析式。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次函数的顶点式、对称轴公式、开口方向与判别式的关系等知识点，引导学生自主学习。
3.操练（10分钟）教师给出几个例题，让学生运用公式法解决。
教师引导学生注意观察例题的解题步骤，总结解题方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行讲评，指出解题中存在的问题，并进行解答指导。
5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展问题，引导学生进行思考。
例如：如何运用公式法解决二次函数的最值问题？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，巩固知识点。
2.3.2用公式法求解一元二次方程
（第2题图）（第3题图）
4、某新建火车站站前广场需要绿化，该项绿化工程中有一块长为 米，宽为 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积
的一半。
你能给出设计方案吗？
合作探究：
探究活动：花园的设计方案
活动一：小明的设计方案如下图所示，其中花园四周小路的宽度都相等。通过解方程，他得到小路的宽为 或 。你认为小明的结果对吗？为什么？你能将小明解答的过程重现吗？
活动二：小亮的设计方案如图所示。其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮得到扇形的半径 吗？
作业必做题：习题2.6问题解决第1、2、3题；
选做题：习题2.6联系拓广第4题。
备注
我的收获：
教师课后反思或疑惑：
重点难点
重点：利用方程解决实际问题；
难点：根据具体问题中的数量关系，列出方程。
学情分析
一元一次方程、二元一次方程组、用配方法和公式法解一元二次方程。
教法学法
自主探究与小组合作交流。
自主预习：
举例说明什么是一元二次方程？它有什么特点？
怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？
情境导叔叔从市场上买了一块长 ，宽 的矩形
铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的
四个角各剪掉一个边长 的正方形后，剩余的部分
刚好能围成一个底面积为 的无盖长方形工具
实际问题与二次函数------最大利润问题
22.3.2实际问题与二次函数------最大利润问题一、教学目标：1、知识与技能：通过探究实际问题与二次函数关系,能用配方法或公式法求二次函数最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。
2、过程与方法：（1）、通过研究生活中实际问题,体会建立数学建模的思想. （2）、通过学习和探究“销售利润”问题,渗透转化及分类的数学思想方法.3、情感态度：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。
二、学情分析：学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质,学习了列代数式,列方程解应用题,这些内容的学习为本节课奠定了基础,使学生具备了一定的建模能力,但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识,对学生来说要完成这一建模过程难度较大。
三、教学重难点：教学重点：1、理解数学建模的基本思想,能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。
2、能根据实际问题，确立二次函数解析式，并用配方法或公式法求最值教学难点：从实际情景中抽象出函数模型。
四、教学过程：【活动1】小视频导入本节课的探究内容：某运动服的进价为每套40元,售价是每套60元时，每星期可卖出300套,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10套,每降价1元,每星期可多卖出20套,问：如何定价才能使利润最大?(设计说明:教师通过小视频将这个实际问题呈现给学生，但本问题是一道较复杂的市场营销问题,不能直接建立函数模型,需要分类讨论,初中学生分类讨论的思想较薄弱,这给解题造成了障碍,造成学习上的困难，因此，并没有马上去处理这个问题而是先进行一下知识储备。
)【活动2】小组合作探究解决自主学习中存在的问题：1、与利润有关的几个等式：（1）总价、单价、数量的关系；（2）单件利润、售价、进价的关系；（3）总利润、单件利润、数量的关系。
2、如何求2(0)y ax bx c a=++≠的最值？你有几种方法？3、二次函数2=-+的对称轴是直线，顶点坐标是y x2(3)5当x= 时，y有最值，是。
22.3实际问题与二次函数(第二课时)教案
22.3实际问题与二次函数第二课时 二次函数与最大利润问题一、 教学目标知识与技能：通过探究实际问题与二次函数的关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。
过程与方法：通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。
二、 教学重点及难点教学重点：用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。
教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。
三、学情分析我班学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列方程解应用题，所以学生具备了一定的建模能力，但我班学生的理解能力较弱，对应用题具有恐惧感，然而应用二次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应用能力，对学生而言建模难度很大。
三、 教学过程（一） 复习引入 (1)商家进了一批杯子，进货价是10元/个 ，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。
（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打八折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元 。
利润问题主要用到的关系式是：利润=售价-进价 总利润=单件利润 ⨯ 销售数量(二)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。
如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表示为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表示为(300-10x ) 件，一周的利润可表示为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列方程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。
九年级数学上册22.2.2公式法教案新人教版
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终推导出求根公式，形成把一个一元二次方程方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再求解的方法。
三、例题学习：
例1（教材P36例2）解下列方程：
（一定要注意格式，谁不按老师的格式，我就骂谁）
例2、不解方程，判别下列方程根的情况。
2、你发现一元二次方程根的情况有哪几种？
3、对照教材体会解题过程。
牢牢把握用公式法解一元二次方程的一般步骤。
四、课堂练习：
1教材P42练习1
学生板演，教师点评。
通过练习加深学生用公式法解一元二次方程的方法。
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第4、5题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
22.2.2公式法
教学
目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
重点
难点
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点：一元二次方程求根公式法的推导
教学过程
问题与情景
师生活动
设计意图
一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）
①3x2+x-1=0②x2+4=4x③2x2+6=3x
在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。
交流与点拨：
1、用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。
（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
九年级数学上册《22.2.2 公式法(2)》教学案 新人教版
推
荐
作
业
必做题目：37页，练习1、
选做题目：42页，习题5
板书设计
22.2.2公式法
教
学
后
记
课题
22.2.2公式法（2）
课时
本学期第 课时
本单元第 课时
课型
新授
主备人
日期
感
知
目
标
学
习
目
标
2、过程与方法：培养学生在已有知识基础上通过探索、观察、分析比较，实现知识的迁移与转化，巩固旧知，学习新知；
3、情感态度与价值观
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神与创新意识。
重点
难点
重点：对求根公式推导过程中的理解，根的判别式；
难点：对求根公式推导过程中的理解．
教学过程
启
动
课
堂
预习
复习
反馈
1、一元二次方程的根与△= b2-4ac的关系
2、一元二次方程的求根公式
学生复习
回答
学生思考
5分
探
求
新
知
1、要用求根公式解一元二次方程，需要有哪些步骤？
学生交流思考
教师适当给以指导
5分
例
题
分
析
例：用公式法解下列方程
演示过程
学生独立思考，小组讨论。
学生板书过程
8分
巩
固
练
习
(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;
(3)x2+15x=-3x; (4)x2-x+=0.
学生独立练习
15分
小结
提升
1、用配方法解一元二次方程的一般形式的过程
八年级数学下册 2.3.2 运用公式法(二教案 北师大版
2.3.2 运用公式法（二）教案知识与技能目标：1．使学生会用完全平方公式分解因式。
2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式。
过程与方法目标：1．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。
情感态度与价值观目标：1．通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．教学方法师生共同讨论法.教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教具准备教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，而且还学习了完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2。
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．Ⅱ.讲授新课1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？将完全平方公式倒写：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．便得到用完全平方公式分解因式的公式．什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？互相交流，找出这个多项式的特点．左边的特点有：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．练一练：下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．2．例题讲解例1 把下列完全平方式分解因式：（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．例2 把下列各式分解因式：（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy．分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．Ⅲ.课堂练习a．随堂练习b．补充练习把下列各式分解因式：（1）4a2－4ab＋b2；（2）a2b2＋8abc＋16c2；（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；（4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；（5）－＋n2；（6）x2y－x4－。
九年级数学上册 22.2.2《公式法解一元二次方程第2课时》教案 新人教版
九年级数学上册 22.2.2《公式法解一元二次方程（第2课时）》教案新人教版
公式法解一元二次方程（第2课时）
教学目标：
1.继续强化公式法解一元二次方程；
2.掌握求根判别公式的应用。
教学重点：公式法解一元二次方程及求根判别公式的应用.
教学难点：求根判别公式的应用. 教学过程：
一、知识回顾：
3.分别用配方法及公式法解方程：
043112=+-x x （由两组中层学生演板）
二、探索新知：
△=ac b 42-(求根判别公式)
方程有两个不相等的实数根→ △﹥0
方程有两个相等的实数根→ △=0
方程没有实数根 → △﹤0
三、当堂训练：
1.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）D
A ．010092=+-x x B. 05752=++x x C. 0924162=+-x x D. 04322=-+x x 归纳点评：若a 、c 异号，则方程一定有两个不相等的实数根
01442=+-x x 的根的情况是 。
有两个相等的实数根
x 的一元二次方程0k x x 22=-+的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
x 的方程01x )12m (x m 2
2=+++有两个实数根，求m 的取
值范围。
（由两组中下层学生上来板演从而达到检测课堂效果的目的）
5.拓展提高：
求证：无论m取何值时，关于x 的一元二次方程0
+
+
+都有两个不相等实数根。
mx2=
1
x)3
m
(。
22.3※运用公式法
§22.3求根公式法(※)
——二次三项式
〖课堂探究〗
活动1：
因式分解：
①x2－2x＋1
②x2＋2x
③x2－4
④y2－5y－6
思考：你能把x2＋8x－1因式分解吗？
活动2：
利用表格让学生观察二次三项式所分解成的因式中的数字与它相对应的方程的根存在怎样的一种关系。
猜想：如果一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根是x
1、x
2
，那么二次三项式
x2＋px＋q可以分解为： .
思考：1.对于方程x2＋px＋q＝0，试用韦达定理(根与系数的关系)替换p、q的值，你能得出什么结果？与上面的猜想是否一致。
2.对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试用同样的方法探究ax2＋bx＋c的分解，你能得出什么结果？
归纳：如果一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根是x
1、x
2
，那么：
二次三项式x2＋px＋q＝ .
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x
1、x
2
，那么：
二次三项式ax2＋bx＋c＝ .
活动3：
把下列多项式在实数范围内进行因式分解：
(1)x2－x－1 (2)x2＋8x－1 (3)x2＋2x
(4)4x2－12x－7 (5)2x2－6x＋4 (6)25x2＋20x＋1 思考：如果x2－ax－8(a是整数)在整数范围内可以因式分解，求a的值。
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§22.3求根公式法(2)
——黄金分割数
〖课前回顾〗
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是： 。
〖课堂探究〗
活动1：
生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异、美观大方。
比如，图中正五角星图案，在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，满足AC
BC AB AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
那么黄金比为什么大约是0.618？
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣的分割，并指出勾股定理和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。
思考：如图，如果设小方格的边长都是1，请你在方格中画出黄金分割线。
活动2：
要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应该设计为多高？这个高度比等于多少？
思考：在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。
某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
活动3：
宽与长的比是
21
5-
(长与宽的比是
21
5+
)的矩形称为黄金矩形。
黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．例如希腊雅典的帕撒神农庙。
(1)小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法为(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
(2)如图，矩形ABCD是黄金矩形，同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC是否也是黄金矩形？
思考：解方程：x2－|x|－1＝0。