湖南省株洲市醴陵四中2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试题

湖南省株洲市醴陵四中2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“∃x ∈R ，sin 2x =”则正确的是（ ） A ．p 或q 为真，非p 为真 B ．p 且q 为真，非p 为假 C ．p 且q 为真， 非p 为真 D ．p 或q 为真，非p 为假2．下列命题为真命题的是 ( ) A ．a b >是11a b<的充分条件 B ．a b >是11a b<的必要条件 C ．a b >是22a b >的充要条件 D ．0a b >>是22a b >的充分条件3．若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知411x y y x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．112B ．7C ．－1D ．－85．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．16．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．97．△ABC 中cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ） A ．30B ．60C ．90D ．1208．曲线y =lnx 在点M （e ，1）处的切线的方程为（ ） A ．x ﹣ey =0B ．ex ﹣y =0C ．x +ey =0D ．ex +y =09．在三角形ABC中，cos 23cos()20,B A C b ABC +++==∆的周长最大值是（ ）A B ．C ．D ．10．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2B ．4C ．6D ．811．下列图象中有一个是函数()()()22311,130f ax a x a x x a =++-+∈≠R 的导函数()f x '的图象，则()1f -=（ ）A ．53B ．53-C ．13D ．13-12．已知正项等比数列{}765:2,n a a a a =+满足若存在两项m a 、n a 14a =，则14m n +的最小值为 A ．32 B ．53C ．256D ．不存在二、双空题13．如图为定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '的大致图象，则函数()f x 的单调递增区间为_____，()f x 的极大值点为x =______三、填空题 14．2009S =++=_____________.15．在ABC ∆中，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则角B =______. 16．已知抛物线28y x =,焦点为F ,准线为l ,为抛物线上一点,,A 为垂足,如果直线的斜率为,那么PF = ．四、解答题17．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0及命题q ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0+a =0，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 18．设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R .（1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.19．已知递增等差数列{}n a ，且11391,,,a a a a =成等比数列 （1）求{}n a 的通项公式；（2）若11b =，120(n 2,n *)n n b b N --=≥∈n n n c a b =求{}n c 的前n 项和n T . 20．某市近郊有一块大约500500m m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米． （1）分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域； （2）怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值．21．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且它们的离心率之和等于145.（1）求椭圆方程；（2）过椭圆内一点(1,1)M 作一条弦AB ，使该弦被点M 平分，求弦AB 所在直线方程.22．已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+，x ∈R .（I）求函数()f x的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数x，使00()()f xg x成立，试求正实数a的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】利用函数的性质即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【详解】解：命题p ：“x R ∀∈，210x ”，是真命题．命题q ：“x R ∃∈，sin 2x =”，是假命题． 正确的是：p 或q 真，非p 为假． 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．D 【详解】 解，故排除A ；若，不一定a＞b ，故排除B 1＞−2，但，即a ＞b 不能推出，排除C ；∵在（0，＋∞）上为单调增函数，∴a ＞b ＞0时，，故选：D ． 3．B 【分析】函数1()(1)11f x x x =-++-，且10x ->，运用基本不等式可得()f x 的最小值3． 【详解】解：函数1()1f x x x =+-，(1)x >，可得1()(1)12(1)1311f x x x x x =-++-+=--， 当且仅当111x x -=-，即2x =时，取得最小值3． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题． 4．B 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】解：作出约束条件411x y y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩的可行域如图，目标函数2z x y =+在14y x y =⎧⎨+=⎩的交点(3,1)A 处取最大值为2317z ．故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键，属于基础题．5．C 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ． 6．C 【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ． 【详解】解：将椭圆的方程转化为标准形式为()()22221y x +=，显然2100m m ->->，即610m <<，2222-=，解得8m =故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了，属于基础题． 7．B 【分析】由等差中项的性质可得2cos cos cos b B a C c A =+，再利用正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式，化简可得1cos 2B =，由此求得B 的值． 【详解】解：由题意可得2cos cos cos b B a C c A =+，再利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，2sin cos sin()B B A C ∴=+，C A B π++=2sin cos sin()B B B π∴=-即2sin cos sin B B B =． 由于sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， ()0,B π∈60B ∴=︒，故选：B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题． 8．A 【分析】先求出切点坐标和函数y lnx =的导函数，然后求出在x e =处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程，化成一般式即可． 【详解】 解：()f x lnx =， 1()f x x'∴=， ()1f e e '∴=则切线的斜率为1e， ∴曲线y lnx =在点(),1M e 处的切线方程是11()y x e e-=-即0x ey -=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线方程，同时考查运算求解能力，属于基础题． 9．C 【分析】根据cos23cos()20B A C +++=，求解B ，利用正弦定理建立关系，结合三角函数的有界性即可求ABC ∆周长的最大值． 【详解】解：由cos23cos()20B A C +++=，A B C π++=，可得22cos 13cos 20B B --+=，即(2cos 1)(cos 1)0B B --=，0B π<<， 1cos 2B ∴=， 即3B π=，3b =，正弦定理可得：sin 2sin sin b A a A B ==，sin 2sin sin b Cc C B==， 则2sin 2sin a c A C +=+，22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，222sin 2sincos 2cos sin 33A A A ππ=+-，3sin A A =，6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．203A π<<， ∴5666A πππ<+<．当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值为那么ABC ∆周长的最大值为：. 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理的运用和三角形函数的有界性求解最值问题．属于中档题． 10．B 【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得122PF PF -=①,又01212260F F c F PF ==∠=,由余弦定理2221212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得124PF PF =，故选B ．11．D 【分析】求出()f x 的导函数发现为开口向上的抛物线，由0a ≠得到()f x '的图象必为第（3）个图，由图象知(0)0f '=解得a 的值，即可求出(1)f -． 【详解】 解：()()()223113,10ax a a f x a x x =+++∈≠-R()()22()2(1)11f x x ax a x a x a ∴'=++-=+++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，∴()f x '的图象必为（3）． 由图象特征知2(0)10f a '=-=，且对称轴0x a =->， 1a ∴=-，321()13f x x x =-+， 故1(1)3f -=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式． 12．A 【解析】设公比为0.q >则2255552,0,20a q a q a a q q =+>∴--=，解得2;q =所以由14a =得：11221112216,216, 6.m n m n a a a m n --+-⋅==∴+=即141141413()()(5)(5.6662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=故选A13．()1,2-，()4,+∞ 2 【分析】根据导函数的图象可知，函数在(1,2)-，(4,)+∞上，导数大于0，在(2,4)上导数小于0，由此可得()f x 的单调递增区间与单调递减区间，从而可得函数的极大值点． 【详解】解：根据导函数的图象可知，函数在(1,2)-，(4,)+∞上，导数大于0，在(2,4)上导数小于0()f x ∴的单调递增区间为(1,2)-，(4,)+∞，()f x 的单调递减区间为(2,4)2x ∴=时，()f x 取得极大值()f x ∴的极大值点为2x =故答案为：(1,2)-，(4,)+∞；2 【点睛】本题重点考查函数的极值，考查导函数与函数单调性的关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题．14．12. 【分析】根据题意知S 为数列前1005项之和，将通项变形为=S ． 【详解】由题意可知，S 为数列前1005项之和，21n ==-+2=，1200912222S -+-∴=+++=【点睛】本题考查裂项法求和，在数列求和问题时，关键在于根据数列通项的结构选择合适的方法求解，考查计算能力，属于中等题． 15．6π【解析】 【分析】利用正弦定理可求得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，然后化简可得1sin cos sin cos 2A C C A +=，进而利用三角形的关系可以求解 【详解】1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，两边同时除以2R ，由正弦定理可得，1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，由于sin 0B ≠，两边同时除以sin B 可得1sin cos sin cos 2A C C A +=，化简得()1sin sin 2A CB +==， 又由a b >，B 为锐角，可得角6B π=， 答案：6π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，难点在于确定角B 为锐角，属于基础题 16．8 【解析】试题分析：由抛物线的参数方程为得其标准方程为28y x =，∴准线l ：x=-2，考点：本题考查了参数方程及直线与抛物线的位置关系． 点评：有关抛物线的焦半径问题，往往利用定义转化求解 17．0a <或144a << 【分析】题:p x R ∀∈，210ax ax ++>，对a 分类讨论：当0a =时，直接验证；当0a ≠时，可得2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩．命题0:q x R ∃∈，2000x x a -+=，可得10∆．由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得命题p 与q 必然一真一假．解出即可． 【详解】解：命题:p x R ∀∈，210ax ax ++>，当0a =时，10>成立，因此0a =满足题意；当0a ≠时，可得240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<． 综上可得：04a <．命题0:q x R ∃∈，200x x a -+=，∴1140a =-∆，解得14a ． p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，∴命题p 与q 必然一真一假．∴0414a a <⎧⎪⎨>⎪⎩或0414a a a <⎧⎪⎨⎪⎩或， 解得0a <或144a <<．∴实数a 的取值范围是0a <或144a <<． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．（1）f (x )max =1，．（2）a =1或a =2【详解】解：f (x )=cosx −(cosxcos π3+sinxsin π3)=12cosx −√32sinx =cos(x +π3)，则f (x )max =1， 此时x 的取值集合为，即．（2）f (B )=cos(B +π3)=0，得B =π6，由余弦定理，b 2=a 2+c 2−2accosB ，得12=a 2+(√3)2−2√3acos π6， 即，得a =1或a =2．19．（1）n a n =；（2）n 14(2n 4)()2Tn =-+【分析】（1）由{}n a 是递增的等差数列，设公差为(0)d d >，由1a 、3a 、9a 成等比数列，能求出数列{}n a 的通项公式n a ．（2）首先求出{}n b 的通项公式，即可得到112n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，再用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）因为{}n a 是递增的等差数列，设公差为(0)d d >， 由1a 、3a 、9a 成等比数列，所以231911a a a a ⎧=⎨=⎩即()()212118d d +=⨯+解得1d =或0d =（舍去），所以()11n a a n d n =+-=.（2）因为11b =，120(n 2,n *)n n b b N --=≥∈,11(n 2,n *)2n n b N b -∴=≥∈, 所以{}n b 为以1为首项，12为公比的等比数列， 所以112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，又n n n c a b =，所以112n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①减去②得，01211111111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴11121112212n nn T n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭-, ∴()112222nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭, ∴()11422n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭,【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式及求和公式的应用，错位相减法求数列的和，属于中档题.20．（1）1500030306S x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其定义域是(6,500)． （2）设计50x m =，60y m =时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米． 【分析】（1）总面积为3000xy =，且26a y +=，则3000y x=，1500332y a x =-=-（其中6500)x <<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a =-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积1500015000303063030(6)S x x x x=--=-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x 的值． 【详解】解：（1）由已知3000xy =，∴3000y x=，其定义域是(6,500)． (4)(6)(210)S x a x a x a =-+-=-， 26a y +=，∴1500332y a x=-=-， ∴150015000(210)(3)3030(6)S x x x x=--=-+，其定义域是(6,500)． （2）150003030(6)3030303023002430S x x x x=-+-=-⨯=， 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50x m =，60y m =时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米． 【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．21．（1）221259y x +=；（2）259340x y +-=． 【解析】试题分析：（1）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（2）设出弦AB 的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线AB 的方程 试题解析：（1）由题意知，双曲线的焦点坐标为，离心率为422e ==， 设椭圆方程：，则，， ，椭圆方程为：．（2）设，为弦的中点，，由题意：，得，，此时直线方程为：，即，故所求弦所在的直线方程为．考点：1．椭圆和双曲线的方程和性质；2．直线与椭圆相交的位置关系22．（I ）当0a >时，()f x 递减区间为2(0,)a ；当0a <时，()f x 递减区间为2(,0)a；（Ⅱ）(3)-++∞【详解】（I ）由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. ①当0a >时，由2222()2()0f x a x ax a x x a '=-=-<，解得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(0,)a上递减.②当0a <时，由2222()2()0f x a x ax a x x a '=-=-<可得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(,0)a上递减.综上：当0a >时，()f x 递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 递减区间为2(,0)a（Ⅱ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+-，1(0,]2x ∈.对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-，因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x =+->'，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则max 1()()2F x F =.依题意，只需max ()0F x >，即，即，解得317a >-+或317a <--（舍去）.所以正实数a 的取值范围是(3)-++∞.。