新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 分组分解法》教案_0
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第6章 实数 6.2 实数 7.1 不等式及其基本性质 7.3 一元一次不等式组 第8章 整式乘法和因式分解 8.2 整式乘法 8.4 因式分解 第9章 分式 9.2 分式的运算 第10章 相交线、平行线和平移 10.2 平行线的判定 10.4 平移
7.4 综合与实践排队问题
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第8章 整式乘法和因式分解
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第6章 实数
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6.1 平方根 、立方根
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6.2 实数
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第7章 一元一次不等式和不等 式组
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7.1 不等式及其基本性质
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7.2 一元一次不等式
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7.3 一元一次不等式组
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沪科版七年级下册数学精品教学课件 第8章整式乘法与因式分解 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2.
算一算： 10－2 = ____0_._0_1____；
10－4 = ___0_.0_0_0_1____；
10－8 = _0_._0_0_0_0_0_0_0_1_.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有__n___个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？
知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表 示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注 意：包括小数点前面那个零）.
a0 an a0n 1 an.
即 an 1（a 0，n 是正整数）. an
特别地，a1 1 (a 0). a
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
a-n＝
2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
沪科版数学七年级下册 第8章 整式乘法和因式分解 84 因式分解 公式法 共17张
（三）语言：两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积.这个公 式就是平方差公式.
例2：把下列各式分解因式
（1）x2 ? 14x ? 49
(2)9a 2 ? 30ab ? 25b2
a2 - b2= ( a + b)( a - b ) 4x2- 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
如果把乘法公式反过来，就 可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫 做运用公式法.
关键词： 公式 反 某些
平方差公式
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
? (3m ? n（) m ? 3n)
解 : (2) （x ? ? 2 ?(x ? y) ?1 ?（1）2 22
?（x ? y ? 1 )2 2
解：（3） 6xy? x2 ? 9 y2 ? ?（x2 ? 6xy? 9 y2 ) ? ?［x2 ? 2 ?x?3y ? (3y)2］ ? ?（x ? 3y）2
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2
（3）9 x2 ? 6 x ? 1
? (3x)2 ? 2?(3x)?1? 12 ? (3x?1)2
a 2 ? 2ab ? b2 ? ?a ? b?2
完全平方公式
（一）公式： a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
（二）结构特点： 1、公式左边是三项式，其中首末两项都为 正，且这两项可化为两个数的平方，中间一 项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍； 2、右边是两个数的和（或差）的平方.
七年级下册8、4因式分解第3课时分组分解法及因式分解的其他办法习题新版沪科版
8 【2021·兰州树人中学月考】下面是某同学对多项式
(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4
(第一步)
＝y2＋8y＋16
(第二步)
＝(y＋4)2
(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.
(第四步)
回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？_不__彻__底___(填“彻底”
2 把下列各式分解因式： (1)1＋x＋x2＋x； 解：原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2；
(2)xy2－2xy＋2y－4； 原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)；
(3)a2－b2＋2a＋1. 解：原式＝(a2＋2a＋1)－b2 ＝(a＋1)2－b2 ＝(a＋1＋b)(a＋1－b) ＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
沪科版 七年级下
第8章 整式乘法与因式分解
8.4.
分组分解法及因式 分解的其他办法
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习题链接
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答案呈现
9 10
1 【中考·济南外国语学校期末】观察“探究性学习”小组 的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪科版七年级数学下册同步教案 第8章整式乘法与因式分解 因式分解2公式法
2.公式法【知识与技能】1.能运用完全平方公式和平方差公式分解因式.2.能运用分组分解法分解因式.【过程与方法】有意识地引导学生参与到数学活动中,培养学生观察、分析、运用知识的能力,掌握公式法和分组分解法.【情感态度】通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦,增强学生学好数学的自信心.【教学重点】运用公式法、分组分解法分解因式.【教学难点】熟练地运用公式法、分组分解法分解因式.一、情境导入,初步认识问题计算：（1）(x+5)(x-5)；（2）(x-2)2.【教学说明】教师给出问题,学生根据前面所学的平方差公式、完全平方公式进行计算.二、思考探究,获取新知公式法问题将上面的式子和结果交换位置,你有什么样的发现呢？观察：x2-25=(x+5)(x-5)x2-4x+4=(x-2)2【教学说明】教师提出问题,学生观察、分析、相互交流,发表各自的见解,可以得出从左到右的变形也是因式分解.【归纳结论】运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫做公式法.三、典例精析,掌握新知例1把下列各式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）9a2-30ab+25b2;(3)x2-81; (4)36a2-25b2.【解】（1）x2+14x+49=x2+2·x·7+72=(x+7)2.（2）9a2-30ab+25b2=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2=(3a-5b)2.(3)x2-81=x2-92=(x+9)(x-9).(4)36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b).例2把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2; （2）3ax2+24axy+48ay2.【解】（1）ab2-ac2=a(b2-c2)（提取公因式）=a(b+c)(b-c).（用平方差公式）（2）3ax2+24axy+48ay2=3a(x2+8xy+16y2)（提取公因式）=3a(x+4y)2.（用完全平方公式）【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验.【归纳结论】在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.有公因式要先提取公因式,因式分解一定要分解到各因式不能再分解为止.例3把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay;（2）a2+2ab+b2-c2.【解】（1）x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a).（2）a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c).【教学说明】教师给出例题,学生相互交流,分组讨论,教师也可适当点拨,让学生掌握分组分解法.【归纳结论】当多项式项数较多（项数大于3）时,因式分解时需先分组,分组后再利用提公因式或运用公式进行分解.四、运用新知,深化理解1.把下列各式写成完全平方的形式.2.把下列各式分解因式.3.把下列多项式分解因式.(1)2x3-32x;(2)9a3b3-ab;(3)mx2-8mx+16m;(4)-x4+256;(5)-a+2a2-a3;(6)27x2y2-18x2y+3x2.4.把下列各式分解因式.(1)4a2-b2+4a-2b;(2)x2-2xy+y2-1;(3)9x2+6x+2y-y2;(4)x2-y2+a2-b2+2ax+2by.5.利用因式分解的方法计算.(1)3.14×562-3.14×442;(2)184.52+184.5×31+15.52.【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的同学进行点拨.5. (1)原式=3.14×(562-442)=3.14×(56+44)(56-44)=3.14×100×12=3768. （2）原式=(184.5+15.5)2=2002=40000.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾公式法、分组分解法,加深对所得新知的理解和应用.完成练习册中本课时练习.从了解公式法,分组分解法到运用这两种方法分解因式,学生表现出极大的学习热情,但训练强度仍显不足,在后面的学习中这部分内容还应该加强训练.。
沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解 公式法课件(15张PPT)
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
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布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
沪科版七年级下册数学第8章 整式乘法与因式分解 公式法——平方差公式(3)
18 见习题
2x(x＋3y)(x－3y) 14 见习题 9
10 见习题
15 见习题
a2－b2＝____(a_＋__b__)(_a_－_，b)即两个数的平方差，等于这两个数的________与这两个
数的________的积．
和
差
1．【合肥瑶海区期末】下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2－xy
C．11或22
D．1A1的倍数
12．【桐城期末】分解因式：9(a＋b)2－(a－b)2＝________________. 4(a＋2b)(2a＋b)
【点拨】原式＝(3a＋3b)2－(a－b)2＝(3a＋3b－a＋b)(3a＋3b＋a－b)＝ (2a＋4b)·(4a＋2b)＝4(a＋2b)(2a＋b)．
(4)16(x－y)2－25(x＋y)2. 原式＝[4(x－y)＋5(x＋y)]·[4(x－y)－5(x＋y)] ＝－(9x＋y)(x＋9y)．
15．计算：
(1)251202－0020482； 解：原式＝（252＋2481）0×0（00252－248）＝150000×040＝5.
(2)19992－20002＋20012－20022＋…＋20192－20202.
13．【创新题】【2021·怀宁期末】RSA129是一个129位利用代数知识产生的数字 密码．曾有人认为，RSA129是有史以来最难的密码系统，涉及数论里因数 分解的知识，在我们的日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“ 因式分解”法产生的密码方便记忆．如，多项式x4－y4，因式分解的结果是(x －y)(x＋y)(x2＋y2)．若取x＝9，y＝9时，则各因式的值分别是：x－y＝0，x ＋y＝18，x2＋y2＝162，
沪科版数学七年级下册《分组分解法》教学设计2
沪科版数学七年级下册《分组分解法》教学设计2一. 教材分析沪科版数学七年级下册《分组分解法》是学生在学习了整式的乘法、因式分解等知识的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握分组分解法，并能够运用分组分解法进行因式分解。
本节课的内容在初中数学中占据着重要的地位，是学生进一步学习分式、二次函数等知识的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、因式分解等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于分组分解法这种新的因式分解方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例讲解和练习来逐渐理解和掌握。
此外，学生对于如何选择合适的分组方式进行因式分解，还需要进一步的引导和训练。
三. 教学目标1.让学生掌握分组分解法，并能够运用分组分解法进行因式分解。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握分组分解法，并能够运用分组分解法进行因式分解。
2.难点：如何选择合适的分组方式进行因式分解。
五. 教学方法采用“问题驱动法”和“案例教学法”进行教学。
通过提出问题，引导学生思考和探索，通过案例讲解，让学生理解和掌握分组分解法。
六. 教学准备1.准备相关的案例和练习题。
2.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题，引导学生思考如何进行因式分解。
例如：已知多项式f(x)=x^2+2x+1，请尝试对其进行因式分解。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示分组分解法的步骤和案例，让学生理解和掌握分组分解法。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选一个题目进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生选取一个自己认为比较难的题目，尝试用分组分解法进行因式分解。
教师选取几个学生的答案进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何选择合适的分组方式进行因式分解，并举例说明。
教师选取几个学生的答案进行讲解和分析。
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计3
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计3一. 教材分析《因式分解》是沪科版数学七年级下册8.4节的内容，本节课主要让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
教材通过实例引导学生探索、发现并总结因式分解的规律，使学生能够灵活运用各种方法进行因式分解。
教材内容由浅入深，循序渐进，让学生在解决实际问题的过程中，体会因式分解的意义和价值。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的乘法，对基本的代数运算有一定的了解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和探索精神。
通过前面的学习，大部分学生能掌握简单的因式分解，但遇到一些较复杂的题目时，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够熟练地进行因式分解。
2.过程与方法：通过探索、发现和总结，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验到数学的乐趣，培养学生的自信心，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的基本方法和技巧。
2.难点：如何引导学生发现并总结因式分解的规律，以及如何运用各种方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生积极思考，发现并总结因式分解的规律。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.课件：制作精美的课件，展示因式分解的实例和规律。
2.练习题：准备一定数量的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引出因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，展示因式分解的实例，引导学生观察、分析并总结因式分解的规律。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行练习，运用所学的因式分解方法解决实际问题。
七年级下册8、4因式分解第1课时因式分解和提公因式法习题新版沪科版
(3)在(2)的条件下，把多项式 x3＋mx2＋12x＋n 分解因式．
解：因为 m＝－7，n＝0， 所以 x3＋mx2＋12x＋n 可化为 x3－7x2＋12x， 所以 x3－7x2＋12x＝x(x－3)(x－4)．
D．－2 或 30
12．如图，相邻两边长分别为 a，b 的长方形的周长为 16，面积
为 15，则 a2b＋ab2 的值为( B )
A．240
B．120
C．32
D．30
【点拨】根据题意知 2(a＋b)＝16，ab＝15，则 a＋b＝8. 所以 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝15×8＝120.
13．分解因式：(2a＋b)2－2b(2a＋b)＝_(_2_a_＋__b_)(_2_a_－__b_)_.
14．分解因式：2a(x－y)－3b(y－x)＝_(_x_－__y)_(_2_a_＋__3_b_)__.
15．用提公因式法分解因式： (1)6m2n－15mn2＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)． (2)－4x3＋16x2－26x；
原式＝－2x(2x2－8x＋13)． (3)2x(a－b)＋4y(b－a)．
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2
Hale Waihona Puke D．以上都不对8．把(x－a)3－(a－x)2 分解因式的结果为( B )
A．(x－a)2(x－a＋1)
B．(x－a)2(x－a－1)
C．(x－a)2(x＋a)
D．(a－x)2(x＋a＋1)
9．下列变形正确的是__①__④__⑤____(填序号)． ①a－b＝－(b－a)； ②a＋b＝－(a＋b)； ③(b－a)2＝－(a－b)2； ④(a－b)2＝(b－a)2； ⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
七年数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2.5多项式与多项式相乘目标二整式乘法的基本运算习题课件(新
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解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋ (n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n. 根据展开式中不含x3和x2项，得 m＋4＝0，n－3m＝0，解得m＝－4，n＝－12.
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值． 解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－ mn2＋n3＝m3＋n3. 由(1)知m＝－4，n＝－12， 所以原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792.
5 先化简，再求值： (1)(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x＝3. 解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4. 当x＝3时，原式＝3－4＝－1.
(2)－13xy2·[xy(2x－y)＋2x(xy－y2)]，其中 x＝－32，y＝2. 解：原式＝19x2y2·(2x2y－xy2＋2x2y－2xy2) ＝19x2y2·(4x2y－3xy2)＝49x4y3－13x3y4. 当 x＝－32，y＝2 时， 原式＝49×－324×23－13×－323×24＝18＋18＝36.
6 解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4. 解：x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4， x2－5x＋6＝x2＋10x＋13， －15x＝7， x＝－175.
7 解不等式：45＋(－x)2＋6x(x＋3)>(－x)(2x－13)＋ (－3x)2.
解：45＋x2＋6x2＋18x>－2x2＋13x＋9x2， 7x2＋18x＋45>7x2＋13x， 5x>－45， x>－9.
3 计算：2(x＋3)(x－4)－(2x－3)(x＋2)． 解：原式＝2(x2－x－12)－(2x2＋x－6)＝2x2－2x－ xy(2x－y)＋xy2]． 解：原式＝19x2y4·(2x2y－xy2＋xy2)＝ 19x2y4·2x2y＝29x4y5.
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计2
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解》教学设计2一. 教材分析《因式分解》是沪科版数学七年级下册8.4节的内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够将多项式分解为几个整式的乘积形式。
教材通过例题和练习题，让学生逐步理解和掌握因式分解的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的乘法，对多项式有一定的了解。
但因式分解相对较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
在实际教学中，我发现部分学生对因式分解的概念和方法理解不深，容易混淆，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解的概念和方法，能够正确进行因式分解。
2.培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.培养学生的团队合作精神，提高学生的表达能力和沟通能力。
四. 教学重难点1.因式分解的方法和技巧。
2.如何在实际问题中应用因式分解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
通过具体的例题和练习题，让学生在实践中掌握因式分解的方法和技巧。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备因式分解的练习题，难度适中，以便进行课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对因式分解的思考。
例如：已知二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,2)，求该二次函数的解析式。
让学生尝试解决该问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，通过PPT和相关的教学素材，让学生对因式分解有一个直观的认识。
同时，给出一些例题，让学生观察和分析，归纳出因式分解的方法和技巧。
3.操练（10分钟）让学生进行因式分解的练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
可以设置一些小组合作的活动，让学生互相讨论和交流，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些巩固性的练习题，让学生进一步理解和掌握因式分解的方法。
数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2整式乘法3多项式与多项式相乘教案(新版)沪科版
【知识与技能】1.理解多项式与多项式的乘法法则.2.能运用多项式与多项式的乘法法则进行计算.【过程与方法】从实际问题引出多项式乘以多项式，通过探索多项式乘以多项式的计算法则，进一步体会转化思想和数形结合思想.【情感态度】有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生观察、归纳的能力，通过合作交流，体验成功的喜悦.【教学重点】多项式与多项式相乘的计算法则.【教学难点】熟练地运用多项式与多项式相乘的计算法则进行计算.一、情境导入，初步认识问题一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b,宽增加n，求扩大后的菜地面积.【教学说明】教师提问题，让学生独立思考，尝试画出图形进行分析，进一步体会数形结合思想.二、思考探究，获取新知多项式与多项式的乘法法则探究：先按题意画图，结合图形考虑有几种计算方法？方法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是m+n，所以它的面积是________.方法二：先算4块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是________.【教学说明】学生尝试画出图形，然后根据图形列出算式，进一步体会数形结合思想.由方法一、二可得（a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.上面的运算还可以把（a+b）看作一个整体运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.(a+b)(m+n)=am+bm+am+bn.【归纳结论】多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.三、典例精析，掌握新知例1计算：(1)(-2x-1)(3x-2);（2）(ax+b)(cx+d).【解】(1) (-2x-1)(3x-2)=(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2)=-6x2+4x-3x+2=-6x2+x+2.（2）(ax+b)(cx+d)=ax·cx+ax·d+b·cx+bd=acx2+(ad+bc)x+bd.例2计算：（1）(a+b)(a2-ab+b2);（2）(y2+y+1)(y+2).【解】（1）(a+b)(a2-ab+b2)=a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2=a3+b3.（2）（y2+y+1)(y+2)=y3+2y2+y2+2y+y+2=y3+3y2+3y+2.例3在(ax+3y)与(x-y)的积中，不含有xy项，求a2+3a-1的值.【解】（ax+3y）(x-y)=ax2-axy+3xy-3y2=ax2+(3-a)xy-2y2由题意得：3-a=0∴a=3.∴a2+3a-1=32+3×3-1=17.【教学说明】教师给出例题，学生独立自主完成，教师可让几个学生上台在黑板上演算，然后给予点评.四、运用新知，深化理解1.下列各式计算正确的是（）A.(x+5)(x-5)=x2-10x+25B.(2x+3)(x-3)=2x2-9C.(3x+2)(3x-1)=9x2+3x-2D.(x-1)(x+7)=x2-6x-72.计算:(1)(2n+6)(n-3);(2)(3x-y)(3x+y);(3)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2);(4)(3a+2)(3a-2)-9a(a-1);(5)(x-y)(x2+xy+y2);(6)(x+1)(x2-2x+3).3.先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)其中x=-1,y=2.2-5x-14=0,求(x-1)(2x-1)-(x-2)(x+4)的值.5.已知多项式(x2+ax+b)与(x2-2x-3)的乘积中不含x3与x2的项，求a,b的值.【教学说明】教师给出习题，学生独立完成.教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，对解题有困难的学生给予点拨.【答案】2.（1）原式=2n2-6n+6n-18=2n2-18（2）原式=9x2+3xy-3xy-y2=9x2-y2(3)原式=3a2-3a-2a+2+a2+2a+a+2=4a2-2a+4(4)原式=9a2-6a+6a-4-9a2+9a=9a-4(5)原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3(6)原式=x3-2x2+3x+x2-2x+3=x3-x2+x+3∴上式=14+9=23.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流，回顾多项式与多项式的乘法法则，加深对新知识的理解.完成练习册中本课时练习.从实际问题引出多项式与多项式的乘法，再探究多项式与多项式的乘法法则，然后运用新知识解决问题，激发学生的积极性.。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 公式法》教案_9
运用公式法分解因式1．理解完全平方公式和平方差公式的特点,并能用语言表述这两个公式，培养学生的语言表达能力．2．能较熟练地运用完全平方公式和平方差公式分解因式．3．会用公式法分解因式求一些特殊代数式的值，体验分解因式在数学解题中的应用．4. 经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，进一步发展学生的逆向思维、整体换元思想和推理能力．三、教学重难点1.教学重点：运用公式法（完全平方公式和平方差公式）分解因式是本节课的教学重点．2.教学难点：灵活应用公式法分解因式是本节课的教学难点．四、学情分析及教学方法1. 学情分析：因式分解是数学学习的重要工具，它是约分和通分及后续学习的预备知识，根据知识内容和课程标准将本节教学内容安排四课时。
即第一课时是提公因式法，第二课时是运用公式法，第三课时是两种方法的综合应用，第四课时是分组分解法和十字相乘法。
本节课是因式分解的第二种方法，重点关注公式的基本特点和一般形式，使学生明确本节课的学习主线。
2.教学方法：探究与讲练相结合的方法．五、设计理念课件、投影片、导学案等．六、教学过程实录及点评活动1：创设情境，设疑激思.复习：1.什么叫因式分解？它和整式乘法有何关系？2.分解因式：6(x-y)3-3y(y-x)2；试问你用的是什么方法？你能用提公因式法分解下列多项式吗？（1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2.[师]本节课我和大家一道来解决这个提公因式法不能分解的问题.引例：在一个边长为（n+2)cm的正方形中，截去一个边长为ncn的正方形，请问剩下的面积是多少？问题1：解题中用到什么乘法公式？之前你学过了哪些乘法公式？问题2：根据等式性质的置换性，公式又能写成什么样的形式？此时从左往右叫什么运算？即：（1）a2+2ab+b2=（a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b）2；（3）a2-b2=(a+b)(a-b).[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差. [师]今天我们就来研究用完全平方公式和平方差公式分解因式．活动2：理性思考，归纳公式.1. 填空：（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2；（4）1.21a 2b 2=（ ）2；2.下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+14y 2 （3）4a 2+2ab+b2 （4）a 2-ab+b2 （5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．3.填空：（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.公式特点(1）分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的.（2） 让同学们自行总结平方差公式的特点，说说如何利用平方差公式分解因式.5.例题解析例1. 分解因式：（1）x 2-6ax+9a 2；（2）0.49x 2-144y 2.( 关注学生对公式模式的识别，突出多项式的变形与验算，向学生讲清算理，切不可死记硬背公式，防止盲目乱套公式)活动3：深化探究，拓展公式.例2. 分解因式：（1）(m+n)2-6(m+n)+9 （2）9（a+b ）2-(a-b)2( 学生有前面学习公式法的经验，可以让学生先前面的因式分解加以比较，然后尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．可提示学生运用整体换元思想分散解题难点) 归纳公式模型：活动4：知识应用，巩固新知.1.用因式分解解决引例中的问题.(让学生感受数学解题方法的多样性，体会优化数学解法的必要性)2.已知:2a+b=6，2a-b=5,利用因式分解计算4a 2-b 2.( 讲解时可分组完成，1,2两组用解方程组的方法，3,4两组用因式分解的方法，比一比哪组完成的既快又对.注重渗透与培养学生的整体思想，突出因式分解在数学解题中的重要性.)活动5：归纳理解，回顾现实.学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）活动6：课后作业.1.填空（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2； （3）0.16a 4=（ ）2； （4）1.21a 2b 2=（ ）2；（5）2x 2=（ ）2；（6）949x 4y 2=（ ）2． 2..下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4 （ ）（2）x 2+4x+4y 2 （ ）（3）4a 2+2ab+14b 2 （ ）（4）a 2-ab+b 2 （ ）（5）x 2-6x-9 （ ）（6）a 2+a+0.25 （ ）3.填空（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.练一练把下列多项式分解因式：（1）6a-a 2-9；（2）-8ab-16a 2-b 2；（3）-16+m 2n 2；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2七、教学反思。
8.4 因式分解 第1课时课件(19张PPT)2023-2024学年沪科版七年级数学下册
问题2中都是将多项式转化为两个整式的 乘积 .
三、自主学习
因式分解的定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做
把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即 ma+mb+mc
因式分解 整式乘法
m(a+b+c)
ma+mb+mc =m(a+b+c)
问题提出：如何利用提公因式法把2a(b+c)-3(b+c)分解因式. 问题探究：这两个式子的公因式为 b+c ，可以直接提出. 问题解决：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c) 2a-3 . 应用：分解因式：p(a2+b2)+q(a2+b2)= (p+q)(a2+b2) .
总结：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
（1）m(a+b+c)= ma+mb+mc
； （2）(x+1)(x-1)= x2 -1
；
（3）(a+b)2 = a2+2ab+b2
.
问题2：根据上面的计算填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c) （3）a2+2ab+b2 = (a+b)2
； （2）x2 -1= (x+1)(x-1) ； .
五、当堂检测
3.把下列各式分解因式. (1)3(a+b)2+6(a+b)； 解：原式= 3(a+b)·(a+b)+3(a+b)·2
新编【沪科版】七年级数学下册《8.4.1 因式分解的意义》课件
在小学，我们学过整数的因数分解，例如，
6＝2×3，30＝2×3×5.
类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几 个因式乘积的形式，例如， a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)，na＋nb＋nc＝n(a＋b＋c).
（来自《教材பைடு நூலகம்）
知1－导
（来自《教材》）
知2－讲
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解 一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆 的变形． 即：多项式
因式分解 整式乘法
整式乘积．
（来自《点拨》）
知2－讲
例2 计算下列各式：
2＋2ab＋b2 ； (1)(a＋b)(a－b)＝________ ___________ a2－b2 ；(2)(a＋b)2＝a
(2)因式分解是等式变形，形式改变但值不改变．
(3)因式分解必须分解到每个多项式的因式不能分解 为止．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) 1 2 A．a ＋1＝ a a＋ a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因 式分解，D正确．
（来自《点拨》）
知1－讲
总
结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是 因式分解．
（来自《点拨》）
知1－练
1
下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( A．6a2b＝3a2· 2b B．x2－3x－4＝x(x－3)－4 C．ab2－2ab＝ab(b－2) D．(2－a)(2＋a)＝4－a2
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3．分组分解法
学习目标
1．理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤；(重点)
2．能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
1．因式分解：
(1)a4－18a2＋81；(2)a3＋6a2＋9a；
2．根据1中得到的式子尝试因式分解：a4－a3－12a2＋9a＋81.
二、合作探究
探究点：分组分解法分解因式
【类型一】运用分组法分解因式
因式分解：
(1)a2＋4ab＋4b2－2a－4b；
(2)x3＋6x2＋11x＋6.
解析：(1)前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x3＋6x2＋9x＋2x＋6的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可．解：(1)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋2b－2)；
(2)原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋6＝x(x＋3)2＋2(x＋3)＝(x＋3)[x(x＋3)＋2]＝(x＋3)(x2＋3x ＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．
方法总结：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
【类型二】运用分组法分解因式判定三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：通过分组并利用完全平方式将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
【类型三】整体代入求值
已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值．
解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．解：x2－y2－2y＋2x＝(x＋y)(x－y)－2(y－x)＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.
方法总结：若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑分组分解，常用的分组方法有两、两分组，一、三分组，分组应满足各组有公因式或符合公式，且各组之间有公因式
或符合公式．
【类型四】分组分解法的综合应用
若m n满足m＋2＋(n－4)2＝0，分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．解析：首先根据非负数的性质求出m、n的值，代入式子，然后利用分组分解法进行分
解．
解：由题意，得m＋2＝0，n－4＝0，解得m＝－2，n＝4.∴(x2＋y2)－(mxy＋n)＝x2＋y2－(－2xy＋4)＝x2＋y2＋2xy－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2)．
方法总结：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．
三、板书设计
1．分组分解法分解因式
某些多项式整体没有公式，也不符合公式，可将多项式进行分组，使各组符合提公因式或可以使用公式分解因式，且各组之间有公因式或符合公式从而将多项式因式分解．2．分组分解法分解因式的应用
教学反思
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领。