华东师大版九年级数学上册期中期末试题及答案

华东师大版九年级数学上册期中期末试题及答案
期中检测卷
（总分：120分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 函数y =x -2+
3
1
-x 的自变量x 的取值范围是（ ） A. x ≤2 B. x =3 C. x <2且x ≠3 D. x ≠3 2. 方程（x -2）（x +3）=0的解是（ ）
A. x =2
B. x =-3
C. x 1=-2，x 2=3
D. x 1=2，x 2=-3
3. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判定△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）
（第3题图）
A. ∠ABP =∠C
B. ∠APB =∠ABC
C.
AB AP =AC AB D. BP AB =CB
AC
4. 关于x 的方程kx 2
+（1-k ）x -1=0的说法正确的是（ ）
A. 当k =0时，方程无解
B. 当k =1时，方程有一个实数解
C. 当k =-1时，方程有两个相等的实数解
D. 当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解 5. 实数a ，b 在数轴上的对应点如图，化简b ab a 2244+-+|a +b |的结果为（ ） A. 2a -b B. -3b C. b -2a D. 3b
（第5题图） （第6题图）
6. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且
2
1
==AC AD AB AE ，则S △ADE ： S 四边形BCED 的值为（ ）
A. 1：3
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4 7. 若a 2
+a -1=0，b 2
+b -1=0，且a ≠b ，则ab +a +b =（ ）
A. 2
B. -2
C. -1
D. 0
8. 若一个正两位数，个位数字比十位数字小5，十位上的数字与个位上的数字的积是36，则这个两位数是（ ）
A. 94
B. 49
C. 94或-49
D. -94或49
9. 如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），若以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）
A.（6，0）
B.（6，3）
C.（6，5）
D.（4，2）
（第9题图） （第10题图）
10. 如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么S △DPQ ：S △ABC =（ ） A. 1：22 B. 1：24 C. 1：26 D. 1：28 二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11. 如果关于x 的一元二次方程x 2
+4x -m =0没有实数根，那么m 的取值范围是 .
12. 计算（x -2）2
+）（32-x 的结果是 .
13. 若某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 .
14. 若（a +6）2
+322--b b =0，则2b 2
-4b -a 的值为 .
15. 如图，把一个长方形分成两个全等的小长方形，若使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的长和宽之比为 .
（第15题图） （第16题图）
16. 如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上的点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点
B 经过的路线长是 .
17. 若x 1，x 2是方程x 2
-x -2 016=0的两个实数根，则x 13
+2 017x 2-2 016= .
18. 如图，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ =3
1
CE 时，EP +BP = .
（第18题图）
三、解答题（共7小题，共66分） 19.（6分）计算：
（1）（32+48）×（18-43）； （2）18-21÷34×3
6.
20.（8分）解方程：
（1）5（x +3）2
=2（x +3）； （2）x 2
-10x +9=0.
21.（8分）如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ，点E 是BC 的中点. （1）求证：DE =
2
1
（AB -AC ）. （2）若AD =8 cm ，CD =6 cm ，DE =5 cm ，求△ABC 的面积.
（第21题图）
22.（8分）关于x 的一元二次方程x 2
+（2k +1）x +k 2
+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2. （1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|=x 1·x 2，求k 的值.
23.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（2，1），D（4，3），E（6，5），F（4，7）. 按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧放大2倍得到△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为________，B1的坐标为_________，C1的坐标为________；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰好与△DEF拼成一个平行四边形（非正方形）. 写出符合要求的变换过程.
（第23题图）
24.（8分）如图，要建造一个直角梯形的花圃，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，不靠墙的三边用19米的建筑材料围成，为了方便进出.在BC边上凿一个一米宽的小门. 设AB的长为5x米.
（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；
（2）若该花圃的面积为50平方米，且周长不大于30米，求AB的长.
（第24题图）
25. （10分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；若每多售出
1部，则所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部. 月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利
25.1万元.
（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元.
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
26.（10分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图①）或线段AB的延长线（如图②）于点P.
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC.
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
（第26题图）
答案
一、1. A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. B 8. A 9. B 10. B 二、11. m <-4 12. 5-2x 13. 20% 14. 12 15. 2：1 16. 5 17. 2 017 18. 12
三、19. 解：（1）（32+48）×（18-43） =（32+43）×（32-43） =（32）2
-（43）2
=-30. （2）18-21
÷34×3
6
=32-22×23
×23 =32-2
3
3 =
2
3
3. 20. 解：（1）移项，得5（x +3）2
-2（x +3）=0.
因式分解，得（x +3）（5x +15-2）=0，即（x +3）（5x +13）=0. 所以x +3=0或5x +13=0. 解得x 1=-3，x 2=-5
13
. （2）因式分解，得（x -9）（x -1）=0. 所以x -9=0或x -1=0. 解得x 1=9，x 2=1.
21. （1）证明：延长CD 交AB 于点F . ∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =∠ADF =90°.
又∵∠DAC =∠DAF ，AD =AD ，∴△ADC ≌△ADF ， ∴AC =AF ，DC =DF ，∴D 为CF 的中点. 又∵E 是BC 的中点，∴BE =EC ，∴DE ∥BF ， ∴DE =
21BF ，即DE=21（AB -AF ）=2
1
（AB -AC ）. （2）解：△ABC 的面积为96 cm 2
.
22. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=（2k +1）2
-4（k 2
+1）=4k -3>0，解得k >4
3
. （2）∵k >
4
3
，∴x 1+x 2=-（2k +1）<0. 又∵x 1·x 2=k 2
+1>0，∴x 1<0，x 2<0，
∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=2k +1.
∵|x 1|+|x 2|=x 1·x 2，∴2k +1=k 2
+1，解得k 1=0，k 2=2. 又∵k >
4
3
，∴k =2. 23. 解：图略.
（1）（-2，0）；（-6，0）；（-4，-2）.
（2）将△A 1B 1C 1先向上平移1个单位长度，再绕点A 1顺时针旋转90°后，沿x 轴正方向平移8个单位长度，得△A 2B 2C 2 .
24. 解：（1）作BE ⊥AD 于点E ，则∠AEB =∠DEB =90°. ∵CD ⊥AD ，∴∠ADC =90°.
∵BC ∥AD ，∴∠EBC =90°，∴四边形BCDE 是矩形， ∴BE =CD ，BC =DE .
∵AB ：CD =5：4，AB 的长为5x 米， ∴CD =4x （米），∴BE =4x 米.
在Rt△ABE 中，由勾股定理，得AE =3x （米）. ∵BC =19+1-5x -4x =20-9x ，
∴DE =20-9x ，∴AD =20-9x +3x =20-6x .
（2）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≤++-+-=-+-.
3054620920502
4920620x x x x x x x ，
）
（ 由①，得x 1=35
，x 2=1.
由②，得x ≥35
.
∴x =35，AB =3
25.
25. 解：（1）26.8. （2）设需要售出x 部汽车.
由题意可知，每部汽车的销售利润为28-[27-0.1（x -1）]=0.1x +0.9（万元）. 当0≤x ≤10时，根据题意，得x ·（0.1x +0.9）+0.5x =12. 整理，得x 2
+14x -120=0，解得x 1=-20（不符合题意，舍去），x 2=6. 当x >10时，根据题意，得x ·（0.1x +0.9）+x =12.
整理得x 2
+19x -120=0，解得x 1=-24（不符合题意，舍去），x 2=5<10， ∴x 2=5舍去.
答：需要售出6部汽车.
26.（1）证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP =90°=∠ABC .
在△AQP 和△ABC 中，∵∠AQP =90°=∠ABC ，∠A =∠A ，∴△AQP ∽△ABC .
（2）解：在Rt△ABC 中，AB =3，BC =4，由勾股定理，得AC =5. ∵∠BPQ 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时， ①当点P 在线段AB 上时，如图①.
∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =PQ . 由（1）可知，△AQP ∽△ABC ，∴BC
PQ
AC PA =
， 即
453PB PB =
-，解得PB =3
4
， ∴AP =AB -PB =3-
34=3
5
. ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图②.
∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =BQ . ∵BP =BQ ，∴∠BQP =∠P .
∵∠BQP +∠AQB =90°，∠A +∠P =90°，
∴∠AQB =∠A ，∴BQ =AB ，∴AB =BP ，点B 为线段AP 的中点， ∴AP =2AB =2×3=6.
综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为3
5
或6.
期末检测卷
（总分：120分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 若y =52-x +x 25--3， 则2xy 的值为（ ） A. -15 B. 15 C. -215 D. 2
15 2. 如果一个正偶数的算术平方根是a ，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ） A. a+2 B. a 2
+2 C. 22+a D. 2+±a 3. 若在Rt△ABC 中，∠C =90°，sin A =5
3
，BC =6，则AB 等于（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
4. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
（第4题图）
A. 5
1
B.
52 C. 5
1
D.
5
4 5. 若一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2
-8x +7=0的两个根，则这个直角三角 形的斜边长是（ ）
A. 3
B. 3
C. 6
D. 9
6. 如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a>b ）．在△ABC 内依次作∠CBD =∠A ，∠DCE =∠CBD ，∠EDF =∠DCE ，则EF 等于（ ）
（第6题图）
A. a b 23
B. b a 23
C. a b 34
D. b
a 34
7. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同. 小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋 中白色球的个数可能是（ ）
A. 24
B. 18
C. 16
D. 6
8. 如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为（ ）
（第8题图）
A. 60海里
B. 45海里
C. 203 海里
D. 303 海里
9. 周末，身高都为1.6 m 的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为 45°，小丽站在B 处测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出
A ，
B 两点的距离为30 m ．假设她们的眼睛离头顶都为10 cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到 0.01，
参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（ ） A. 36.21 m
B. 37.71 m
C. 40.98 m
D. 42.48 m
10. 如图，菱形ABCD 的周长为40 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A =5
3
，则下列结论正确的
有（ ）
（第10题图）
①DE =6 cm ；②BE =2 cm ；③菱形的面积为60 cm 2；④BD =4cm. A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11. 若关于x 的方程x 2
+2x +a =0不存在实数根，则a 的取值范围是 .
12. 设x 1，x 2是方程x 2-4x +m =0的两个根，且x 1+x 2-x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m = .
13．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程： .
14. 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是________． 15. 若
x
y z
x z y z y x +=
+=+=k ，则 k = . 16. 如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD =4，cos B =
5
4
，则AC =________.
（第16题图） （第17题图）
17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 的延长线于点E ，则 CE 的长为________.
17. B 分析：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，由勾股定理，得AB =5. 因为DE 垂直平分AB ，所以BD =. 又因为∠ACB =∠EDB =90°，∠B =∠B ，所以△ABC ∽△EBD ，所以BC BD AB BE
=，所以BE=6
25，所以CE =BE -BC =6
25-3=6
7.
18. 如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______米.
（第18题图）
三、解答题（共7小题，共66分）
19.（6分）已知x =100422008-+-a a +5，其中a 是实数，将式子x x x x x
x x x -++++
++-+1111
化简并求值．
20.（8分）计算： （1）2sin 45°-+sin 2
35°+sin 2
55°；（2）
-3tan 30°+（-4）0+（- ）-1
．
21.（8分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的 年销售量2010年为10万只，预计2012年将达到14.4万只．求该地区2010年到2012年高 效节能灯年销售量的平均增长率.
22.（8分）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 的中点，D 为AO 上一点，连接AC ，BG 交于点P ． （1）如图①，当OA =OB 且D 为AO 的中点时，求的值；
（2）如图②，当OA =OB ，
AD AO =1
4
时，求tan∠BPC .
①②
（第22题图）
23. （8分）一袋中装有形状、大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，
8. 现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，
再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数.
（1）写出按上述规定得到的所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率.
24.（9分）把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度
h（米）适用公式h=20t-5t2（0≤t≤4）.
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（3）若存在实数t1 和t2（t1≠t2），当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围.
25. （9分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的
高度，设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；
（2）在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一条直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为
45°；
（3）量出A，B两点间的距离为4.5 m.
请你根据以上数据求出大树CD的高度.（结果保留3个有效数字）
（第25题图）
26.（10分）阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，
∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.
① ②③
（第26题图）
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图②）.
请回答：∠ACE的度数为____，AC的长为____.
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.
答案
一、1. A 分析：由题意知，2x -5≥0，5-2x ≥0，所以x=
2
5
，y=-3. 所以2xy=-15. 故选A. 2. C 分析：一个正偶数的算术平方根是a ，则这个正偶数是a 2
，与这个正偶数相邻的下一个正偶数是a 2
+2，算术平方根是22+a . 故选C.
3. D 分析：如答图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，sin A =AB BC =5
3
. ∵ BC =6，∴ AB =10. 故 选D.
（第3题答图）
4. C 分析：解决此题可采取逐个尝试的办法，如将①涂黑后阴影部分不是轴对称图形，将②涂黑后阴影部分是轴对称图形，…，共有5种可能的结果，其中将②④⑤分别涂黑后阴影部分是轴对称图形，共有3种情况，所以概率是5
3
. 故选C.
5. B 分析：（方法1）∵a =2，b =-8，c =7，b 2
-4ac =（-8）2
-4×2×7=8，∴x=a
ac
b b 242-±-=
4228±，∴ x 12+ x 22=（4228+）2+（4
2
28-）=9，∴ 这个直角三角形的斜边长是3. 故选B.（方法2）设x 1和x 1是方程2x 2
-8x +7=0的两个根. 由一元二次方程根与系数的关系可知，⎪⎩
⎪⎨⎧==+，，
2742121x x x x ∴x 12
+ x 22=（x 1+ x 2）2 -2x 1 x 2=9，∴ 这个直角三角形的斜边长是3. 故选B.
6. C
7. C 分析：∵ 摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴ 摸到白色球的频率为 1-15%-45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40% =16．故选C.
8. D 分析：根据题意，得∠APB =180°-60°-30°=90°，∠A =60°，AP =30. 在Rt△APB 中，tan A =
AP
BP
，BP =30×tan 60°=303（海里）．故选D.
9. D 分析：如答图，AB =EF =30 m ，CD =1.5 m ，∠GDE =90°，∠DEG =45°，∠DFG =30°． 设GD=x m ，在Rt△DFG 中，tan∠DFG =
DF DG ，即tan 30°=DF
x
=33，∴DF =3x （m ）．在Rt△GDE 中，∵ ∠GDE =90°，∠DEG =45°，∴ DE=GD=x m ．根据题意，得3x -x =30，解得x =
1
330-≈40.98．∴
CG ≈40.98+1.5=42.48（m ）．故选D ．
（第9题答图）
10. C 分析：由菱形ABCD的周长为40 cm知，AB=BC=CD=DA=10 cm. 因为 sin A=，所以DE=6 cm，故
①正确；由勾股定理，得DE=8 cm，所以BE=2 cm，故②正确；所以菱形的面积为S=AB•DE=10×6=60（cm2），故③正确；BD=（cm），故④错误．故选C．
二、11. a>1 分析：由题意，得b2-4ac=22-4×1×a<0，解得a>1.
12. 4；3 分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+ x2= 4，x1x2=m. ∵ x1+ x2-x1x2=1，∴ 4-m=1，解得m=3.
13. x2-5x+6=0（答案不唯一）
14. 分析：在圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形中，只有等腰三角形不是中心对称图形，所以抽到有中心对称图案的卡片的概率是.
15.或-1 分析：当x+y+z≠0时，==；当x+y+z=0时，x=-（y+z），y=-（x+z），z=-（y+x）. 所以k=或-1 .
16. 5 分析：在Rt△ABC中，∵ cos B=，∴ sin B=，tan B=．在Rt△ABD中，∵AD=4，sin B=，∴AB=．在Rt△ABC中，∵ tan B=，AB=，∴AC=×=5．
17. B 分析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，由勾股定理，得AB=5. 因为DE垂直平分AB，所以BD=. 又因为∠ACB=∠EDB=90°，∠B=∠B，所以△ABC∽△EBD，所以，所以BE=，所以CE=BE -BC=-3=.
18. 6 分析：如答图. 因为∠CDF=∠FDE=90°，∠DFC+∠DFE=90°，∠DCF+ ∠DFC= 90°，所以∠DFE=∠DCF，所以△DFE∽△DCF，所以，所以DF2=36，所以DF=6.
（第18题答图）
三、19. 解：原式=
））（（）
（））（（）
（x x x x x x x x x x x x ++-++++
-+++-+1111112
2
=x
x x x x x x x -++++-+-+）（）（）（）（11112
2
=（x x -+1）2
+（x x ++1）2
=（2（x +1）+2x =4x +2.
∵x =100422008-+-a a +5，∴ 2 008-2a ≥0且a -1 004≥0， ∴a =1 004，∴ x =5. ∴原式=4x +2=4×5+2=22. 20. 解：（1）2sin 45°-+sin 2 35°+sin 2 55°
=2×-（-1）+sin 2
35°+cos 2
35°
=
-+1+1
=2. （2）-3tan 30°+（-4）0+（- ）-1
=-3×+1-2
=
-1.
21. 解：设该地区2010 年到2012 年高效节能灯年销售量的平均增长率为x .
依据题意，列出方10（1+x ）2
=14.4. 化简，得（1+x ）2
=1.44. 解得x =0.2或x =-2.2.
∵ 该地区2010 年到2012 年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数， ∴ x =-2.2舍去，∴ x =0.2.
答：该地区2010 年到2012 年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%.
22. 解：（1）过点C 作CE ∥OA 交BD 于点E ，则△BCE ∽△BOD . 因为C 为OB 的中点，所以BC =OC ，所以CE =OD =AD .
由CE ∥OA ，得△ECP ∽△DAP ，所以2==CE
AD
PC AP . （2）过点C 作CE ∥OA 交BD 于点E .
设AD x =，则4OA OB x ==，3OD x =. 由△BCE ∽△BOD ，得1322
CE OD x ==. 由△ECP ∽△DAP ，得
3
2
==CE AD PE PD . 由勾股定理可知，5BD x =，52DE x =，则
3
2
=-PD DE PD ，所以PD x AD ==，
所以∠BPC =∠DPA =∠A ，所以tan∠BPC =tan∠A =2
1
=AO CO . 23. 解：（1）用列表法分析所有可能的结果：
，84，87，88，共有16个数. （2）算术平方根大于4且小于7的数共有6个，分别为17，18，41，44，47，48， 则所求的概率为
8
3
166=. 24. 解：（1）当t =3时，h =20t-5t 2
=20×3-5×9=15（米）. 所以此时足球距离地面的高度为15米. （2）当h =10时，20t-5t 2
=10， 即t 2
-4t +2=0，解得t =2+2或2-2.
所以经过（2+2）秒或（2-2）秒时，足球距离地面的高度为10米. （3）因为m ≥0，且t 1和t 2是方程20t-5t 2
=m 的两个不相等的实数根， 所以b 2
-4ac =202
-20m >0，解得以m <20. 所以m 的取值范围是0≤m <20.
25. 解：∵ ∠CDB =90°， ∠CBD =45°，∴CD =BD . ∵AB =4.5 m ，∴ AD =BD +4.5.
设树高CD 为x m ，则BD =x m ， AD =（x +4.5）m. ∵ ∠CAD =35°，∴ tan∠CAD =tan 35°=
5
.4+x x
.
整理，得x =
︒
-︒
⨯35tan 135tan 5.4≈10.5.
故大树CD 的高度约为10.5 m.
26. 解：∠ACE 的度数为75°，AC 的长为3. 过点D 作DF ⊥AC 于点F ，如答图.
（第26题答图）
∵ ∠BAC =90°，∴ AB ∥DF ，∴ △ABE ∽△FDE . ∴
2.AB AE BE
DF EF ED
===∴ EF =1，AB =2DF . ∵ 在△ACD 中，∠CAD =30°，∠ADC =75°，
∴ ∠ACD =75°，∴ AC =AD .∵ DF ⊥AC ，∴ ∠AFD =90°. 在△AFD 中，AF =2+1=3，
∴ DF =AF 2AD DF == AB =∴
BC ∴。