勾股定理导学案

韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
年级：八年级
学科：数学
课题：18.1 勾股定理 第一课时学案
课型：新课
主备人：张邦国
审核人：张邦国
班级：
姓名：
使用时间：
一、课前复习
1、 u 与 t 成反比，且当 u ＝6 时， t  1 ，这个函数解析式为
.
8
2、函数 y   x 和函数 y  2 的图像有
2
x
个交点.
3、反比例函数 y  k 的图像经过点（－ 3 ，5）、（ a ，－3）及点（10， b ），则 k ＝
，
x
2
a＝
，b ＝
.
4、若 y  (k 1)xk22 是反比列函数，则 k = ___ ____.
5、如上右图，A 为反比例函数 y  k 图象上一点，AB 垂直 x 轴于 B 点， x
若 S△AOB＝3，则 k 的值为（
）
A、6
B、3
C、 3 D、不能确定 2
A O Bx
精品文档
猜想：等腰直角三角形的三边有这样的结论：两直角边的平方和等于斜边的平方 想一想：对于任意直角三角形也有类似的结论吗？ 3、观察图 1 和图 2，完成下列表格
二、目标展示 学习目标：1、在探索勾股定理的过程中，掌握直角三角形三边之间的数量关系
2、学会初步运用勾股定理进行简单的计算，并解决实际问题 学习重点：探索和验证勾股定理 学习难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理以及利用拼图验证勾股定理
三、目标导学及释标 活动一 探索直角三角形三边关系 1、观察下图，回答下列问题：
图1
第 15 通过活动一的几个例子，题我图们猜想：
命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2  b2  c2
活动二 验证命题 1（赵爽证法——课本 65 页） 简要证明过程：
想一想： 1、正方形 A、B、C 的面积之间有什么数量关系？ 2、等腰直角三角形的三边之间有什么数量关系？
2、观察下图，完成表格（网格中每个小正方形的边长为单位长度 1）
F
想一想：你还有其它证明方法吗？
1 欢。

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C D F E B 图2


活动三 总结归纳 1、归纳：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

（此定理称为勾股定理） 2、几何语言描述为：
如图 ∵ ∴
4、试试看，小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下 端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高吗？
3、勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，已知直角三角形的两边可求出未知的第三边。

4、读一读：我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家之一！ 根据西汉的数学著作《周髀算经》中的记载，周公问商高：天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺 子去度量，请问怎么知道它们的高低长短呢？（周公和商高是公元前十一世纪的人）。

商高答：数是 根据圆和方的道理得来的。

圆从方得来，方又从矩得来，矩乃从数学计算中得来的。

“故折矩，以为 勾广三，股修四，经隅五”即“勾三，股四，弦五”，所以此定理称为勾股定理，也称为商高定理。

在西方，希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理” 法国人、比利时人称这个定理为“驴桥定理”
五、小结：这节课你的收获
六、作业 1、作业本：课本 69 页第 1 题、70 页第 2 题。

2、预习课本 66～67 页探究 1、探究 2.
四、当堂检测 1、如图,在下列横线填上适当的值:
10
300 x X=
2、右图中正方形 A 的面积是__________ ( 225,400 分别是两个小正方形的面积) 3、在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，求第三边 c 的长度。

八年级数学（上） 第 3 页 共 4 页
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韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
课题：新人教 18.1 勾股定理第二课时
课型：新课
主备人：张邦国
班级：
姓名：
一、课前小测
年级：八年级
学科：数学
审核人：张邦国 使用时间：
下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
答：A=＿＿＿＿，y=＿＿＿＿，B=＿＿＿＿。

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(3)已知 a:b=1:2,c=5, 求 a.
(4)已知 b=15，∠A=30°，求 a，c.
例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，则第三边长为。

例 3（补充）已知：如右图，等边△ABC 的边长是 6cm。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求 S△ABC。

C
A
64
B
y
289
15
8 17
36
二、目标展示
学习目标：掌握勾股定理在实际问题中的应用
学习重点：掌握勾股定理的实际应用
学习难点：理解勾股定理的应用方法
三、目标导学及释标
活动一 阅读课本 66～67 页完成课本探究 1、探究 2（写在书上）.
练一练
1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 200 米，看到了一棵红叶树，
这棵红叶树的离地面的高度是
米。

2、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是
米。

C R
A
D
B
四、当堂检测
1、已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 3 ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，
求 BC 的长。

A
C
D
B
2、已知等腰△ABC 的腰长 AB 是 10，底边 BC 长是 16，求这个等腰三角形的面积。

A
A
30
B
P
Q
2 题图
3 题图
4 题图
3、如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离
是。

4、如图，一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 两点，PQ=16 厘米，且 RP
⊥PQ，则 RQ=
厘米。

活动二 补充例题学习
例 1（补充）在 Rt△ABC，∠C=90°
(1)已知 a=b=5,求 c.
(2)已知 c=17,b=8, 求 a.
B
3、【选做题】已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC， ∠B=60°，CD=1cm，求 BC 的长。

A
B
五、小结：这节课你的收获是什么？ 六、作业
3 欢。

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C
D C


韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
年级：八年级
学科：数学
课题：18.1 勾股定理 第三课时学案
课型：新课
主备人：张邦国
审核人：张邦国
班级：
姓名：
使用时间：
一、课前小测
1、在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c=。

2、在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c=。

3、在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a=
，b=。

4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

5、已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，，则第三边长为。

二、目标展示 学习目标：掌握勾股定理在实际问题中的运用；利用勾股定理表示无理数。

学习重点：利用勾股定理表示无理数 学习难点：掌握勾股定理的在实际中的应用 三、目标导学及释标 1、求出边长为 1 的正方形的对角线的长度并在下面的数轴上表示出来（尺规作图）。

0
9
2、利用勾股定理表示无理数 自学课本 68 页探究 3。

模仿课本 68 页探究 3 的方法，完成课本 69 页练习第 1 题。

解：
想一想：如果长为 n 的线段是直角边为正整数 a，b 的直角三角形的斜边，怎么样在数
轴上表示 n 呢？
3、（例题补充）1．已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=60°，CD= 3 ，
求线段 AB 的长。

A
D
四、当堂检测 1、如图，在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=3，求 AC 上的中线 BD 的长。

B
2、如图，等边三角形的边长是 12： （1）求高 AD 的长； （2）求这个三角形的面积。

C
D
A
A
B
D
C
3、选做题 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=2，CD=1，BC= 2 3  2 。

求：四边形 ABCD 的面积。

A
D
B C
五、小结：这节课你的收获
C
B
六、作业
八年级数学（上） 第 3 页 共 4 页
八年级数学（上） 第 4 页 共 4 页


韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
年级：八年级
学科：数学
课题：18.2 勾股定理的逆定理 第一课时
课型：新课
主备人：张邦国
审核人：张邦国
班级：
姓名：
使用时间：
一、课前小测
1、直角三角形的两边长为 3 ㎝，5 ㎝，则第三边长为。

2、等腰△ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的
长为。

3、等边三角形一边上的高为 3 ，则这个等边三角形的面积为。

4、已知直角三角形的两直角边为 6 和 8，则其斜边上的高为。

二、目标展示
学习目标：1、掌握勾股定理的逆定理及其证明。

2、会利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形。

学习重点：勾股定理的逆定理应用
学习难点：勾股定理的逆定理的证明
三、目标导学及释标（阅读课本 73～74）
活动一 根据三角形三边判断三角形的形状
三角形三边分别为
3
4
5
5 12
13
2.5 6
6.5
4 7.5 8.5
a
b
c
三边存在的关系 32+42=52
a2+b2=c2
三角形形状 直角三角形
根据表格，我们猜想：
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足
，
那么这个三角形是直角三角形。

c
几何语言描述为：∵
∴
∴
B
活动二 定理的证明(课本 74 页探究)
如右图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，试证明△ABC 是直角三角形。

A b C
a A
c
b
Ba
C
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活动三 例题学习（课本 74 页例 1） 1、通过例题学习，你如何判断一个三角形是不是直角三角形？
2、模仿例 1，完成下列题目
判断由线段 a、b、c 组成的三角形是否是直角三角形
（1）a=7，b=24，c=25
（2）a=5，b=13，c=12
（3）a=4，b=5，c=6
（4）a:b:c= 3:4:5
3、在课本上完成课本 75 页练习第 1 题。

4、什么是勾股数？请写出两组勾股数。

。

5、在课本上完成课本 76 页第 4 题，课本 77 页第 6 题。

四、当堂检测
1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A、a=8，b=15，c=17
B、a=9，b=12，c=15
C、a= 5 ，b= 3 ，c= 2
D、a：b：c=2：3：4
2、．已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否 是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= 3 ，b= 2 2 ，c= 5 ；
⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= 3 ，c= 7 ；
⑷a=5，b= 2 6 ，c=1。

3、提高题：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338= 10a+24b+26c。

试判断△ABC 的形状。

五、小结：这节课你的收获是什么？ 六、作业
5 欢。

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韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
年级：八年级
学科：数学
课题：18.2 勾股定理的逆定理 第二课时
课型：新课
主备人：张邦国
审核人：张邦国
班级：
姓名：
使用时间：
一、课前小测
下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A、a=9，b=41，c=40 C、a∶b∶c =3∶4∶5
B、a =b =5，c = 5 2
D、a =11，b =12，c =15
二、目标展示
学习目标：1、理解什么是原命题与逆命题、逆定理，能说出一个命题的逆命题.
2、会判断一个命题的逆命题的真假.
3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
学习重点：写一个命题的逆命题.
学习难点：判断一个命题的真假,灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
三、目标导学及释标
活动三 阅读课本 73～74 页，完成下列问题：
问题 1：命题 1、命题 2 的题设、结论分别是什么？有什么特点？。

像命题 1 与命题 2 这样的两个命题叫做
，如果把其中一个
叫做原命题，则另一个叫做它的。

问题 2：给出一个命题，你如何写出它的逆命题？如何判断其真假？。

练习：完成课本 75 页练习第 2 题（如果不成立举出反例），并写在下面：
（1）逆命题：
；
是否成立：。

（2）逆命题：
；
是否成立：。

（3）逆命题：
；
是否成立：。

（4）逆命题：
；
是否成立：。

四、练一练
1、定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是______________________
2、写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立？
（1）两条直线平行，同位角相等；
（2）如果两个实数是正数，它们的积是正数；
八年级数学（上） 第 3 页 共 4 页
（3）等边三角形是锐角三角形；
（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
五、自学例题，课本 75 页例 2
（1）小结：已知三角形三边求角，可以利用。

（2）练习：在课本上完成课本 75 页练习第 3 题
2、补充例题
一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边
短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：要判断三角形的形状，可先求出三角形的三边，然后根据所学知识判断。

解：
3、补充例题
工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的 AB、BC 相交成直角才符合规定。

你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺) A
B
C
六、当堂检测
1、若△ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1： 2 ，试判断△ABC 的形状。

2、若△ABC 的三边 a、b、c 满足(a－3)2+(b－4)2+c2+25=10c，求△ABC 的面积。

七、小结：你这节课的收获
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韶关市一中实验学校校本教材◆导学案
年级：八年级
学科：数学
课题：18.勾股定理及其逆定理的综合练习
课型：练习
主备人：张邦国
审核人：张邦国
班级：
姓名：
使用时间：
一、最短距离问题
问题：一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3 cm，高是 5 cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，求它所行
的最短路线的长。

B
2、在方格图上画正方形，如请在图中画一个面积为 10 的正方形．
A
二、折叠问题
1、求面积
已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，
折痕为 EF，求△ABE 的面积。

A
E
D
B
F
C
四、利用勾股定理解决实际问题 问题：在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面， 已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是多少米？
2、求长度 如右图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处,已知 CE=3,AB=8,求 BF 的长
A
D
E
B
C
F
三、作图问题
1、在数轴上画出无理数的点.如在数轴上画出表示 17 的点（不写作法，但要保留画图痕迹）
五、面积问题（提示：作辅助线） 1、已知如图，四边形 ABCD 中，AB=6cm，AD=8cm，BC=26cm，CD=24cm，∠A=90°，求四边形 ABCD 的 面积．
A
D
B C
2、已知如图，AD=12cm，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积
A
D
C
B
7 欢。

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