1[1].3.1第2课时等比数列的性质 教案(北师大版必修五)

∵(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)， 41 ∴1＋8x≈40，
∴x≈0.003. 答：该城市的人口年平均增长率约是 0.003.
1．本题涉及增长率问题，利用等比数列可以解决． 2．实际生活中常会遇到增长率问题，如果增长量是个常量，则与等差数列 有关；如果增长率是个常量，则与等比数列有关．
某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨， 如果平均每年的产量比上一年增加 10%， 那么 从第一年起，约几年可使年产量达到 30 万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.1 ＝0.041) 【解】 记该糖厂每年制糖产量依次为 a1，a2，a3，„，an，
2．数列{an}为等比数列，它的前三项为 m－1，m＋1，2m＋2，则通项公式 为( ) A．an＝3×2n－1 C．an＝3×2n 【解析】 B．an＝2n D．an＝3×2n＋1
由题意得，(m＋1)2＝(m－1)(2m＋2)，解得：m＝3 或－1，当 m
＝－1 时，m＋1＝0，2m＋2＝0，不合题意，∴m＝3，故数列{an}的前三项为 2， 4，8，∴a1＝2，q＝2，an＝2· 2n－1＝2n. 【答案】 B
(对应学生用书第 22 页)
1．下列四个命题：①公比 q＞1 的正项等比数列是递增数列；②公比 q＜0 的等比数列是递减数列；③任意非零常数列都是公比为 1 的等比数列；④{lg 2n} 是等差数列而不是等比数列．正确的个数是( A．1 【解析】 【答案】 B．2 ①③④正确． C C．3 ) D．4
3．等比数列 a－1，2a，8a，„的第四项为________． 【解析】 由题意(2a)2＝(a－1)· 8a，即 4a2－8a＝0，解得 a＝0(舍)或 a＝2.
第四项为 64. 【答案】 64
4．已知数列{an}，{bn}满足 a1＝1，a2＝2，且 an，an＋1 是函数 f(x)＝x2－bnx ＋2n 的两个零点，试求 b10 的值． 【解】 依题意，有 anan＋1＝2n，
则依题意可得 a1＝5， an ＝1.1(n≥2 且 n∈N＋)， an－1 从而 an＝5×1.1n－1，这里 an＝30， lg 6 0.778 － 故 1.1n 1＝6，即 n－1＝log1.16＝lg 1.1≈0.041≈19， 故 n＝20. 答：约 20 年可使年产量达到 30 万吨．
(对应学生用书第 21 页)
⇒ 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 19 页)
1.理解等比数列的单调性与 a1，q 的关系． 课标解读 2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等 比中项(重点)． 3．掌握等比数列的有关性质(重点、难点).
等比数列的增减性 【问题导思】 1 1 对于数列：①4，2，1，2，4„；②2，2，2，2，„；③1，4，16，64，„； 1 ④－4，－2，－1，－2，„ 以上 4 个数列各有怎样的增减性？ 【提示】 ①递减数列；②常数列；③递增数列；④递增数列．
第 2 课时 ●三维目标 1．知识与技能
等比数列的性质
进一步熟练掌握等比数列的概念及通项公式 ；深刻理解等比中项，掌握等 比数列的性质． 2．过程与方法 通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识． 3．情感、态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学源于现实生活，并应用于现 实生活，提高学习的兴趣． ●重点难点 重点：等比中项的理解与应用． 难点：灵活应用等比数列的定义通项公式、性质解决问题． ●教学建议 本学案的例 2 是针对等比中项而设计， 让学生通过本例的讲解加深对等比中 项的应用，辨别与等差中项的差异．例 1、例 3 是等比数列性质的考查，在教学 中可以类比等差数列的性质来学习等比数列的性质，使学生感受类比思想． ●教学流程 创设问题情境，提出问题 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 引导学生回答问题，理解等比数列的增减性、等比中项性 通过例1及互动探究，使学生掌握等比数列性质的应用 通过例2及变式训练，使学生掌握等比中项的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握等比数列在实际问题中的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识
(对应学生用书第 19 页)
等比数列性质的应用 已知{an}为等比数列． (1)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5. (2)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋„＋log3a10 的值． 【思路探究】 运用等比数列的性质，从整体上对式子变形，找出相关量之 间的关系． 【自主解答】 (1)由等比中项，化简已知条件可得，a32＋2a3a5＋a52＝25，
因为 a2－a5＝42， 所以 q≠1，由已知，得
2 a1＋a1q＋a1q ＝168 ， 4 a1q－a1q ＝42 2 a1（1＋q＋q ）＝168 ① 所以 3 a1q（1－q ）＝42 ②
因为 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1 所以由②除以①，得 q(1－q)＝4. 1 所以 q＝2.所以 a1＝1 42 1 4＝96. －（ 2 2）
若 a＋1，2a＋2，3a 成等比数列，求 a 的值． 【解】 ∵a＋1，2a＋2，3a 成等比数列，
∴(2a＋2)2＝(a＋1)· 3a， ∴a＝－1 或－4. 又∵a＝－1 时 a＋1，2a＋2 均为 0，故舍去， ∴a＝－4.
等比数列的实际应用 某城市 2012 年年底人口为 100 万人，人均住房面积为 5 米 2.该城市拟自 2013 年年初开始每年新建住房 245 万米 2，到 2020 年年底时，人均住房面积为 24 米 2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到 0.001，参考公式(1＋ x)8≈1＋8x.(其中 0＜x＜1)) 【思路探究】 设年平均增长率为x ―→
3．等比数列{an}的各项均为正数，且 a2a9＝9，数列{bn}满足 bn＝log3an，则 数列{bn}前 10 项和为( A．10 B．12 C．8 D．2＋log35 【解析】 b1＋b2＋„＋b10＝log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝log3(a1· a2· „· a10) )
又 a4a7＋a5a6＝16，∴a5a6＝8. ∴log2a1＋log2a2＋„＋log2a10＝log2(a5a6)5＝log285＝15.
等比中项的应用 等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． 【思路探究】 (1)a5，a7 的等比中项是什么？
(2)要求 a5，a7 需要什么量？ (3)如何求 a1，q? 【自主解答】 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
1．在(1)中，运用等比中项性质，将 a2a4 转化为 a32，a4a6 转化为 a52，简化 了计算．在(2)中，运用了与首末两项等“距离”两项的乘积相等的性质． 2．等比数列的常用性质： 性质 1：通项公式的推广：an＝am· qn－m(n，m∈N＋)． 性质 2： 若{an}为等比数列， 且 k＋l＝m＋n(k， l， m， n∈N＋)， 则 ak· al＝am· an. 1 性质 3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a }，{an2}，{an· bn}，
若 G 是 a5，a7 的等比中项， 1 则应有 G2＝a5a7＝a1q4· a1q6＝a12q10＝962×(2)10＝9， 所以 a5，a7 的等比中项是± 3.
1．只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互 为相反数，异号的两数没有等比中项．
2．证明一个数列是等比数列的方法 an＋1 (1)定义法： a ＝q(n∈N＋，q≠0 是常数)⇔{an}是等比数列； n (2)中项法：an＋12＝an· an＋2(n∈N＋)且 an≠0⇔{an}是等比数列．
所以 an＋1an＋2＝2n＋1， an＋2 两式相除，得 a ＝2， n 所以 a1，a3，a5，„成等比数列，a2，a4，a6，„成等比数列， 而 a1＝1，a2＝2， 所以 a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32， ∴b10＝a10＋a11＝64.
(对应学生用书第 91 页)
一、选择题 1．在等比数列{an}中，若 a1，a10 是方程 3x2－2x－6＝0 的两根，则 a4· a7＝ ( ) A．－6 【解析】 【答案】 B．－2 C．2 2 D.3
1．学习了等比中项的概念，可以应用等比中项证明等比数列． 2．类比等差数列的性质，探究了等比数列的性质． 3．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首先想到的方法是通法，即 通过解方程组求两个基本量首项 a1 和公比 q， 求解过程中要注意整体代换思想的 运用，有些问题合理地运用性质求解，可以减少运算量，提高解题效率． 4．解数列的实际应用问题时，首先分清是等差数列，还是等比数列，是求 某一项，还是求某些项的和，再用相应的公式求解．
忽视 an 的符号致误 在等比数列{an}中，a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，试求 a7. 【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
18 a5＋a9＝ ， 7 所以 a9＝1. a5· 又因为 a7 是 a5，a9 的等比中项， 所以 a72＝a5·a9＝1， 即 a7＝± 1. a7 a9 【错因分析】 上述解法忽视了对 a7 符号的讨论，由于a ＝a ＝q2，所以不
即(a3＋a5)2＝25， ∵an＞0，∴a3＋a5＝5. (2)由等比数列的性质可知：a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9. ∴log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝log3(a1a2a3„a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
n
an {b }仍是等比数列．
n
性质 4： 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等， 即 a1an＝a2an
－1
＝a3an－2＝„. 性质 5：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．