2014人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》导学案

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人教A版高中数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》Word导学案

3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。

”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦【学习目标】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.【学习重点】1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合【学习难点】1．运用数学模型分析解决实际问题2．对数函数应用题的基本类型和求解策略知识拓展· 探究案【交流展示】1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量A.至少为82kW·hB.至少为118kW·hC.至多为198kW·hD.至多为118kW·h2．一等腰三角形的周长是20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，它的解析式为A.y=20−x(x≤10)B.y=20−2x(x<10)C.y=20−x(5≤x≤10)D.y=20−2x(5<x<10)3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？ A.10B.9C.8D.74．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益 R (总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q (单位：件)的函数，满足关系式： R =f (Q )={400Q −12Q 2，0≤Q ≤400，80000，Q >400.求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 (下列数据仅供参考：√2=1.41，√3=1.73，√33=1.44，√66=1.38 ) A.38%B.41%C.44%D.73%6．某人1月1日到银行存入一年期存款 a 元，若年利率为 x ,按复利计算，到1月1日，可取回款元. A.a (1+x )3B.a (1+x )4C.a+(1+x )3D.a (1+x 3)7．如图，开始时桶1中有 a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae −nt ，那么桶2中水就是y 2=a −ae −nt ，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过分钟桶1中的水只有 a8 升.8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x (年)的关系为 y=a log2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到A.300只B.400只C.600只D.700只10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2O10，单位是m/s，其中 O 表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？11．今有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是A.指数函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：则下列函数模型中能较好地反映计算机在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是A.y=10x B.y=5x2−5x+10C.y=5×2xD.y=10log2x+10【学习小结】1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.2．二次函数模型应用题的解法(1)理解题意，设定变量，.(2)建立二次函数关系，并注明定义域.(3)运用二次函数相差知识求解.(4)回归到应用问题中去，给出答案.3．一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.4．对一次函数解析式的三点说明解析式：.(1)一次项的系数.(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.5．数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.6．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.7．指数型函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.【当堂检测】1．某商人购货，进价按原价 a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是 .2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过 x 年后的剩留量为 y ，则y=f(x)的函数解析式为 .3．某企业实行裁员增效.已知现有员工 a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元.(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围.(2) 当140<a≤280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数 y=mn x+p (其中m ，n ，p 为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.3.2.2函数模型的应用实例详细答案【交流展示】1．D2．D3．B4．y＝R－100Q－0={300Q−12Q2−20 000，0≤Q≤400，60 000－100Q，Q>400Q∈Z.(1)0≤Q≤400时，y＝−12(Q−300)2+25 000，当Q＝300时，y m a x＝25 000.(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25 000元.5．B6．A7．108．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100×(1＋1.2％)x＝120，x=log1.012120100=log1.0121.2=lg1.2lg1.012≈15.28.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.9．A10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，所以，0=5log2O10，解得：O＝10，则燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)由耗氧量O＝80得：υ=5log28010=5log28=15(m/s).11．C 12．C【当堂检测】1．y＝a4x(x∉N*)2．y＝(0.9576)x 1003．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x=−1100x2+(a100−140100)x+a，因为a−x≥34a，所以x≤14a.即x的取值范围是(0，a4]中的自然数.(2)因为y=−1100[x−(a2−70)]2+1100(a2−70)2+a，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，x=a2−70，y取最大值.当a为奇数时，x=a−12−70，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去x=a+12−70.)答：当员工人数为偶数时，裁员(a2−70)人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员(a−12−70)人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有{f(1)=a+b+c=1，f(2)=4a+2b+c=1.2，f(3)=9a+3b+c=1.3，解得{a=−0.05，b=0.35，c=0.7，所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有{g(1)=mn+p=1，g(2)=mn2+p=1.2，g(3)=mn3+p=1.3，解得{m=−0.8，n=0.5，p=1.4，所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.。

高中数学人教A版必修13.2.2函数模型的应用实例导学案

优质资料---欢迎下载3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例【使用说明及预习指导】1. 认真阅读教材106101-P ，再思考完成课本第P104的练习题；2. 限时40分钟，规范完成探究案，适当总结。

【重点难点】重点：选择适当的函数模型解决问题；难点：建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题。

【学习目标】1.能选择适当的函数模型解决问题;2.通过函数模型的应用实例的学习，熟悉解决问题的过程和方法，总结规律，提炼解题步骤。

探究案探究一给出函数模型的问题例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x>400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f(x)表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)思考题1 (1)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A ．200副 B ．400副 C ．600副D ．800副(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟探究二根据条件建立函数模型例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月用电量为200 kwh 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?思考题2 为了预防甲流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．探究三已知图象或表格的应用问题例3 甲，乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由． (3)哪一年的规模最大？说明理由．思考题 3 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表：已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10的时候，小白鼠将会死亡，如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天，已知lg2＝0.301 0) 小结：。

高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例导学案新人教A版必修1

人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)

3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．【例2】解设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低为45 000元．【例3】解设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c，解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ；当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

人教A版高一数学必修一 3.2.2 函数模型的应用实例学案

3.2.2 函数模型的应用实例（学案）一、学习目标 1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)二、自主学习教材整理函数模型的应用阅读教材P 101～P 106，完成下列问题．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1x ，x ∈D 1f 2x ，x ∈D 2……f n x ，x ∈D n三、合作探究例1. 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【自主解答】 (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k ＜0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)，y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100,300])， ∵k ＜0，∴x ＝200时，y m ax ＝－10 000k ，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%，即x 2－400x ＋37 500＝0，解得x＝250或x ＝150.所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．归纳总结：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.例2. 声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？【自主解答】 (1)当I ＝10－6W/m 2时，代入得Y ＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y ＝0时，即为10lg I 10－12＝0，所以I 10－12＝1，I ＝10－12 W/m 2，则能听到的最低声强为10－12 W/m 2.(3)当声强I ＝5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg 5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．归纳总结：1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y ＝N (1＋p )x ，(其中N 为基数，p 为增长率，x 为时间)的形式．例3. 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎨⎧15＋12t ，0≤t 25－12t ，10<t (元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15＋12t －2t ，0≤t ≤10⎝⎛⎭⎫25－12t －2t ，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋－t ，0≤t ≤10－t 40－t，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，0≤t ≤10t 2－90t ＋2 000，10<t ≤20， (2)由(1)知①当0≤t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5)递增，在t ∈(5,10]递减，∴y m ax ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)．②当10＜t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，t ＝10时，y ＝1 200，y min ＝600(当t ＝20时取得)，由①②知y m ax ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．归纳总结：1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．四、学以致用1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，求供水几小时后，蓄水池中的存水量最少.【解】设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)，设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎫u －5662＋150， ∴当u ＝566，即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少． 2．目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．【解】 (1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈16. 故大约16年后该县的人口总数将达到120万．3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)当0＜x ≤30时，y ＝900；当30＜x ≤75，y ＝900－10(x －30)＝1 200－10x ；即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤301 200－10x ，30<x ≤75. (2)设旅行社所获利润为S 元，则当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000；当30＜x ≤75，S ＝x (1 200－10x )－15 000＝－10x 2＋1 200x －15 000；即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75. 因为当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000为增函数，所以x ＝30时，S m ax ＝12 000；当30＜x ≤75时，S ＝－10x 2＋1 200x －15 000＝－10(x －60)2＋21 000，即x ＝60时，S m ax ＝21 000＞12 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．五、自主小测1则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2 x2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)5．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 km/h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时 )，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h )表示为时间t (h )的函数，并画出函数的图象．参考答案1.【解析】根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2 x ，可知满足题意．【答案】 D2.【解析】因为L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，所以，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．【答案】 2 5003.【解析】设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，即0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．【答案】 2 2504.【解析】由题意，得14(1＋1.25%)x －2 008>20，即x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，解得x >2 036.7，又x ∈N ，故x ＝2 037.【答案】 2 0375.【解】 (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)．②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)．③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜x ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t 0≤t ＜t 325－50t 3.5＜t ，它的图象如图(1)所示．(1) (2) (2)速度v (km/h )与时间t (h )的函数关系式是v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜t －＜t ，它的图象如图(2)所示．。

高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教案

3.2.2函数模型的应用实例教案教学目标知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。

过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。

情感、态度与价值观通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。

教学重点与难点:函数模型的选取与求解。

教学过程设计第一课时已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。

解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 +65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。

（2）根据上图，有502004,0180(1)2054,1290(2)2134,2375(3)2224,3465(4)2299,45t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩，这个函数的图象如右图所示。

h VH 小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。

练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）(A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例导学案(2) 新人教A版必修1

§3.2.2 函数模型的应用实例（2）1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； .104 P 106，找出疑惑之处）这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※ 例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水销售单价与日均销售28? cm ；体重：kg ） 9.99 120 性体重与身高ykg 与身高xcm 的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg 的在校男生的体重是否正常？百分 ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠()x l x ab c =+0,a b ≠b ≠※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V 与溶液深度h 的大概图象是（）.2. 某种生物增长的数量y 与时间t 的关系如下表：关系的是（A ．21y x =- B ．21x y =- C ．21y x =- D ．21.5 2.52y x x =-+3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（）.A. 97年B. 98年C. 99年D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2019年投产，计划2019年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成课后作业7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？。

2014人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》课时学案

3.2.2函数模型的应用实例1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题;2.能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题；3.能够收集图表数据信息，建立拟合函数模型解决问题.几类函数模型①一次函数模型： ;②二次函数模型： ;③指数型函数模型： ;④对数型函数模型： ;⑤幂型函数模型： .1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数型函数模型D.对数型函数模型2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：A.y＝2x-1B.y＝-1C.y＝-1D.y＝-2.5x＋23.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，行驶的路程关于时间的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②4.为了保证信息安全传输，必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：已知加密为y＝-2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是 .一、一次函数与分段函数模型例1一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.（1）写出速度v关于时间t的函数解析式；（2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式；（3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.提出问题：1.速度v关于时间t是个什么类型的函数，如何求解这类函数的解析式？结论：提出问题：2.汽车的行驶路程s与速度v以及时间t之间有什么样的关系？如何求解汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式？结论：提出问题：3.如何求出图中阴影部分的面积？所求面积的实际含义是什么？结论：提出问题：4.汽车行驶这段路程前里程表的读数为2 004 km，那么如何建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式？结论：提出问题：5.如何画出问题（4）中函数的图象？结论：二、指数型函数模型例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：。

人教版教材高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案

3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程应用，之间的关系是解题方法：用①题目求什么，应怎样设未知量；的租金、客房的出租数有怎样的关系；.收入为)+ 6000100) + 6000+ 8000..用.的实际含义；生：解答：1=360.课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的学生练习，师生点评.积最大？例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。

高中新人教A版必修1数学教案 3.2.2 函数模型的应用实例

3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0＜x ≤10时，令f (x )＝55，则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6.但0＜x ≤10，故x ＝6.当16＜x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55. 所以x ＝17 13.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为：y ＝112 800x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？解当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升．要点二建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x )＝－13(x －100)2＋10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．规律方法根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M (亿元)和N (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式：M ＝13 t ，N ＝16t ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x 亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．解 (1)当甲项目投资x 亿元时，获得利润为M ＝13x (亿元)，此时乙项目投资(3－x )亿元，获得利润为N ＝16(3－x )(亿元)，则有y ＝13x ＋16(3－x )，x ∈[0,3]．(2)令x ＝t ，t ∈[0，3]，则x ＝t 2，此时y ＝13t ＋16(3－t 2)＝－16(t －1)2＋23.∵t ∈[0，3]，∴当t ＝1，即x ＝1时，y 有最大值为23.即总利润y 的最大值是23亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元答案 B解析由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1答案 D解析分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．答案 12解析 S ＝(3＋x )(2－x 2)＝－x 22＋x2＋6＝－12(x －12)2＋498，∴x ＝12时，S max ＝498.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x (km)0＜x ≤ 500 500＜x ≤ 1 000 1 000＜x ≤ 1 500 … 邮资y (元)5.006.007.00…( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元答案 C解析由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元．3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60 答案 C解析设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30 答案 A解析设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)．由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案甲解析对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)．当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)．当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)．当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A ．125 B ．100 C ．75 D ．50 答案 C解析由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501t， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．答案 36.72解析当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确，当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额． (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L ，则由题设得：L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50P －14×100－5 600，14≤P ≤20，－32P ＋40P －14×100－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)，此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？解由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t . 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)． (2)由(1)得，知P ＝t P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0.9In 510e .当P＝40%P0时，有0.4P0＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215×－0.11＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1课题：§3.2.2函数模型的应用实例（一）教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深刻的认识。

这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。

但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的能力较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。

因此在教学中应该给学我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价．设计意图教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题．二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090v（km让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。

人教A版高一数学必修一 3.2.2 函数模型的应用实例教案

3.2.2 函数模型的应用实例一、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图． 2．会利用选择或建立的函数模型． 3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．二、重点难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。

四、教学过程（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有y kx b =+，2y ax bx c =++，log a y x =，0rx y y e =．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．（2）问题探究；例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：701607.947.25a ba b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．当堂检测：1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是.2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为.3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.答案；1．(x∉N*) 2．3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有；解得所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.五、课堂小结所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.六、课后作业课时练与测七、教学反思。

人教A版数学必修一教案：§3.2.2函数模型的应用实例(ⅰ)

§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、教学目标：1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、学法与教学用具1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。

高中数学人教A版必修1导学案设计：3.2.2函数模型的应用举例(学生版)

章节3.2.2 课题函数模型的应用实例教学目标1.掌握运用一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数及分段函数等建立数学模型解决实际问题的方法2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合；3.体会数学建模的作用和意义。

教学重点分段函数的模型；二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数的模型教学难点用分段函数、二次函数、指数型函数、对数型函数、幂型函数的性质解决实际问题。

【新知探究】一、分段函数模型1．分段函数的定义：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数。

其基本形式为，分段函数的定义域是各段函数定义域的，值域也是各段函数值域的。

2．分段函数的性质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，其单调性、最值、奇偶性等性质的研究往往本着分段讨论，整体考虑的原则。

二、指数型、对数型、幂型函数3．函数模型：指数型函数模型：()(0)xf x ab c a=+≠；对数型函数模型：()log(01af x m x n a a=+>≠且）幂函数型模型：()(0,1nf x ax b a n=+≠≠）三、函数模型的应用：4.应用题型：一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

5.解函数应用题的一般步骤：（1）审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）处理数据，便于寻找数据关系。

（2）建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

（3）解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。

（4）还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。

【基础练习】1、点P 从O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如右图，那么P 所走的图形是( )A 、B 、C 、D 、2、有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( ) A ．1000米2 B ．2000米2 C ．2500米2 D ．3000米23、某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．100y x = B ．25050100y x x =-+ C ．502xy =⨯ D ．2100log 100y x =+4、已知函数⎩⎨⎧≤+>=1,1,)(2x a x x x x f 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是。

[精品]新人教版必修1高中数学3.2.2 函数模型的应用实例(2)导学案

322 《函数模型的应用实例》（2）导案【习目标】1．通过一些实例，感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2．初步了解对统计数据表的分析与处理．【重点难点】重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题难点：将实际问题转化为数模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价【知识链接】（预习教材P104~ P106，找出疑惑之处）阅读：2003年5月8日，西安交通大医院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件．这一数模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力模型和优化控制模型，并对非典未的流行趋势做了分析预测．【习过程】※典型例题例1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据作出分析这个经营部怎样定价才能获得最大利润?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？[][]小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。

人教A版数学必修一3.2.2 函数模型的应用实例 (2).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3．2.2函数模型的应用实例课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝______________________(2)二次函数：y＝______________________(3)指数函数：y＝______________________(4)对数函数：y＝______________________(5)幂函数：y＝________________________(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________________；(3)________________；(4)________________；(5)______；(6)__________________________．一、选择题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：x (h) 0 1 2 3细菌数300 600 1 200 2 400 据此表可推测实验开始前2 h 的细菌数为( )A ．75B ．100C ．150D ．2002．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )5．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 26．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x ＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．三、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：t 50110250Q 150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a log b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份12 3产量(千件)505253.9为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．3．2.2 函数模型的应用实例知识梳理1．(1)kx ＋b (k ≠0) (2)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (3)a x (a >0且a ≠1)(4)log a x (a >0且a ≠1) (5)x α(α∈R ) 2.(1)收集数据 (2)画散点图 (3)选择函数模型(4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解释实际问题作业设计1．A [由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为y ＝300·2x (x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75.] 2．B [由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.]3．A [设某商品价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.]4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]5．D [设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3.] 6．A [由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.]7．2 250解析设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)．8．400解析由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2000年年底时，x ＝15，代入得y ＝400.9．2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]，其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多，若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 31021122n ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。

人教A版高中数学必修一函数模型的应用实例应用已知函数模型解决实际问题教学案新

§3.2.2 函数模型的应用实例第一课时应用已知函数模型解决实际问题【教学目标】能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.【教学重难点】1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.【教学过程】（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知.例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“总收入最高”的数学含义如何理解？根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.[略解：]设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x ＞0得：0＜x＜30设客房租金总上收入y元，则有：y=（20+2x）(300－10x)=－20(x－10)2 ＋8000（0＜x＜30）y=8000.由二次函数性质可知当x=10时，max所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程.例2 要建一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.解析：选择合适的数学模型建立函数关系解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y 元 y=480+80[4x+(16/x)]当x=2时，总造价最低为1760元点评：利用基本不等式变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)xy ab c a b c =+其中为常数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.【板书设计】一、已知函数模型二、例题例1 变式1 例2 变式2【作业布置】教材P 116练习1、2§3.2.2 函数模型的应用实例第一课时应用已知函数模型解决实际问题课前预习学案一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些三、提出疑惑课内探究学案一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 学习难点：将实际问题转变为数学模型. 二．学习过程解决实际问题的步骤1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km ，火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程.例2 要建一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)xy ab c a b c =+其中为常数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.课后练习与提高一．选择题1.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（）A. B. C. D.2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（） A ．10%B ．20%C ．5%D ．11.1%3．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．t v 2log=B ．t v 21log =C ．212-=t vD ．22-=t v二．填空题4.假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R=a ·A ，那么广告效应为A A a D -=，当A= 时，取得最大广告效应.5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个三．解答题6. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨. （1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.参考答案1.C2.D3.C4.a/25.10246.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4;当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲户用水量为5x=7.5付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元); 乙户用水量为3x=4.5付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).。

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高中数学人教版必修1：3.2.2函数模型的应用实例
姓名：_____________ 班级：___________ 组别：___________ 组名：____________ 【学习目标】
1.学会运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题，提升解决简单的实际应用问题的能力。

2.理解实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.
【重点难点】
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.
【阅读内容】
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23。

知识探究（二）：二次函数模型的应用
例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
知识探究（三）：分段函数模型的应用
某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.
知识探究（四）：指数型函数模型的应用
已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
【基础达标】
A1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）
A. B. C. D.
A2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（）
A ．10%
B ．20%
C ．5%
D ．11.1%
B 3．今有一组实验数据如下：
7.5
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）
A ．t v 2log
=
B ．t v 2
1log =
C ．2
12-=t v
D ．22-=t v
B4.假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R=a ·A ，那么广告效应为
A A a D -=，当A= 时，取得最大广告效应.
C5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
C6. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水
超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨（1）求y 关于x 的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费
D7.某个经营者把开始六个月试销A 、B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
A 种商该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入两种商品各多少才最。