【步步高】2014-2015学年高中数学第三章3.4基本不等式（二）导学案新人教A版必修5

【步步高】2014-2015学年高中数学第三章3.4基本不等式
（二）导学案新人教A版必修5
§3.4 基本不等式：ab ≤
a ＋b
2
(二)
课时目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x ，y 为正实数
(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 2
4.
(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y ＝log 2?
x ＋
1
x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 答案B
2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y
的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在答案 B
解析∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.
∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y
＝42(x ＝32，y ＝34
时取等号)．
3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2
－4x ＋5
2x －4有( )
A ．最大值52
B ．最小值5
4
C ．最大值1
D ．最小值1
答案 D
解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －2＋1
x －
＝12
x －＋1x －2≥1.
当且仅当x －2＝1
x －2，即x ＝3时等号成立．
4．函数y ＝x 2＋5
x 2＋4的最小值为( )
A ．2 B.5
2
C ．1
D ．不存在
答案 B
解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2
＋4＋1x 2＋4
∵x 2
＋4≥2，而1x 2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最
值，函数y ＝x ＋1
x
在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．
∴当x 2
＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52
.
5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )
A ．3
B ．4 C.92 D.11
2
答案 B
解析∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2
)2
.
∴原式可化为(x ＋2y )2
＋4(x ＋2y )－32≥0. ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号．
6．若xy 是正数，则? ????x ＋12y 2＋? ????y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.9
2
答案 C
解析 ? ????x ＋12y 2＋? ????y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2
＋14? ????1x 2＋1y 2＋x y ＋y x
＝?
x 2＋14x 2＋? ????y 2＋14y 2＋? ????x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－2
2
时取等号．二、填空题
7．设x >－1，则函数y ＝
x ＋
x ＋
x ＋1
的最小值是________．
答案 9
解析∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，
于是有y ＝t ＋t ＋t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4
t
＋5≥
2
t ·4
t
＋5＝9，
当且仅当t ＝4
t
，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，
函数y ＝
x ＋
x ＋
x ＋1
取得最小值为9.
8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________．
答案 9
解析∵a ＋b －ab ＋3＝0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.
令ab ＝t ，则t 2
≥2t ＋3.
解得t ≥3(t ≤－1舍)．即ab ≥3.
∴ab ≥9.当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．
9．建造一个容积为8 m 3
，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760
解析设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2
，所以另一边长为4
x
m ．那么
y ＝120·4＋2·80·? ?
2x ＋2·4x ＝480＋320? ?
x ＋4x
≥480＋320·2
x ·4
x
＝1 760(元)．
当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 10．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0
上，其中mn >0，则1m ＋2
n
的最小值为________．
答案 8
解析∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，
即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n
＋2≥4＋2·
n m ·4m
n
＝8. 当且仅当n m ＝
4m n ，即m ＝14，n ＝1
2
时等号成立．故1m ＋2
n
的最小值为8.
三、解答题
11．已知x >0，y >0，且1x ＋9
y
＝1，求x ＋y 的最小值．
解方法一∵1x ＋9
y
＝1，
∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??
1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y
.
∵x >0，y >0，∴y x
＋9x
y
≥2
y x ·9x
y
＝6. 当且仅当y x ＝
9x
y
，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9
y
＝1，∴x ＝4，y ＝12.
∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.
方法二由1x ＋9y ＝1，得x ＝y
y －9
，
∵x >0，y >0，∴y >9.
x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9
y －9
＋1
＝(y －9)＋
9
y －9
＋10. ∵y >9，∴y －9>0，
∴y －9＋9y －9＋10≥2 y －9
y －9
＋10＝16，
当且仅当y －9＝9
y －9
，即y ＝12时取等号．
又1x ＋9
y
＝1，则x ＝4，∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千
元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解设使用x 年的年平均费用为y 万元．
由已知，得y ＝10＋0.9x ＋
0.2x 2
＋0.2x
2
x
，
即y ＝1＋10x ＋x 10
(x ∈N *
)．
由基本不等式知y ≥1＋2
10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x
10
，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
能力提升
13．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4
＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2?M,0?M C ．2∈M,0?M D ．2?M,0∈M 答案 A
解析∵(1＋k 2)x ≤k 4
＋4，∴x ≤k 4＋41＋k
2.
∵k 4＋41＋k 2＝＋k 22－2＋k 2
＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k
2－2≥25－2. ∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}，∴2∈M,0∈M .
14．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______．答案 2
解析∵x ＋y 2≤ x ＋y
2成立，
∴x ＋y ≤2·x ＋y ，∴a ≥ 2.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．。