2013重庆中考数学试题及答案(09修订版).

数学中考 第1页（共16页） 数学中考 第2页（共16页）
重庆市2013年初中毕业暨高中招生考试(模拟）
数 学 试 卷
（本卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，对称轴公式为
2b x a
=-
．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．5-的相反数是（ ） A ．5
B ．5-
C ．
15
D ．15
-
2．计算322x x ÷的结果是（ ） A ．x
B ．2x
C ．5
2x
D ．6
2x
3．函数13
y x =+的自变量x 的取值范围是（ ）
A ．3x >-
B ．3x <-
C ．3x ≠-
D ．3x -≥
4．如图，直线A B C D 、相交于点E ，D F AB ∥．若100A E C ∠=°，则D ∠等于（ ） A ．70° B ．80° C ．90° D ．100° 5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B ．调查长江流域的水污染情况
C ．调查重庆市初中学生的视力情况
D ．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行检查
6．如图，O ⊙是A B C △的外接圆，AB 是直径．若80B O C ∠=°， 则A ∠等于（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
7．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）
A ．22n +
B ．44n +
C ．44n -
D ．4n
9．如图，在矩形A B C D 中，2A B =，1B C =，动点P 从点B 出发， 沿路线B C D →→作匀速运动，那么A B P △的面积S 与点P 运动 的路程x 之间的函数图象大致是（ ）
10．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结
论中：①abc ＞0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；④a-b+c ＞0； ⑤4a+2b+c ＜0．正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．5个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．
11．据重庆市统计局公布的数据，今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元．那么7840000万元用科学记数法表示为 万元． 12．分式方程
121
1
x x =
+-的解为 ．
13．已知A B C △与D EF △相似且面积比为4∶25，则A B C △与D EF △的相似比为 ．
14．已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与两坐标轴围成一个AO B △．现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、
12
、
13
的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上
的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵坐标，则点P 落在AO B △内的概率为 ．
16．某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C 的销售金额应比去年增加 %．
A ．
B ．
C ．
D ．
C
A
E B
F
D 4
题图
……
第1个
第2个
第3个
6题图
D C P
B
A
题图
三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）
17
．计算：
1
02
1
|2|(π(1)
3
-
⎛⎫
-+⨯---
⎪
⎝⎭
．
18．解不等式组：
30
3(1)21
x
x x
+>
⎧
⎨
--
⎩
，①
≤．②
19．如图所示，为求出河对岸两棵树A、B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于A C 的直线前进了12米到达点D，测得90
CDB=
∠．取C D的中点E，测得56
AEC=
∠，67
BED=
∠，求河对岸两树间的距离（提示：过点A作AF BD
⊥于点F）．
(参考数据：
4
sin56
5
≈，tan56 ≈
2
3
，sin67 ≈
15
14
，tan67 ≈
3
7
．
)
20．为了建设“森林重庆”，绿化环境，某中学七年级一班同学都积极参加了植树活动，今年4月
该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：
（1）请你根据以上统计图中的信息，填写下表：
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21．先化简，再求值：
2
2
121
1
24
x x
x x
++
⎛⎫
-÷
⎪
+-
⎝⎭
，其中3
x=-
．
（株）
20题图
植树2株的
人数占32%
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22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，C E x ⊥轴于点E ，1tan 422
A B O O B O E ∠===，，．
（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB 的解析式．
23．有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
24．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且A E A C =． （1）求证：B G F G =；
（2）若2AD D C ==，求AB 的长．
五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）
25．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12
月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对
农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销
售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 5.831 5.916
6.083 6.164）
D
C E
B G
A
24题图 F x
23题图
26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴
的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE ⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段
OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为6
5
，那么EF=2GO是
否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的
交点P与点C、G构成的△PCG
理由．
26题图
x
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（第23题）
F
A
C
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 二、填空题
11．6
7.8410⨯ 12．3x =- 13．2:5 14．外切 15．35
16．30
三、解答题
17．解：原式23131=+⨯-+ ···············································································（5分） 3=． ································································································（6分） 18．解：由①，得3x >-．····················································································（2分）
由②，得2x ≤．·····················································································（4分） 所以，原不等式组的解集为32x -<≤．·················································（6分）
19．解：∵E 为CD 中点，CD =12，∴CE =DE =6． 在Rt △ACE 中
∵tan56°=
CE
AC ，
∴AC =CE ·tan56°≈6×23=9．
在Rt △BDE 中， ∵tan67°= BD
DE
， ∴BD =DE ·tan67°≈6×3
7=14 ．
∵AF ⊥BD ，
∴AC =DF =9，AF =CD =12， ∴BF =BD -DF =14-9=5．
在Rt △AFB 中，AF =12，BF =5， ∴135
122
2
2
2
=+=+=
BF
AF
AB ．
∴两树间距离为13米．
20
················（4分）
（2）补图如下：
····························（6分）
四、解答题： 21．解：原式2
21(1)
2
(2)(2)
x x x x x +-+=
÷
++- ·······························································（4分）
2
1(2)(2)
2(1)
x x x x x ++-=
++ ···························································································（6分） 21
x x -=
+． ··············································································································（8分）
当3x =-时，原式32
5
312
--=
=-+． ······································································· （10分）
22．解：（1）42O B O E == ，，246B E ∴=+=．
C E x ⊥轴于点E ．
1tan 2
C E A B O B E
∴∠=
=
，3C E ∴=． ···································································（1分）
∴点C 的坐标为()23C -，
． ···················································································（2分） 设反比例函数的解析式为(0)m y m x
=≠．
将点C 的坐标代入，得32
m
=
-，············································································（3分）
6m ∴=-． ···········································································································（4分）
∴该反比例函数的解析式为6
y x
=-．····································································（5分） （2）4O B = ，(40)B ∴，． ·
···············································································（6分） 1tan 2
O A A B O O B
∠=
= ，
2O A ∴=，(02)A ∴，．·
············································································
············（7分） （株）
数学中考 第11页（共16页） 数学中考 第12页（共16页）
设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．
将点A B 、的坐标分别代入，得240.
b k b =⎧⎨
+=⎩， ··························································（8分）
解得122.k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
， ·
······································································································（9分） ∴直线AB 的解析式为122
y x =-
+． ·
································································ （10分） 23．解：（1）画树状图如下： ·······················（4分）
或列表如下：
由图（表）知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种， 所以，积为0的概率为4112
3
P =
=．······································································（6分）
（2）不公平．········································································································（7分） 因为由图（表）知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种． 所以，积为奇数的概率为14112
3
P ==， ·································································（8分）
积为偶数的概率为282
12
3
P ==
． ···········································································（9分）
因为
1233
≠，所以，该游戏不公平．
游戏规则可修改为：
若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢．······································ （10分） （只要正确即可）
24．（1）证明：90ABC D E AC ∠= °，⊥于点F ， ABC AFE ∴∠=∠． ······································（1分）
A C A E E A F C A
B =∠=∠ ，，
A B C A F E ∴△≌△········································（2分）
AB AF ∴=．·
················································（3分） 连接A G ， ······················································（4分） A G A G A B A F == ，，
R t R t ABG AFG ∴△≌△． ··························（5分） B G F G ∴=． ················································（6分）
（2）解：AD D C D F AC = ，⊥，
11
22
A F A C A E ∴=
=
．·
·······················································································（7分） 30E ∴∠=°． 30FAD E ∴∠=∠=°，·························································································（8分）
AF ∴= ········································································································（9分）
AB AF ∴==
····························································································· （10分）
五、解答题：
25．解：（1）设p 与x 的函数关系为(0)p kx b k =+≠，根据题意，得
3.95
4.3.k b k b +=⎧⎨
+=⎩
，
········································································································（1分） 解得0.13.8.
k b =⎧⎨
=⎩，所以，0.1 3.8p x =+． ···································································（2分）
设月销售金额为w 万元，则(0.1 3.8)(502600)w py x x ==+-+． ·······················（3分） 化简，得2
5709800w x x =-++，所以，2
5(7)10125w x =--+．
当7x =时，w 取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元． ····（4分） （2）去年12月份每台的售价为501226002000-⨯+=（元），
去年12月份的销售量为0.112 3.85⨯+=（万台）， ···············································（5分） 根据题意，得2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=． ····················（8分）
令%m t =，原方程可化为2
7.514 5.30t t -+=．
D C
E
B G
A F 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 3 2 3 4 1 幸运数 吉祥数 积
数学中考 第13页（共16页） 数学中考 第14页（共16页）
27.5
15
t ∴=
=
⨯．
10.528t ∴≈，2 1.339t ≈（舍去）
答：m 的值约为52.8．························································································· （10分） 26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，，
90AD E C D B BC D ∠=-∠=∠ °， 1tan 2tan 212A E A D A D E B C D ∴=∠=⨯∠=⨯
= ．
∴(01)E ，
． ············································································································（1分） 设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．
将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得
42129310.a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，
····································································································（2分） 解这个方程组，得56
136a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故抛物线的解析式为2
51316
6
y x x =-
+
+． ···························································（3分） （2）2E F G O =成立． ·························································································（4分）
点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65
，
∴点M 的纵坐标为
125
．························································································（5分）
设D M 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得
1122612.5
5k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，． ∴D M 的解析式为132
y x =-
+．·
········································································（6分） ∴(03)F ，
，2E F =． ···························································································（7分） 过点D 作D K O C ⊥于点K ，
则D A D K =．
90A D K F D G ∠=∠= °， F D A G D K ∴∠=∠．
又90F A D G K D ∠=∠= °，
D AF D K G ∴△≌△． 1K G A F ∴==．
1G O ∴=．············································································································（8分） 2E F G O ∴=．
（3） 点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，．
∴222(1)2PG t =-+，222
(3)2PC t =-+，2G C =．
①若P G P C =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+， 解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．
∴(22)Q ，
． ···········································································································（9分） ②若PG G C =，则22(1)22t 2-+=，
解得 1t =，(12)P ∴，，此时G P x ⊥轴．
G P 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，
∴点Q 的纵坐标为
73
．
∴713Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ······································································································· （10分）
x。