高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质
1．角的概念．
(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．
2．诱导公式．
诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，
y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x
.
2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2
α＋cos 2
α＝1. (2)tan α＝sin α
cos α．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α
终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)
(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)
1．(2015·某某卷)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )
A.
125 B ．－125 C.512 D ．－512
解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2
α＝1－（－513
）2
＝
1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5
131213
＝－5
12
. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－5
13，
所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，
则tan α＝y x ＝－5
12
.故选D.
2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5
13
3．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y
＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③
解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π
2＝π；②中函数y ＝
|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π
2
.故选A.
4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π
6
x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.
一、选择题
1．若sin(α－π)＝3
5，α为第四象限角，则tan α＝(A )
A ．－34
B ．－43
C.34
D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，
∴－sin α＝35，sin α＝－3
5
.
又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2
α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352
＝45
， tan α＝sin αcos α＝－
3545
＝－3
4
.
2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且
f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )
A ．f (sin A )>f (cos
B ) B ．f (cos B )>f (sin A )
C ．f (sin A )>f (sin B )
D ．f (cos B )>f (cos A )
解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π
2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综
上知选A.
3．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，
函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.
4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )
解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.
5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1
4
，k ＋34，k ∈Z
D.⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫54－14＝2，
∴
2π
ω
＝2，∴ω＝π.
由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，
∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.
由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋3
4，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.
6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2)的图象(部分)如图
所示，则f (x )的解析式是(A )
A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)
B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)
C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)
D ．f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭
⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中
选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π
6
.
二、填空题
7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－3
5．
8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－4
5
．
解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－4
5
.
三、解答题
9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
分析：思路一 直接将5π
4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．
(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.
(1)将5π
4代入函数式计算；
(2)T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
解析：解法一 (1)f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4
＝－2cos π4⎝ ⎛
⎭⎪⎫－sin π4－cos π4
＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.
(1)f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称
轴之间的距离为π
2
.
(1)求函数f (x )的解析式；
word
(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2
， ∴最小正周期为 T ＝π，
∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3
. ∴α－π6＝π6，故α＝π3
. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2
. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．
解析：(1)由题意得f (x )＝
22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4
时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π4＝－1－22.。