第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法

X ( z)
n
x ( n ) z n
n2
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 为分析收敛域的特点，将序列分成两部分，一部分 是n≥0的部分，另一部分是n<0的部分，分析如下：
X ( z)
n
x ( n ) z n x ( n ) z n
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 如果|a|＜1，则由于|a|-1＞1，收敛域一定包含单位圆，因 此该序列的傅立叶变换存在，即
X (e j ) X ( z ) z e j
X ( z ) x ( n ) z n x ( n ) z n
例 3.2.2
1

n n1 n 0 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。

解
X ( z)
n
a u( n ) z
n
n
a z
n 0
n n
上式Z变换存在，要求|az-1|＜1，解这个不等式，得 到： |z|＞|a|，它的Z变换为
对因果序列的Z变换，称为单边Z变换，定义如下：
X ( z ) x ( n ) z n
n 0

(3.1.3)
(3.1.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和，用公式表示如下：
n
x(n) z

n

(3.1.4)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量 在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能 使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域, 则可以 推想, 对于不同的序列, 就有不同的收敛域。 收敛域一般用下式表示：
z= ejω在z平面上是半径为1的圆，辐角是ω，它被称为单位
圆，如图3.1.3所示。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
Im[z] z＝ej

－1 O 1 Re[z]
图 3.1.3 Z平面上的单位圆
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 例 3.1.2 x(n)=u(n), 求其Z变换和收敛域。 解
0.9n z n
n 0
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 由上式得到： |0.9z-1|＜1, 解该不等式，得到： |z|＞ 0.9，这就是X(z)的收敛域。
在该收敛域中, x(n)的Z变换为
1 X ( z) 1 0.9 z 1
上式也可以写成
X(z)写成下式：
z 1 X ( z ) N 1 z ( z 1)
N
先求它的零点，零点是分子多项式的根，即求下式的根：
zN-1=0
zN=1=ej2πM
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 式中, M取整数。因为这是一个N阶多项式，应该 有N个根，具体是：
2 j M N
X ( z)
n
a nu( n 1) z n

n 1
a n z n

a n z n
X(z)存在, 要求|a-1z|＜1，解该不等式，得到收敛域为 |z|＜|a|。在收敛域中，该Z变换为
n 1

a1 z 1 X ( z) 1 1 a z 1 az1
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 例 3.1.1 设x(n)=0.9nu(n), 求它的Z变换，并确定收 敛域。
解 按照Z变换的定义, 推导如下：
X ( z)
n
0.9 u(n) z
n


n

n
0.9

n
z
n
如果上式的X(z)存在，则要求满足绝对可和的条件， 即要求下式成立：
间是n=0~N-1，根据上面的分析, 它的收敛域应是：0＜
|z|≤∞。下面先求它的Z变换。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
N 1 n 0
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 1 z
根据上面得到的X(z)，先分析X(z)的极零点在哪里。将
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
X ( z)
n
a z
n

n
a z
n n n 0

n 1
a n z n

a n z n a n z n
n 0 n 1
在收敛域中，Z变换为
1 az X ( z) 1 1 az 1 az 1 - a2 1 a za 1 (1 az)(1 az )
Im[z] b＝0 .9
O
b
Re[z]
图 3.1.2 收敛域
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 下面将Z变换和已学过的傅立叶变换进行对比，看 它们之间有什么关系。 将Z变换的定义(3.1.1)式和傅立叶变换的定义(2.2.1) 式重写如下： X ( z ) x ( n ) z n
ze
2 j M N
M=1, 2, …, N-1
2. 右序列
右序列是指序列在n≥n1时，序列值不全为0，而在n
＜ n1时，序列值全为0的序列。这种序列的Z变换如下 式：
X ( z)
n
x ( n ) z n

第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 为了分析它的收敛域的特点，将序列分成两部分，一 部分是n≥0的部分，另一部分是n<0的部分，分析如下：
由一个左序列和一个右序列组合而成的，它的Z变换表
示如下：
X ( z)
n
x(n) z

n

n
x(n) z
1
n
x(n) z
n 0

n
例 3.2.4 x(n) =a|n|, a为实数，求其Z变换及它的收敛
域。
解 这是一个双边序列，它的Z变换求解如下：
该例题要求|a|＜1，此时x(n)=a|n| 是一个收敛序列； 假设0<a<1，它的波形和收敛域如图3.2.1所示。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
Im[z] a
|n|
a O －6 －4 －2 0 (a) 2 4 6 n (b) 1 /a
Re[z]
图3.2.1 波形(a)与收敛域(b)
n 0
1
n2
例 3.2.3 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 解 x(n)=-anu(-n-1), 只有在n≤-1时序列才有非零值， 否则序列值为0，因此这是一个左序列。可以推想, 它的
收敛域是在某个圆的圆内，且包含z=0点。下面求它的Z
变换：
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
n
X (e )
j
n
x(n )e jn

对比上面两式，得到序列Z变换和它的傅立叶变换 之间的关系： X(ejω)=X(z)|z= ejω (3.1.8)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 上面关系式表明如果已知序列x(n)的Z变换X(z)，只要 将z= ejω带入X(z)，便得到它的傅立叶变换X(ejω)。另外，
z 0.9
z X ( z) z 0 .9
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 收敛域的示意图如图3.1.2所示(图中斜线部分)。收 敛域|z|＞0.9也可以写成0.9＜|z|≤∞。但要注意如果收敛
域是0.9＜|z|＜∞，不能写成|z|＞0.9。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
3.1 序列Z变换的定义 3.2 序列特性对收敛域的影响 3.3 逆Z变换 3.4 Z变换的性Βιβλιοθήκη 和定理 3.5 利用Z变换解差分方程
3.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
习题
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
P( z ) X ( z) Q( z )
(3.1.7)
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的 根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想 收敛域中肯定没有极点，那么收敛域也肯定是以极点 为边界。总结以上所述, Z变换收敛域的特点是： (1) Z变换只存在在收敛域中，不同的序列有不同 的收敛域。 (2) 收敛域用环状域表示，且总是以极点为边界。
3.1 序列Z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义如下:
X ( z)
n
x ( n ) z n

(3.1.1)
式中, z是一个复变量，可以表示为
z Rez j Im[z] re
j
(3.1.2)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 式中, r和ω均为实变量。注意在定义中，对n求和 是在-∞~+∞之间求和，故称为双边Z变换。还有一种针
(1) n1 ＜0, n2 ≤0, 收敛域为： 0≤|z|＜∞；
(2) n1 ＜0, n2 ＞0, 收敛域为： 0＜|z|＜∞； (3) n1 ≥0, n2 ＞0, 收敛域为： 0＜|z|≤∞。 例 3.2.1 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。 解 x(n) =RN(n)是一个有限长序列，它的非零值区
1. 有限长序列

如果序列取非零值的区间是有限长的，称该序列 为有限长序列。有限长序列可以用下式表示：
x(n) x n 0
n2
n1 n n2 其他
(3.2.1)
有限长序列的Z变换为
X ( z ) x ( n ) z n
n n1
(3.2.2)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 对于n1 、 n2 分别的取值有三种情况，下面按照三 种情况总结如下：
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
1 X ( z) 1 1 az
它的傅立叶变换如下：
j
za
1 j 1 ae
X ( e ) X ( z ) z e j
3. 左序列
左序列是指在n≤n2 时，序列值不全为0，而在n＞n2
时，序列值全为0的序列。左序列的Z变换为
Rx-＜|z|＜Rx+
Rx- ＜|r|＜Rx+
(3.1.5)
按照(3.1.2)式，上式也可改写成下式： (3.1.6)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 (3.1.5)式和(3.1.6)式表示，收敛域一般是用一个环 状域表示的，这里Rx-和Rx+分别是两个圆的半径，收敛
za
上式表示X(z)的极点为z=a，收敛域是在以极点为边 界的圆内，且包含z=0点。将该例题和例3.2.2对比，Z变 换的函数相同，但是收敛域不同，对应的序列也不同。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 4. 双边序列 双边序列x(n)的n在(-∞, +∞)之间取值，可以看成是
域就是用这两个圆形成的环状域表示的，如图3.1.1中
斜线部分所示。 Rx-和Rx+可称为收敛半径，当然Rx-可 小到零， Rx+可以大到无穷大。
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
Im[z]
O
Rx－
Re[z] Rx＋
图3.1.1 Z变换的收敛域
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之 比表示：
X ( z)
n
u( n ) z n z n
n 0


X(z)存在的条件是|z-1|＜1，因此收敛域是|z|＞1，在 收敛域中，它的Z变换为
1 X ( z) 1 1 z
z 1
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
3.2 序列特性对收敛域的影响
ze
式：
M=0, 1, 2, …, N-1
X(z)的极点是X(z)分母多项式的根，即解下面方程 z N-1 (z-1)=0
它的极点是z=1和z=0(N-1阶极点)，但要注意到在
零点中，当M=0时，零点是z=1,这样, z=1处的极零点相 互抵消。该Z变换只有N-1个零点，它们是：
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法