历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案

第二届（1991 年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ] A．2; B．3; C．4; D．5
2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ] A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，6
A
O
P
B
(1)
3．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]
8x
2y 5
z
6x 3
z
x
2
y
x y z
3
x 1 5
y 1 3
3x 4 y 5z 1
则1989x-y+25z=______． 10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=______．
一、选择题
答案与提示
提示： 1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)． 2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)． 3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．
1． △ABC中，∠CAB ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA
的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．
2． 若 a 1 (ab 2)2 0 ,那么
1
1
ab (a 1)(b 1)
1
的值是_____.
(a 1990)(b 1990)
3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．
A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC
4.a=
5
,b
(1 3)2
,c
4
3 4
,则a,b,c的大小关系是[
]
(5)2
13
3 1
4
A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b
5.若a≠b,则(b-a) a b 等于[ ]
D．a=b＞c
A. 3 (a b)3 ; B. 3 (a b)3 ; C. 3 (a b)3 ; D. 3 (b a)3
代入，得：
故选(B)．
故选(A)． 二、填空题
提示：
4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC的度数是120度．
5．∠COD度数的一半是30度．
8．∵Δ=p2-4q＞p2． 9．方程组可化简为：
解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990． 10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．
5．如图5，数一数即得．
＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．
又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．
7．∵a＜0，
故选(C)．
8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)． 9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0
12.如果 2x 3x 1, 那么 3 (x 2)3 (x 3)2 等于[ ]
A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．1
（A） 2 1. （B）1 2 .（C） ( 2 1) . （D） 2 1.
7．把二次根式 a 1 化为最简二次根式是[ ] a
(A) a . (B) a . (C) a . (D) a
8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又 AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角 形，那么从图中能找出全等三角形( ) A．2组 B．3组.C．4组 D．5组。
A．0
B．a0. C．a1 D．a0-a1
4. ΔABC,若AB= ,BC=1+ 2 ,CA= 7 ,则下列式子成立的是(
)
A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )
A．4个 B．5个. C．6个. D．7
6． 5 2 7 的立方根是[ ]
∠A＇BE=∠A＇CF=45°． 又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中，
∴SA＇EBF=S△A＇BC．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值． 3．可能的四位数有9种：
1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190． 其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5． 1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2, 9910=7×1415+5，9901=7×1414+3， 9019=7×1288+3，9190=7×1312+6． 即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6． 即余数只有0，2，3，5，6五种． 它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有 一个被7除余1．所以7是次小的n． 即 n1=4，n2=7 ∴ n1×n2=4×7=28．
9.已知 x2 2xy 2y 1
y2 1
y 1 等于一个固定的值，
x2 1
2y2 xy y x 1 x 1
则这个值是( ) A．0. B．1.
C．2.
D．4.
把f1990化简后，等于 ( )
A． x . B.1-x. C. 1 . D.x.
x 1
x
二、填空题（每题1分，共10分）
1. 1302 662 ________.
A．1987
B．1988. C．1989 D．1990
3．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[ ]
A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞M
C．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P
4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶ 3 ,则∠BDA=[
2. 121 0.0196
9
3
1
3
__________.
625 125
3. 8 98 50 =________.
4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．
5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度． 6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是 ______度． 7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x2+px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x，y，z适合方程组
9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．
A．4; B．2; C．1; D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两
位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．185
177．
2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇ 的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B定值．这个结论对吗？证明你的判断．
3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自 然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列 n1＜n2＜n3＜n4……， 试求：n1·n2之值．
4． ΔABC中, ∠B=300,AB= 5 ,BC= 3 ,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三
个圆面积之和的最大值的整数部分是______．
5． 设a,b,c是非零整数,那么
a a
b b
c c
ab ab
ac ac
bc bc
abc abc
的值等于
_________.
三、解答题:（每题5分，共15分） 1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是
提示： 1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．
5．当a，b，c均为正时，值为7． 当a，b，c不均为正时，值为-1．
三、解答题 1．证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，
(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个 数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至 少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是 177． 证法二 从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是 0，1，2，…，176这177种之一． 因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是 177的倍数，即a b=k×177． 又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为 177．即 a b=177． ∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177． 2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值． 证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知
而选(A)． 4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点， 组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的 四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形．故选(D)． 二、填空题
6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ] A．3个 B．4个; C．5个 D．无数多个
7．两条直线相交所成的各角中， [ ] A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角
8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ] A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角
希望杯第一届（1990）第二试试题
一、选择题:（每题1分，共5分）
1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的
底边长是[ ]
A．7.5 B．12. C．4. D．12或4
2.已知P= 1988 1989 1990 1991 1 (1989 )2 ，那么P的值是[ ]
]
A．30°
B．45°. C．60°.
D．不能确定
5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在
三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质
的分割[ ]
A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种
二、填空题:（每题1分，共5分）
希望杯第一届（1990 年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共10分）
1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )
A．45°. B．75°.C．55°. D．65°
2．2的平方的平方根是 ( )
A．2. B． 2. C．±2. D．4
3．当x=1时，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是( )
答案与提示 一、选择题 提示： 1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)． 又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．
=19882+3×1988+1-19892 =(1988+1)2+1988-19892=1988 3．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从