2005年七年级数学竞赛试题
2005年七年级数学竞赛试题
6．xm－1－(n－2)x＋2是三次二项式的条件是（m＝4，n＝2）
7．若2xm－1y2与－x2yn是同类项，则（－m）n＝（9）
8．单独完成一项工作，甲要a天，乙要b天，那么合作完成要（ ）天。
9．计算：108°18′25″－56°23′32″=（51°54′53″）
解：设8点x分时针与分针重合，则
所以：x－ ＝40解得：x＝43.即8点43分时出门。
设2点y分时，时针与分针方向相反。所以：y－ ＝10+30
解得：y＝43.即2点43分时回家
所以14点43分－8点43＝6点
答共用了6个小时。
2）1+2+3+4+……+n＝ ,当n＝19时，1+2+3+……+19＝ ＝190
所以分子、分母之和为21，第102项即为
2.化简：y＝|x－1|＋|x－2|＋|x＋3|
3.设3x3－x=1,求9x4＋12x3－3x2－7x＋2001的值。
解：由3x3－x＝1得：3x3＝x +1
所以：原式＝3x3•3x＋3x3•4－3x2－7x＋2001
10.已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°，则这个角是（65°）
三、解答题
1.有一个数列｛an｝是按以下规律组成的：
、、、、、、、、、、、、、、、、…
问：（1）是数列中的第几项？（2）第200项是哪个分数？
解：1）1+2+3+4+……+75＝ ＝2850而2850+27＝2877
所以是数列中的第2877项
七年级竞赛试题05、12.doc
2005年青岛市义务教育阶段数学竞赛七年级试题（120分钟满分120分）得分阅卷人复核人------------------------一、选择题（每题4分，共10个小题，合计40分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.请将1-10各小题所选答案的标号填写在第10小题后面表格的相应位置上.1、已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x的绝对值等于3 ,贝ij x+ （m+n）-x + （-ab）的值等于（）.A 8B -8C 10D -102.有理数a力在数轴上的位置如图所示：则在b—2a, b|—|a|, |aH?|, aA-2 |, —|b-4中，负数共有（）.A 4个 R 3个 C 2个 D 1个3＞两个质数珥n满足m+n = 99,则的值是（）.A 9413 BCD4、上午九点钟时，时针与分针成直角，则下一次时针与分针成直角的时间是（）.A 9时30分B 10时5分C 10时5分D 9时32分5、有若干个数，第一个数为-2,从第二个数起每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则第2005个数是（）.A -2 E C D 16方程| 12^11-11=1的解的个数是（）.A 4个B 3个C 2个D 1个Z旅游车上乘坐着来自中国、美国、法国3个国家的游客，现知道中国游客有18人，法国游客有9人。
成年男游客中，美国5人，法国3人；成年女游客中，法国3人，中国5人；男孩中中国3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人。
还知道成年女游客比成年男游客少2人，而且男孩和女孩一样多，则美国游客有（）人.A 10B 11C 12D 13&某校篮球队共有10名队员，比赛服上的号码是1号，2号，••••••，10号。
现要选出一名队长和两名副队长，并使得队长的号码恰好等于两名副队长号码的平均数，则有（）种不同的选取方法.A 10 E 16 C 18 D 20Q若干名学生面向老师站成一行，老师让大家从左到右按1, 2, 3,……报数，先让报数是4的倍数的学生向后转，接着让报数为6的倍数的学生向后转，则面向老师的第 100个学生报数是（）.A 131B 132C 133D 1341Q爱好数学的小明家的日历是用花草摆放的，他家的阳台上有很多盆花。
2005年全国初中数学联赛试题(E卷)
2005年全国初中数学联赛试题(E 卷)一、选择题(每小题7分，共42分)1．若a= b= 2 +a b 的值为 ( )．(A ) 12 (B ) 14 (C) (D)2．如图1，I 是等腰Rt △ABC 的内心，IE 、IF 分别是∠AIC 、∠AIB 的平分线．若斜边BC = 2，AI 与 EF 交于点 P ，则IP = ( )．（A1 （B（C ） 1(D ) 1 –图 1 3．已知αβ= 3 –α10 +β10 是一个正整数. 则它的末位数字是( ) ．(A ) 2 (B ) 4 (C ) 6 (D ) 84．如图2，边长为1的正△ABC ，分别以顶点A 、B 、C 为圆心、1为半径作圆．则这三个圆所覆盖的图形面积为 ( )．（A ）3π2+ (B ) 5π2 –(C ) 7π2–(D ) 3π–5．在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点(x ，y )称为整点．如果将二次函数y = – x 2 + 8x – 394 与 x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是( )个．(A ) 16 (B ) 20 (C ) 25 (D ) 306．将1÷2÷3÷4÷5适当添加括号，使之成为一个完整的算式．则可分别得到不同的值有( )种．(A ) 6 (B ) 8 (C ) 9 (D ) 10 二、填空题(每小题7分，共28分) 1． 如图3，正方形ABCD 的边长为1，以AB 为一边向形内作正△ABE ， 点P 是该正三角形的中心，PD 交AE 于点F . 则PF = .2． 已知 a 、b 为正整数，a = b – 2005．若关于x 的方程 x 2 – ax + b = 0 图 3有正整数解，则a 的最小值是 .3；某人将一本书的页码按1，2，3，…的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到一个错误的总和2005．则被多加的页码是 .4．设 n 为自然数．如果2005能写成 n 个正的奇合数之和，就称 n 为“好数”，则这种好数有 个．P FED C B A三、解答题(共70分)1．(20分)已知 p 、q 为整数，且是关于 x 的方程 x 2– p 2 + 119 x + 154 (p + q ) + 16 = 0 的两个根．求 p 、q 的值.2．(25分)如图4，在△ABC 中，AB <AC ，I 是内心，M 是BC 的中点，P 是BC 上的一点，且AP ∥IM ，Q 是AP 上的一点. 若 四边形IMPQ 为平行四边形，求证：△MPQ 为直角三角形.3．(25分)将前15个正整数1，2，…，15分成五组，每组3个数．若每组中的3个数之和都相等，就称这种分组方案是一个“和谐划分”．例如，分法(1，8，15)，(2，9，13)，(3，10，11)，(4，6，14)，(5，7，12)就是一个和谐划分．试确定和谐划分共有几种，并列出每种和谐划分中的分组情况．参考答案一．1. B 2.C 3. B 4. A 5. C 6. B . 二. 1. 2. 95 3. 52页 4. 111. 三．1. 只有一解 p = 13，q = 7. 2. 证略. 3. 共有11种和谐划分，分组情况如下，S 1：（1，11，12），（6，8，10），（2，9，13），（3，7，14），（4，5，15）；S 2：（1，11，12），（5，9，10），（2，8，14），（3，6，15），（4，7，13）；S 3：（1，11，12），（5，9，10），（3，8，13），（4，6，14），（2，7，15）；S 4：（1，8，15），（3，7，14），（5，6，13），（2，10，12），（4，9，11）；S 5：（1，8，15），（4，6，14），（2，9，13），（5，7，12），（3，10，11）；S 6：（2，7，15），（1，9，14），（5，6，13），（4，8，12），（3，10，11）；S 7：（2，7，15），（4，6，14），（1，10，13），（3，9，12），（5，8，11）；S 8：（3，6，15），（1，9，14），（4，7，13），（2，10，12），（5，8，11）；S 9：（3，6，15），（2，8，14），（1，10，13），（5，7，12），（4，9，11）；S 10：（4，5，15），（1，9，14），（3，8，13），（2，10，12），（6，7，11）；S 11：（4，5，15），（2，8，14），（1，10，13），（3，9，12），（6，7，11）；Q P IC B A。
2005年第二十届初中数学竞赛试卷
江苏省第二十届初中数学竞赛试卷(第2试)(2005年12月18日上午8：30-11：00)一、选择题(共8题，每题8分，共64分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的括号内．1．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b = (其中a、b均不为0 )．下面有两个结论：(1)运算“﹡”满足交换律； (2)运算“﹡”满足结合律．其中 ( )(A)只有(1)正确 (B)只有(2)正确 (C)(1)和(2)都正确 (D)(1)和(2)都不正确2．下面有4个正整数的集合： (1)1～10l中3的倍数； (2)1～101中4的倍数； (3)1～101中5的倍数； (4)l～10l中6的倍数．其中平均数最大的集合是 ( )(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D ) (4)3．下面有3个结论：(1)存在两个不同的无理数，它们的差是整数；(2)存在两个不同的无理数，它们的积是整数；(3)存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论有 ( )(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个4．如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于 ( )(A) (a2 + b2) (B) (a2 + b2 ) (C) (a + b )2 (D) ab5．如果m、n是奇数，关于x的方程x2 + mx + n = 0有两个实数根，则其实根的情况是( ) (A)有奇数根，也有偶数根 (B)既没有奇数根也没有偶数根(C)有偶数根，没有奇数根 (D)有奇数根，没有偶数根6．如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系 (1) p = 2q；(2) q = r；(3) p + s= 180° 中，正确的是 ( )(A) 只有(1)和(2) (B) 只有(1)和(3) (C) 只有(2)和(3) (D) (1)、(2)和(3)第6题第8题7．有6个量杯A、B、C、D、E、F，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是 ( )(A) B、D (B) D、E (C) A、E (D) A、C8．如图，表示阴影区域的不等式组为 ( )2x +.y≥5， 2x + y≤5， 2x +.y≥5， 2x + y≤5，(A) 3x + 4y≥9， (B) 3x + 4y≤9， (C) 3x + 4y≥9， (D) 3x + 4y≤9，y≥0 y≥0 x≥0 x≥0二、填空题(共8题，每题8分，共64分)：9．设a、b、c是△ABC的三边的长，化简+ + 的结果是 .10．如图，DC∥AB，∠BAF =∠BCD，AE⊥DE，∠D= 130°，则∠B = .第10题第13题11．同时掷出七颗骰子后，向上的七个面上的点数的和是10的概率与向上的七个面的点数的和是a (a≠10)的概率相等，那么a = ．12．方程2x2 - x y - 3x + y + 2006 = 0的正整数解( x，y )共有对．13．如图，已知直角坐标系中四点A(- 2，4)，B(- 2，0)，C(2，-3)，D(2，0)．设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标： .14．已知R、x、y、z是整数，且R> x > y > z，若R、x、y、z满足方程16(2R +2x + 2y +2z) = 330，则R = .15．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD = 14m，塔影长DE = 36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB = m．16．设2005的所有不同正约数的积为a，a的所有不同正约数的积为b，则b = .三、解答题(共4题，每题13分，共52分)17．某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图 (2)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?18．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．(1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由． (2)若∠BAC= 30°，∠CAD= 45°，AC =4，求MN的长 .19．已知x、y为正整数，且满足xy - ( x + y ) = 2p + q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )20．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数是l，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k + 1个1之间插入k个2 (k = 1，2，3，．．．)．试问(1) 第2005个数是1还是2 ？(2)前2005个数的和是多少? (3)前2005个数两两乘积的和是多少?。
2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题
荆州市2004年初中数学竞赛2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。
初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。
满分均为120分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于 （ ）A ．－1B ．0C ．21 D ．12．如图1，已知∠CGE=120°，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点图3A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<16．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ ）A ．680B ．720C ．745D ．7609．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付 钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= . 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为 .12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE= . 14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则 .15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 元.17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 .18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 个. 三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE ⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值. 25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米？参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于（B ）A ．－1B ．0C ．21 D ．1解答：设(2005－n)=a , (n －2004)=b a +b=1 a 2+b=1,02)()(222=+-+=∴b a b a ab 故选B. 2．如图1，已知∠CGE=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= （ C ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°解答：连结AG ，则∠AGC=∠B+∠BAG , ∠AGE=∠F+∠FAG , ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120°即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C 3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ A ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x解答：∵x 、y 、z 为正实数，则有yxz x z y z y x +>+>+， 从而yzy x x z y x z z y x ++>++>++即得z<x <y.故选A. 4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ B ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 解答：如图：过C 作CD ⊥AB 于点D设满足题设的时间为t 秒，则有AC=8t ，BC=7t ，又∠A=60°.t CD t AD 34,4==∴ 由勾股定理知310020)34()4100()7(222==+-=t t t t t 或解得（舍）故选B. 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点（－1，0）两点，则S=a +b+c 的值的变化范围是（ B ）A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<1解答：分别令x =0, y=1和x =－1, y=0. 求得c=l , a =b －1 ∴S=a +b+c=2b.由题设知02>-ab，且a <0，可以推知2b>0又由b=a+1及a <0可以推知2b<2. ∴0<S<2故选B.6．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ A ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组解答：设|x |=a , |y|=b ,，则原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-050522a b b b a a两式相减并化为(a －b)(a +b －6)=0∴a －b=0或a +b －6=0由此可得⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=-=+-060500522b a b a a b a b a a 或 前者解得（a , b ）=（0，0），（4，4）后者解得，（a ,b ）=（3+3，3－3）或（3－3，3+3）因此（a ,b ）的第一组解推得（x , y ）=（0，0）；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.故选A.7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ D ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个解答：对于a =b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ C ）A ．680B ．720C ．745D ．760解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S 五边形=S 长方形－S 三角形=31×25－21×5×12=745 故选C. 9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ A ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x 、y 、z 元，由题设知⎩⎨⎧=++=++)2(4224)1(642 z y x z y x （1）×2+（2）得8x +4y+10z=16即4x +2y+5z=8，故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= 15 .解答：因为5p 2+3q 为奇数，故p, q 必为一奇一偶，而 p , q 均为质数，故p ，q 中有一个为2.若q 为2，则 5p 2=553，不合题意，舍去；若p 为2，则q=13即p+q=15. 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为516. 解答：连结AG ∵S △ADG =21S 正方形ABCD =21S 长方形DEFG =16 ∴FG=516，注：利用△AED ∽△GDC 亦可. 12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 961 人.解答：设有x 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，有30x +1=y(x －1) 从而131301130-+=-+=x x x y 所以x =2（不合题意）；x =32. 因此游客数为30×32+1=961人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE=41. 解答：分别过B 、C 两点作BM//AC ，CN//AB分别交AD 、AC 于M 、N ；容易知道AC=2BM ， AB=2CN 又tan ∠BAD=BM, tan ∠ACCNCAE = 从而tan ∠BAD ·tan ∠CAE=41又tan ∠BAD=1 即tan ∠CAE=41.14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则PD= 12 . 解答：由△ABD ∽△CPD 知CP AB DP BD =又由△ACD ∽△BPD 知 BPACDP DC =二式相除得43==CP BP DC BD （注：此处用角平分线定理亦可直接得出） ∵△ABD ∽△CPD 知ABCPBD PD =122873=⨯=⋅=⋅=∴CP BC BD CP AB BD PD15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 221 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 解答：如图：分4个三角形考虑：△AOB（仅不含BO 边），△BOC （仅不含CO 边） △COD （仅不含DO 边）△DOA （仅不含 AO 边）每个三角形内所含整点的个数均为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有55×4+1=221.16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一解答：设盈利25%的成本价为x 元, 亏损25%的成本价为y 元,则有90－x =25%x ， 90－y=－25%y 解得x =72，y=120.从而利润为：(x +y)－180=－12元17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 1 .解答：由题设知⎩⎨⎧=++=--⎩⎨⎧=++=--0|1|1|32|1|1|0|32|y x y x y x y x 或从而得到—F 面四个方程组：①⎩⎨⎧=++=--11032y x y x ②⎩⎨⎧-=++=--11032y x y x ③⎩⎨⎧=++=--01132y x y x ④⎩⎨⎧=++-=--01132y x y x 解以上方程组，得惟一整数解⎩⎨⎧-==11y x . 18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 8 个.解答：①当P 在x 轴上若OA 为腰时，由OA=OP 得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；由OA=AP得P 3(2, 0); 若OA 为底时，得P 4（1，0）有4个点.②当P 在y 轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 解：设方程两个不相等的正实数根为a ,b （不妨设a <b ）于是a +b=－k, a b=－k+1.消去k 有ab －a －b=1，即(a －1)(b －1)=2……（10分） 只有a －1=1，b －1=2.即a =2，b=3.进而k=－5.……………………（15分）20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.解：x =5.………………（5分）其理由是：按如图所示填字母a , b, c, d, e ,f , g , h ,有: a +b+c+d+x +e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++15151515e x d g x b f x c h x a 四式相加得(a +b+c+d+x +e+f+g+h)+3x =60从而3x =15即x =5.………………（15分）四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元）（1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？解：（1）由C （25）=275，C （24）=288，C （23）=276，C （22）=264；有C （25）<（23）<C （24）由C(49)=490, C(48)=528, C(47)=517, C(46)=506, C(45)=495, C(44)=484, 有C(49)<C(45)<C(46)<C(47)<C(48);故共有6个n （即23，24，45，46，47，48）出现买多于n 本书比恰买n 本所花的钱少.……（5分）（2）设两人共购买a 本和b 本共付钱S 元，不妨设a ≤b ，由a +b=60知道1≤a ≤30 （i ）当1≤a ≤11时，49≤b ≤59，S=12a +10b=10(a +b)+2a =600+2a 602≤S ≤622 （ii ）当12≤a ≤24时，36≤b ≤48 S=12a +11b=660+a 672≤S ≤684（iii ）当25≤a ≤30时，30≤b ≤48 S=11a +11b=660故出版公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……（15分）五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC 、BD 是圆O 的内接四边形ABCD 的对角线，且BD 垂直平分半径OC ；在AC 上取一点P 使CP=OC ，连结BP 并延长交AD 于点E 交圆O 于点F.求证PF 是EF 和BF 的比例中项.证明：连结OB 、AF.∵BD 垂直平分半径OC ，∴BO=BC又OB=OC=CP ∴CP=CB 从而∠PBC=∠BPC ；又∵∠PBD=∠PBC －∠CBD∠ABP=∠BPC －∠BAC而已知OC ⊥BD 得到点C 是弧BD 中点∴∠BAC=∠DAC=∠CBD因此∠PBD=∠ABP 即P 为△ABD 的内心.……（10分）这样一来，∠EAF=∠ABF ，∠F=∠F ，∴△AEF ∽△BAF 即得AF 2=EF ·BF又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD∠FPA=∠ABF+∠BAC由内心可知，∠CAD=∠BAC ，∠FAE=∠ABF所以∠FAP=∠FPA 即PF=AF …………………………（15分）因此PF 2=EF ·BF 结论成立.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥AD ；连结AC ，过A 点作AE⊥AC ，且使AE=AC ；连结BE ，过A 点作AH ⊥CD ，垂足为H ，且交BE 于点F ，求证BF=EF.证明：过B 点作BM ⊥AH ，过E 点作EN ⊥AH ，交AH 或其延长线分别于点M 、N∵AB ⊥AD ∴∠BAM+∠ABM=90°又∵AH ⊥CD ∴∠DAH+∠ADH=90°∴∠BAM=∠ADH 而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD∴Rt △ABN ≌Rt △DAH∴BM=AH …………………………（5分）同理可证明Rt △EAN ≌Rt △ACH 得到EN=AH ………………（10分）在Rt △BMF 和Rt △ENF 中，有EN=AH ，∠BFM=∠EFN ，∠BMF=∠ENF=90° ∴Rt △BMF ≌Rt △ENF因此BF=EF ……………………………………………………（15分）六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上移动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM 于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值. 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP11211+=∴=⋅==+=+=∴=∴∆∆∆∆x x S AD AM S PA PE S S x x PA PE AM PD PD PA PE AM PD EA PE MPE APM APM MEP 且又即 同理可求xx S MPF --=∆54……………………（8分） 因此5462511125412++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 343229)2(622=-≤--+=x ………………（13分） 当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）25．（初二），如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短.这个最短路程是多少米？解：如图所示，作AA ′⊥CD ，AA ′⊥DD ′；BB ′⊥CE ，BB ′⊥EE ′，则折线ADD ′E ′EB 的长度等于折线AA ′D ′E ′B ′B 的长度，等于折线A ′D ′E ′B ′以线段A ′B ′最短.…………………………（10分）故题目所示最短路程S=A ′B ′+10.而A ′，B ′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A ′B ′=228060 =100米，故S=110米.………………（15分）。
第十七届五羊杯初中数学竞赛初一试题
第十七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题2005年11月 考试时间：90分钟 满分：100分试题收集：李启印 录入：刘飞 校对：成俊锋一、选择题（每小题5分，满分50分．）1．已知有理数,,,a b c d 满足33332005202728222820a b c d −=+=−=+，那么A 、a c b d >>>B 、b d a c >>>C 、c a b d >>>D 、d b a c >>>2．0.000670.338(750.000001020.003380.042)×−×÷×=A 、0.00008B 、0.000008C 、0.000529D 、0.05293．橙子奥数工作室防盗暗记．77371217381727111385271739172739⎛⎞⎛⎞+−÷+−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ A 、2 B 、1/2 C 、233/333 D 、2/34．已知有理数,,,A B x y 满足(4):(5)7:2(3):(2)9:527A B A xB A B yB A x y +−=⎧⎪+−=⎨⎪+=⎩，则:x y =A 、2：1B 、2：3C 、1：2D 、3：25．五羊书店国庆大酬宾，图书一律按原标价的九折出售，而且每购满原标价为10元的图书可得1元优惠券（少于10元则没有）．优惠券限在书店内使用，可折抵等额现金购书．邓、郑、邱、邢、郭5人合计有现金800元，如果购书后再用优惠券购书，直到用光为止，那么5人一共可以买到原标价为（ ）元的图书．A 、998.89B 、997.78C 、996.67D 、986.676．以下4种关于质数和合数的说法中，准确的说法共有 ① 两个质数的和必为合数② 两个合数的和必为合数 ③ 一个质数与一个合数的和必为合数 ④ 一个质数与一个合数的和必非合数A 、3B 、2C 、1D 、07．设有理数a 、b 满足不等式||||a a b a a b +−<+−，那么如下式子成立的是A 、a > 0，b > 0B 、a > 0，b < 0C 、a < 0，b > 0D 、a < 0，b < 08．羊城雕塑公园草坪，中有一湖，饲养黑天鹅等珍禽．如图1，四边形ABCD 表示公园，L 表示“天鹅湖”．已知△ABC 、△ABD 、△COD 的面积分别是42、40和12公顷，公园陆地总面积是61公顷，那么“天鹅湖”的面积是（ ）公顷．A 、10B 、9.5C 、9D 、89．图2中一共可以数得出（ ）个梯形．（一组对边平行而另一组对边不平行的四边形称为梯形）A 、258B 、168C 、129D 、111 10．算式“神舟 × 神舟六号飞 = 六号飞天神舟”中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，而且已知“六”= 6，那么“神”+“舟”+“六”+“号”+“飞”+“天”=图 1图 2智浪教育—普惠英才文库A 、18B 、20C 、27D 、30二、填空题（每小题5分，满分50分．）11．设20052005A =，则A 用10进制表示的末3位数字是_____．12．追星族打探球星阿龙的年龄．阿龙卖关子说：“我的年龄嘛，立方是4位数，平方再平方是6位数，合起来刚好出现从0到9的全部数字．”那么，阿龙其实是_____岁．13．五羊号轮船顺流航行135千米再逆流航行70千米共用12.5小时，而顺流航行75千米再逆流航行110千米也用12.5小时，那么水流的速度是_____千米/小时．14．设12122005333n n n n n c c c =⋅+⋅⋅L ++，其中n 为正整数，12,,,n a a a L 为互不相等的自然数（包括0，约定031=），12,,,n c c c …中的每一个都等于1或1−，则12n a a a +++=L _____． 15．9个连续的正奇数中，最多有多少个质数？答：_____．16． 防盗暗记．分数1212121212,,,,1234…，100中有_____个分数可以化为整数或有限小数．17．图3中的5边形ABCDE 是一个长方形和一个直角三角形拼成的．在每个顶点处，以该顶点为圆心，半径为2作圆（图3中只画出圆的一部分）．这个5边形和5个圆又落在一个半径为9的大圆之中，如果10,3,6,8BC CD DE AE ====，那么阴影部分的面积为__________．（得数保留π）18．111111(1)(2)(2)(5)(5)(8)(8)(11)3324x x x x x x x x x +++=−−+++++++−的解为_____． 19．若20位数20052005xyzxyzxyzxyz 既是17的倍数，又是37的倍数，则x y z ++=_____． 20．甲、乙两车在A 、B 两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A 城开出，乙车从B 城开出，两车在距A 城36公里处相遇，又在距B 城24公里处第二次相遇，并且后来再在距A 城超过20公里的某处第三次相遇．那么第三次相遇时，两车距离A 城_____公里．。
2005年全国初中数学联赛试卷(初赛)
2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30一、选择题:（每小题7分，共计42分）1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）（A）a＞b⇒a2＞b2; (B)a≠b⇒a2≠b2; (C)|a|＞b⇒a2＞b2; (D)a＞|b|⇒a2＞b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）（A）0 (B) 3 (C) 22005(D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22方程x2－(2m－4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（）（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0二、填空题:（每小题7分，共计28分）1、已知：x为非零实数，且1122x x-+= a,则2x1x+=_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。
2005年全国初中数学联赛初赛试卷(附答案)
2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：301、若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ）（A ）a ＞b ⇒a 2＞b 2 (B)a ≠b ⇒a 2≠b 2 (C)|a|＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞|b|⇒a2＞b 22、已知：a+b+c=3,a 2+b 2+c 2=3,则a 2005+b 2005+c 2005的值是（ ）（A ） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 224、在Rt △ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC 、AC 之长是一元二次方程x 2－(2m －1)x+4(m －1)=0的两根，则m 的值是（ ）（A ）4 （B ）－1 （C ）4或－1 （D ）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x －3与y=kx+k 的交点为整数时，k 的值可以取（ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的对称轴，则有（ ） （A ）a+b+c=0 （B ）b ＞a+c （C ）c ＞2b （D ）abc ＜0 二、填空题 （每小题7分，共计28分）1、已知：x 为非零实数，且1122x x -+ = a , 则 2x 1x+=_____________。
2、已知a 为实数，且使关于x 的二次方程x 2+a 2x+a = 0有实根，则该方程的根x 所能取到的最大值是_______________________.3、p 是⊙o 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙o 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于Q ，则 则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使n=a+b+ab ,则称n 为一个“好数”，例如： 3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案2005
2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。
将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0 且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥0 3、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯Λ，则与A 最接近的正整数为（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25答：D解：对于正整数mn ≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A ＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯ΛΛ ＝)102110111001991(1225+++⨯- 因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。
2005年全国初中数学联赛初赛试卷(含参考答案与试题解析)
2005年全国初中数学联赛初赛试卷（含参考答案与试题解析）一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）若a、b为实数，则下列命题中，正确的是（）2．（7分）已知a+b+c=3，a+b+c=3，则a+b+c的值是（）3．（7分）有一种足球是由若干个黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形（如图）．如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）4．（7分）在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，则m的值是（）解答：解：如图．设BC=a，AC=b．根据题意得a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1）．由勾股定理可知a2+b2=25，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=4m2﹣12m+9=25，∴4m2﹣12m﹣16=0，即m2﹣3m﹣4=0，解之得m1=﹣1，m2=4．∵a+b=2m﹣1＞0，即m＞，∴m=4．故选A．5．（7分）在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x﹣3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）解答：解：由题意得：，解得：，∴，∵交点为整数，∴k可取的整数解有0，2，3，5，﹣1，﹣3共6个．故选C．6．（7分）如图，直线x=1是二次函数y=ax+bx+c的图象的对称轴，则有（）解答：解：由图象可得：a＞0，b＜0，c＜0，对称轴x=1，则A、a+b+c＞0，错误，当x=1时，a+b+c＜0；B、b＞a+c，错误，当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，b＜a+c；C、abc＜0，错误，abc＞0；D、c＞2b，正确．对称轴x==1，b=﹣2a，又a﹣b+c＞0，c＞b﹣a＞b＞2b．故选D．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）已知x为非零实数，且，则= a2﹣2 ．解答：解：由两边平方得，x+x﹣1+2=a2，∴．故答案为：a2﹣2．8．（7分）已知a为实数，且使关于x的二次方程x+a x+a=0有实根，该方程的根x所能取到的最大值是．解答：解：a为实数，当a≠0时，关于a的二次方程xa2+a+x2=0有实根，于是△=1﹣4x3≥0∴x≤．当a=0时，x=0，∴x≤．故x所能取到的最大值是．9．（7分）P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于Q，则∠PQC=．解答：解：连接OC，∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=∠POC，又∵∠APQ=∠CPQ=∠APC，PAC+∠APQ，=（∠POC+∠APC），=×90°，=45°．故答案为45°．（7分）对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab，则称n为一个“好”数，例如3=1+1+1×1，10．三、解答题（共3小题，满分70分）11．（20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x﹣2上的点，原点位于线段AB的中点处，试求A，B两点的坐标．解答：解：设A点的坐标是（a，b），则因为原点是AB的中点，故A和B是关于原点的对称的，即B点的坐标是（﹣a，﹣b），将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，得，解得或，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）或A（﹣1，﹣4），B（1，4）．12．（25分）如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连接OC交⊙O 于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长．解：如图，连接AD，∵OB=OD，∴∠2=∠3，又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，则∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CDE∽△CAD，有（1）．又△ADE∽△BDA，∴（2）．由（1）、（2）及AB=AC得AE=CD．∵△CDE∽△CAD，∴=，∴CD2=CA•CE，令AE=x，则CE=d﹣x，于是有x2=d（d﹣x），即x2+dx﹣d2=0，解此方程并取正根，得AE=x=．13．（25分）设x=a+b﹣c，y=a+c﹣b，z=b+c﹣a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，，试求积abc的所有可能的值．解答：解：因为a+b﹣c=x，a+c﹣b=y，b+c﹣a=z，联立解得（a，b，c）=（）（5分）又y=x2，于是有：，（1）b=（x+z），（2），（3）由（1）解得x=（4）因x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数，（10分）于是，又a是质数，故只能有所以T=5，a=3．（15分）代a=3入（4）得x=2，﹣3当x=2时，y=x2=4，因而有，代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）当x=﹣3时，y=9，，所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，故abc=3×11×17=561．（25分）。
2005年全国初中数学竞赛试题及参考答案
20年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。
将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥03、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯ ，则与A 最接近的正整数为（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25 答：D解：对于正整数m n≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯＝)102110111001991(1225+++⨯- 因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。
2005年全国初中数学联合竞赛试题及解答
又由图像可得： f 1 a b 0 ， f 1 a b 0 ∴ p a b 2a b b a 2a b 2b a ，
q a b 2a b a b b 2a 2b a
0
1
∴ p q ，选 C 6．若 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 为互不相等的正奇数，满足（2005－x1） （2005－x2） （2005－x3）
＝ ＝
＋
1 3－5 2 4
1 7－5 2
＝
7－5 2 7＋5 2 49 50
＝－14 所以选 D 2．圆内接四边形的四条边长顺次为 5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ A．78.5. 【答】C. 由余弦定理得：
2 52 1 4 2 5 1 4 c o 2 s 21 0 1 1
12 4 或 x （舍去） 7 3
3．若实数 x ， y 满足 【答】432.
x 3 4
3 3
y 3 6
3 3
1，
x 5 4
3 3
y 5 63
3
1 .则 x y __________.
方法 1：假设 x＋y＝a，则 y＝a－x. 则 33 63 x+ 33 43 a-x 33 63 33 43 ， 即 63 43 x 33 43 a 33 33 43 33 63 43 63
）
D C
P
【答】D. 由图形割补知圆面积等于矩形 ABCD 的面积 ∴ π 12 2 AB ， AB
π 2
2 2
A
B
16 2 16 2 由垂径定理得公共弦为 2 1 2 . 4 2 4
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一、解答题（共13小题，满分0分）1．已知：（1）0a >（2）当11x -时，满足2||1ax bx c ++；（3）当11x -时，ax b +有最大值2．求常数a 、b 、c ．2．在△ABC 中，已知I 为内心，O 为外心，AB ＝8，BC ＝6，CA ＝4，求证：OI ⊥AI ．3．在99⨯的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n 次，在某一列中也至少出现n 次，那么，n 的最大值是多少？并证明你的结论．4．已知2(2)8()(2)x z x y y z +=+-+，则246x y z +-+= ．5．若2227153x xy y ax by +-+++可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a 、b 为实数，那么，a b +的最小值是 ．6．已知n 是正整数，22111(1)n n +++是一个有理式A 的平方，那么，A = ．7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A 类软件和B 类软件，根据需要A 类软件至少买3片，B 类软件至少买2片，则不同的选购方式共有 种．8．已知方程262(13)120x m x m +-+-=恰有一个正整数解，则整数m 的值为 ．9．在边长为1的正方形ABCD 中，点M 、N 、O 、P 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上．如果AM BM =，3DP AP =，则MN NO OP ++的最小值是 ．10．已知O 为ABC ∆的外心，AD 为BC 上的高，66CAB ∠=︒，44ABC ∠=︒．那么OAD ∠= ．11x ，y 的值．12．如果2006个整数1a ，2a ，2006a ⋯，满足下列条件：10a =，21|||2|a a =+，32|||2|a a =+，⋯，20062005|||2|a a =+，那么，122005a a a ++⋯+的最小值是 ．13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成 ． 一栋面积为2Nm 的房子的地上部分费用与 成正比 ． 已知一栋23600m 的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么， 要建造若干栋相同的住房， 使面积为28000m 的总造价最小， 则每栋住房的面积的平方米数应是 ．。
2005年7年级数学竞赛试题
2005－2006学年上学期洑水初中七年级数学竞赛试题命题人：文冬林（考试时间14：00－16：00）班级＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 分数＿＿＿一、选择题（40分）1、图形表示运算ａ－ｂ＋C ，图形xm y n 表示运算ｘ＋ｎ－ｙ－ｍ，则等于＿＿＿＿ A 、－4 B 、－2C 、2D 、4 2、当ｘ＝－2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是＿＿＿＿A 、－23B 、－17C 、23D 、173、某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，若这种细胞由1个裂成16个，那么这个过程要经过＿＿＿＿A 、1.5小时B 、2小时C 、3小时D 、4小时4、期末统考中，A 校优秀人数占20%，B 校优秀人数占25%，比较两校优秀人数＿＿＿A 、A 校多于B 校 B 、B 校多于A 校C 、A 、B 一样多D 、不能比5、已知ａ、ｂ、ｃ都是负数，且∣ｘ－ａ∣＋∣ｙ－ｂ∣＋∣ｚ－ｃ∣＝0，则ｘｙｚ是＿＿＿A 、负数B 、非负数C 、正数D 、非正数6、巴黎与北京时差为－7时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎时间是＿＿＿＿＿A 、7月2日21时B 、7月2日7时C 、7月1日7时D 、7月2日5时7、∠1，∠2为互补角，∠1＜∠2，则∠1的余角是＿＿＿＿A 、12（∠1＋∠2）B 、12∠1C 、12（∠1－∠2）D 、12（∠2－∠1） 8、若关于ｘ的方程ａ（ｘ－1）＝ｂ（ｘ－1）有唯一的解，则ａ与ｂ应满足的条件是＿＿A 、ａ≠ｂB 、ａ＝ｂC 、ａ＝ｂ＝1D 、ａ、ｂ为任意实数9、生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有１０％的能量能够流动到下一个营养级，在123456H H H H H H →→→→→，这条生物链中n CH 表示第ｎ个营养级，则ｎ＝１，２，３，…，６，要使6H 获得１０千焦的能量，那么需要1H 提供的能量约为＿＿＿＿＿A 、410千焦B 、510千焦C 、610千焦D 、710千焦 10、20002001(2)(2)-+-等于＿＿＿＿A 、20022- B 、20012- C 、20002- D 、19992- 二、填空题（80分）1、已知M 、N 是同一直线上的三个点，MN ＝ａ，NP ＝ｂ，那么M 、P 的距离等于＿＿＿2、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当ｘ＝a b c a b c ++时，则19922x x -+=＿＿. 3.11111111248163264128256+++++++＝＿＿＿＿，231111222++++…＋1012＝＿＿＿ 4、19931993的末位数字是＿＿＿＿，19971997的末位数字是＿＿＿＿，19991999的末数字是＿＿＿5、计算1998×19991999－1999×19981998＝＿＿＿＿6、计算12121212121212()21212121212121-×427()(3)256---=＿＿＿＿＿＿ 7、已知4个矿泉空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水＿＿＿＿瓶。
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（1 75） 75 解：1）1+2+3+4+„„+75＝ ＝2850 2
所以
27 是数列中的第 2877 项 50
（1 n） n 2）1+2+3+4+„„+n＝ , 2
（1 19） 19 当 n＝19 时，1+2+3+„„+19＝ ＝190 2 10 所以分子、分母之和为 21，第 102 项即为 11 2.化简：y＝|x－1|＋|x－2|＋|x＋3| 3.设 3x3－x=1,求 9x4＋12x3－3x2－7x＋2001 的值。 解：由 3x3－x＝1 得：3x3＝x +1 所以：原式＝3x3•3x＋3x3•4－3x2－7x＋2001 ＝3x(x+1)+4(x+1)－3x2－7x+2001 ＝3x2+3x+4x+4－3x2－7x＋2001 ＝2005 4.雨后初晴，小方同几个伙伴八点多上山采蘑菇，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点 多他回到家里，一进门看钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小方采蘑菇是几点去，几点回到 家的，共用了多少时间？ 解：设 8 点 x 分时针与分针重合，则 7 7 x 所以： x－ ＝40 解得：x＝4311. 即 8 点 4311分时出门。 12 y 设 2 点 y 分时，时针与分针方向相反。所以：y－ ＝10+30 12 7 7 解得：y＝4311. 即 2 点 4311分时回家 7 7 所以 14 点 4311分－8 点 4311＝6 点 答共用了 6 个小时。
ab ）天。 ab）7．若 2xm－1y2 与－x2yn 是同类项，则（－m）n＝（
8．单独完成一项工作，甲要 a 天，乙要 b 天，那么合作完成要（
9．计算：108°18′25″－56°23′32″=（ 51°54′53″ ） 10. 已知一个角的补角比这个角的余角的 4 倍大 15°，则这个角是（ 三、解答题 1.有一个数列｛an｝是按以下规律组成的：
3．地球离太阳有一亿五千万千米，用科学记数法表示为（ 1.5×108 千米 ） 5 用科学记数法表示的数 6.03×10 ,其原数为（ 603000 ） 4．一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为 m km/h，下坡速度为 n km/h，则上下坡的平均速度为 2mn （ ）km/h mn 5．某商品的标价为 1100 元，打八折出售，仍可获利 10％，则此商品进货价为（ 800）元。 6． 1 m－1 x －(n－2)x＋2 是三次二项式的条件是（ m＝4，n＝2 8 9 ）
2005 年七年级数学竞赛试题
„„„„„„„„„„„„班级 „„„„„„„„„„„„姓名 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„密„„„„„„封„„„„„„线„„„„„„内„„„„„„请„„„„„„勿„„„„„„答„„„„„„ 题„„„„„„
一、 选择题 1、一个数加上 5，减去 2 然后除以 4 得 7，这个数是（ C ） A：35 B：31 C：25 D：28 2、a、b 两个数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( D ) A：a＜b a＞0 B：a＜b b＜0 C：a＞b a＜0 D：a＞b b＜0 o a b 1 3、数轴上表示－2 的点到原点的距离是( B ) 1 1 A：－2 B：|－2| C：－2 D ：2 4、已知|x|=3，|y|=2，x、y 异号，则 x＋y 的值是( B ) A：5 或 1 B：－1 或 1 C：5 或－5 D：－5 或－1 5、下列各式中，与 a－b－c 的值不相等的是( B ) A：a＋(－b)＋(－c) B：a－(＋b)－(－c) C：a－(＋b)－(＋c) D：a－(＋b)＋(－c) 2004 2005 6、 （－2） ＋（－2） 的结果是( B ) 2004 A：(－2) B：－22004 C：(－2)2005 D： 22005 7、－32－(－2)3 等于( C A：－17 B：1 )。 C：－1 D：17 D ) 1 x 1 x
65°）
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、„ 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 27 问： （1） 是数列中的第几项？ 50 （2）第 200 项是哪个分数？ 而 2850+27＝2877
1 8、若 0＜x＜1，则 、x、x2 的大小关系是( x 1 A： ＜x＜x2 x 1 B：x2＜ ＜x x
C： x＜x2 ＜
D： x2＜x＜
9、近似数 5.0 的准确值 x 的取值范围是 ( C ) A：4.5＜x＜5.4 B：4.95≤x≤5.05 C：4.95≤x＜5.05 D：4.95＜x＜5.05 3 10、当 x＝3 时，代数式 px ＋qx＋3 的值是 2005，则当 x＝－3 时， 代数式 px3＋qx＋3 的值为( D ) A：2002 B：1999 C：－2001 D：－1999 二、 填空题 1．若|x－3|＋|y＋2|＝0，则 x＋y＋3＝( 4 ) 2．若 |a| ＝1，则 a( ＞ a )0，若 |a| ＝－1,则 a( ＜ a )0。 （用“＞” “＝” “＜”填空）