运用辅助图优化数学教学的实践研究——以小学数学“数与代数”领域为例

专题
人教版小学数学教材增添了大量的辅助图，这些辅助图内涵深刻，种类繁多，呈现 形式多样,有助于教师解读教材、用好教材。

但是，很多教师缺乏运用辅助图优化小学 数学教学的意识，即便有，也是用于问题解决，在“数与代数”领域的运用较少，辅助图 在小学数学教学中的作用未能得到充分发挥。

为此，浙江省慈溪市教育局教研室金奎 老师带领课题组成员开展了在小学数学“数与代数”领域活用辅助图优化课堂教学的 实践探索。

课题组先是梳理和分析了十二册小学数学教材中“数与代数”领域涉及的辅助图，包括图形的呈现方式、分类和教学功能。

在此基础上，课题组成员将辅助图分布的点 串联成线，形成辅助图教学操作序列，并且发现辅助图的演变与数学知识的学习存在 内在的联系，从而增强了运用辅助图优化数学教学的意识与能力。

在实践探索过程中，课题组提炼出了“辅助图”之悦趣激情、嫁接迁移、驱动建模、化繁为简、举一反三的五大教学策略，以及层次性、整体性、价值性的三大运用原则。

教学时，教师需要明确教材辅助图的深刻含义，能够运用辅助图优化教学过程,提高教 学实效;学生通过看图、画图、说图、用图，充分暴露数学思维，从中体会基本的数学思 想，积累数学活动经验，提升数学素养。

可以说，辅助图在小学数学“数与代数”领域中 的运用，较好地促进了教师的“教”与学生的“学”。

该课题研究不仅对教师的教学、学生的学习产生了一定的促进、提升作用，而且产 生了区域性辐射效应。

课题组成员在全国范围的教研展示活动中展示教学1次，在浙 江省教研活动中展示课例5次，在宁波市教研活动中展示教学8次，在慈溪市开展教学 研讨活动20余次，撰写刊发的教学论文、教学案例有数十篇，受到了省内外教育专 家、教研员及一线教师的高度赞赏。

(编者）
运用辅肋圏伉化数学教学的实践研究
-以小学数学“数与代数”领域为例
□浙江省宁波慈溪市教育局教研室金奎
皮亚杰认知发展理论认为，小学生的思维处于具 体运算阶段。

这个阶段学生的思维还离不开具体事物 的支持，只能把逻辑运算应用于具体的或观察所及的 事物，而不能把逻辑运算扩展到抽象概念中。

因此，教 学时运用图示法把原本不可视的思维（思考方法、思考 路径）呈现出来，使其清晰可见，这在小学数学教学中 十分重要。

近年来，教师对“数形结合”“建模思想”在小学数 学教学中的应用研究比较多，且主要聚焦于线段图、主题图等某一种辅助图的应用研究。

在运用辅助图进行 教学方面，教师更多的是以图激趣或利用图片导入教 学，且以“图形与几何”“统计与概率”领域为主，在“数与代数”领域的研究则比较少。

《义务教育数学课程标准（20丨1年版）》（以下简称 数学课标）提出，数学教学既要学生掌握必备的基础知 识和基本技能，又要让学生感悟数学思想，积累数学活 动经验。

在数学课堂中活用辅助图进行教学，有利于 呈现学生的思维，让学生体会数学思想，积累数学活动 经验。

人教版小学数学教材增添了大量的辅助图，图形内涵丰富，呈现形式多样，即便如此，辅助图在教学 中的作用也没有得到充分的体现。

为此，我们以小学 数学“数与代数”领域为例，开展运用辅助图优化数学 教学的实践探索。

一、辅助图的基本定义和顶层设计
我们把能够辅助学生学习，激发学生兴趣，暴露学 生思维，使学生在数学学习中能够体会到基本的数学 思想和积累数学活动经验的图形，定义为辅助图。

辅助图包括实物图、符号图、学具图、几何图、综合图等。

在实践探索中，我们提出了运用辅助图优化教学 的五大策略和三大原则，对辅助图的运用进行了顶层 设计(如图1)，以利于发展学生的数学思维能力。

辅助图的呈现方式 辅助图的分类 辅助图的教学功能
辅助图优化教学的策略
悦趣激情 嫁接迁移 驱动建模 化繁为简 举一反三
层次性原则
辅助图优化教学的运用原则
整体性原则价值性原则
辅助学生体会基本的数学思想，积累数学活动经验，提升学习力
图1顶层设计示意图
二、数学教材中辅助图的整体梳理
“数与代数”是小学阶段数学学习的主要内容，在 数学四大领域内容中所占比例最大，是学生学习其他 数学内容的基础，与其他数学内容的学习关系密切。

因此，我们首先对人教版小学数学教材（共十二册）中
数与代数”领域的内容进行了整理和分析(见表1)。

表1小学阶段“数与代数”领域内容结构分析
学段
数的认识
数的*— 4a £r
运算
常见的量
式与方程
正反比例
探索规律1一3年级V V
7
4—6年级
7
V
•7
V
小学数学中“数与代数”领域各部分内容既有螺旋 式上升的结构特征，又互相穿插，逐步递增。

其中，“数 的认识”地位犹如中轴线一般，是学生学习其他数学内 容的基础。

(一）教材中辅助图的呈现方式
为了更好地理解教材，吃透教材，合理娴熟地运用 辅助图开展教学，我们对小学数学教材中“数与代数” 领域六部分内容逐一进行了梳理和分析。

1.
在“数的认识”中呈现辅助图，有利于学生认识
“数”，建立“数”的概念。

教师运用辅助图进行教学，可 以先从实物图中抽象出一个数，再利用点子图引导学 生进一步认识“数”，最后在计数器或数位图中帮助学 生建立“数”的概念。

2.
在“数的运算’’中呈现辅助图，可以帮助学生理
解算理，掌握算法。

教学时，教师先请学生观察情境 图，在观察中发现问题、提出问题、列出算式，然后将图 意与算式联系起来，看懂图意，理解算理，最后又回到 情境图。

3.
在“常见的量”中呈现辅助图，有利于学生认识 常见的“量”，建立“量”的概念。

教学时教师先用实物
图引出“量”“统一标准单位”，再呈现模型图，帮助学生 在头脑中建立起“1个单位量”的概念。

4. 在“式与方程’’中呈现辅助图，可以辅助学生理 解等式与方程的意义。

教学时一般先由天平两端处于
平衡状态的图示引出等式，再根据实物图的等量关系
引出方程，最后利用不同类型的辅助图促进学生对方
程和等式意义的理解。

5. 在“比和比例”中呈现辅助图，能够促进学生对 比和比例的意义的理解，运用比和比例的知识解决问 题。

教学时，教师先以情境图引入教学，让学生感知 比和比例的意义，然后将比和比例的意义与图形结合 起来，让学生在解决问题中加深对比和比例的意义的
理解。

6.在“探索规律”中呈现辅助图，有助于学生厘清 思路，找到规律并运用规律。

教学时先引导学生从情 境图中发现规律，再利用示意图呈现规律，最后运用规 律解决数学问题。

通过梳理和分析，我们可以将在数学教材中出现 的分散的辅助图串联成线，从辅助图的演变中发现数 学知识之间的内在联系，进而更好地挖掘辅助图的价 值与意义，充分发挥辅助图的辅助作用，提高学生活用 辅助图解决数学问题的能力。

(二)教材中辅助图的分类
依据小学生认知规律和心理发展水平特征，尤其 是思维方式从形象思维逐渐向抽象思维过渡发展的特 点，以及教材中辅助图的呈现形式，我们将小学数学教 材中出现的辅助图分为五大类（见表2)。

表2
辅助图的分类
类型
内容
特点
实物式辅助图情境图、简单实物 图，如白兔、灰兔、 香蕉、苹果、小棒等具体形象，
生动活泼，能够唤醒 学生的生活经验，
激发学习兴趣符号式辅助图点子图、
五角星、三 角形、圆、方形、菱 形、箭头等
半抽象，从生活原型中抽象出数 学符号，逐步向抽象思维过渡，
有助于学生构建数学模型，积累 数学活动经验
学具式辅助图尺子、
色条图、方格 图、
方块图、数位图 等
半抽象，从动态的学具图演变成 静态的学具图，逐步向抽象思维 过渡，有助于学生构建数学模 型，积累数学活动经验几何直
观式辅助图
平面图、立体图、线 段图（
数射线）等抽象，简洁明了，有助于学生暴 露思维，掌握数学知识综合式辅助图分解图、表格枚举、 流程图、思维导图 等
抽象，较高层次的思维形式。

它 能够辅助学生转译数学语言，使
学生有序思考，提升数学素养辅助图的分类方式不唯一，也不存在好坏之分。

以上分类方式尽可能遵循学生的思维发展规律与认知 特点，教材中辅助图的呈现由具体到半抽象再到抽象， 逐层递进。

(三）辅助图的教学功能辅助图是小学数学教材编写的一个显著特点，体 现了数学课标提出的“从学生已有的生活经验出发，让 学生亲身经历把实际问题抽象成数学模型，并进行解 释与应用的过程，进而在获得数学理解的同时，在思维 能力、情感态度与价值观方面都得到发展”的基本理 念。

辅助图能够将抽象的数学知识具体化，激发学生 学习数学的兴趣，促进学生积极思考，对教师的“教”与 学生的“学”具有重要意义（如图2)。

辅助图是教师开 展教学和学生进行数学探究的载体，在教学中具有辅助功 能，有利于教师提高教学质量，有助于学生提升学习效率。

图2辅助图在教学过程与学习过程中的功能示意图
三、活用辅助图优化数学教学的五大策略
在学习数学的过程中，学生需要经历观察、实验、 猜想、计算、推理、验证等过程，从中获取数学知识，积 累数学活动经验。

在此过程中，学生利用辅助图进行 学习，能够充分暴露思维，提高数学能力。

为此，我们 在“数与代数”领域进行了一系列实践探索，形成了五 大策略。

(一）悦趣激情：激发兴趣，感知学习内容
“悦趣激情”是指教师在数学教学中有意识地运用 情境图辅助教学，达到以趣激情、以图悦情的目的。

运 用“悦趣激情”策略开展教学，有助于唤醒学生对生活原 型的记忆，将数学与生活联系起来，将原有的知识和经 验融入即将学习的新知识中，抽象出数学概念，并在观 察图形中发现问题，初步感知学习内容。

“悦趣激情”策略注重让学生获取生活原型，激发 学习兴趣，发现数学问题，突出教学的生动性、问题性、 活动性等特点
，一
般用于课堂教学导入环节。

以小学
数学六年级上册《比的认识》为例，很多教师的做法是 直接从生活中的事例引入“比的意义”这一学习内容，
教学方法单一、直接，学生缺乏兴趣，难以进入学习状 态。

活用辅助图导入教学，教师可以从学生的生活原型中获取实物图------面国旗，再以国旗的长和宽的关系作为切入点，逐步引导学生学习“比”的知识，理解 “比”的概念，再逐渐剥离现实，抽象出“比”的意义和本 质。

教师从贴近学生生活实际的情境图、实物图导入 教学，引发学生的学习热情，唤醒学生的生活经验，让 学生获得丰富而全面的生活原型的支撑，在此基础上 感知学习内容,进而理解数学概念。

(二） “嫁接”迁移：“嫁接”数学思维，注重学习过程
“嫁接”迁移是指教师在学生思维产生断层或思维出现混淆时，有意识地利用辅助图进行点拨和引导，使 学生的思维变得清晰而明确。

小学生的思维处于形象
思维阶段，他们对抽象概念的理解需要借助丰富的感 性材料，因此，教师在教学时将数与形结合起来，可以 丰富学生的感性认识，帮助学生厘清思路，掌握正确的 解题方法。

“嫁接”迁移策略适用于新知识的教学，是教 学中最常用的一种策略。

以小学数学四年级下册《小数的意义》为例，有的
教师在教学时直接由米和分米的关系引出一位小数， 由米和厘米的关系引'出两位小数,进而教学“小数的意 义”这一内容。

值得注意的是，小数是学生对整数、分 数有了初步认识之后需要学习的一种新的数。

从整 数、分数到小数，学生有一个思维断层，教学时教师需 要采用数形结合的方法，利用几何直观将一位小数、两 位小数、三位小数直观地呈现出来，将抽象的数与具体 的图形联系起来，帮助学生理解一位小数表示十分之 几，十分之几可以写成一位小数。

及时“嫁接”思维断 层，“小数的意义”就会以图文结合的形式在学生的脑 海中建立起表象。

(三） 驱动建模：构建模型，积累数学活动经验
“驱动建模”是指在问题解决过程中，通过对同类 问题多个实例的研究，总结出解决某一类问题的规律 与方法，形成一个问题解决模型，并能运用这个模型解 决实际问题的整体方案。

“驱动建模”策略不是简单地 在所有的概念或命题之前机械地装上一个数学建模的 实例，而是合理运用辅助图，驱动学生构建数学模型， 积累数学活动经验，培养数学思想。

以小学数学五年级上册《烙饼问题》为例（如图3)。

学习过程
•感知——发现问题
•理解——探究新知 •巩丨A 1—丰富方法 •应用——提升能力 •创新——
优化思维
辅
助
图
趣维验型 S
经模
发露累11 激暴
积构程三|过
人授
同结
学导新巩小 教：
21_怎样才能尽快吃上饼？f每次最多只能烙2张饼，1面都要络，每面3分钟一爸爸、妈妈和 每人〗张 J m〇©@
第1次第2次第3次
图3 “烙饼问题”示意图
教学时，教师通过文字说明、记录数字的方式研究最节 省时间的一种烙饼方法。

在这个过程中，学生只是在 结论之前机械地装上数学模型，教师的教学侧重学生 的学习结果，忽视了学生探究的过程。

利用辅助图进 行教学，能够让学生经历“操作一画图一建模”的探究 过程，思维由形象思维过渡到抽象思维，促使思维层层 深入，驱动建模，逐步得出烙饼张数与所用最短时间之 间的关系。

这个过程有利于学生积累数学活动经验，构建数学模型。

特级教师马芯兰认为，从本源上说，一切科学研究 都离不开形象的感受、贮存、识别和模型的建立等形象 思维活动。

科学理论的抽象描述，以观察和实验为基 础。

辅助图的运用为学生学习代数知识奠定了基础，有利于学生在学习数学的过程中构建起一个较为完整 的知识结构，形成初步的代数思想。

(四）化繁为简：转译数学语言,精简数学思维
“化繁为筒”是指教师运用辅助图进行教学时，能够将数学语言转译成图形语言，将抽象的数学知识具 体化，达到化难为易、化繁为简的目的。

数学语言是数 学思维的载体，也是表达和交流的工具。

辅助图基于 数形结合的思想，在“数与代数”领域将数学语言（包括 符号语言）转译为图形语言。

该策略适用于“数与代 数”领域新授课内容或课堂练习环节。

以小学数学一年级上册《9加几》教学为例(见图4)。

9 + 5 =回
图4 “9加几”小棒图
在教学中我们发现，虽然教师鼓励学生用自己喜 欢的方式说一说加法算式的含义，但有的学生还是无 法说清楚。

利用小棒图，将加法算式与图形联系起来，将图形语言转译为数学语言，有利于学生厘清思路，化繁为简，更好地理解“凑十法”的过程与意义，促进数学 语言的形成和发展，发展数感。

辅助图能够将数学算式转译为数学语言，将复杂 的数学知识变得简明形象，因此，教师应重视培养学生 运用语言描述图形的能力。

华罗庚教授提出在数学表 达上要做到“想得清楚，说得明白，写得干净”。

所以，教师要鼓励学生动笔画、动口说、动脑想，让学生学会 将图形与数学语言进行互译，提高数学能力。

(五）举一反三：拓展延伸，培养创造意识
“举一反三”是指运用辅助图解决一道数学题时，能够拓展延伸，做到举一反三，用它来解决与之相关的 一类问题或若干问题。

这是一种传统的教学策略。

根 据小学生分析数学问题的习惯，能够经常运用辅助图分 析问题和解决问题的学生，举一反三的能力通常比较 强。

该策略适用于课堂练习和问题解决，是促进学生学 习能力发展的重要环节，也是提高教学效益的重要途径。

以小学数学三年级上册《分数的简单应用》为例。

教学中，假如教师只是拓展学习求一个数的几分之几 是多少，而没有引导学生深入探究已知一个数的几分 之一或几分之几是多少，那么拓展延伸的范围就比较 狭窄，无法满足学有余力的学生的学习需求。

假如教 师能够联系学生的生活经验，通过画一画、分一分、涂一涂等操作活动，让学生在动手、动脑、动口等多种表 征联动中理解分数的意义，在简单的问题解决过程中 进行拓展练习，培养学生的逆向思维，那么就有利于学 生真正地理解和掌握分数的意义与应用。

在“数与代数”领域科学合理地运用辅助图进行 教学，通过简单直观的画图法，学生就能够轻松地理 解数的意义和算理，提高问题解决的能力。

辅助图对 学生理解和掌握基本的数学概念、运算技巧和获得数 学学习经验具有一定的帮扶作用，有利于教师突破教 学重难点。

四、辅助图运用的三大原则
(一）层次性原则
辅助图的呈现要符合层次性原则。

随着学习的不
断深入，辅助图的呈现要从具象的实物表征过渡到逐 渐抽象，不同学生的思维发展水平不同，对应的表征方 式也不同（如图5)。

值得注意的是，在不同的年龄阶 段，学生暴露的思维起点不同，表征方式也不一样。

实物图学具图几何图
具体半抽象抽象
图5辅助图层次性原则示意图
辅助图的呈现方式要遵循学生的认知发展规律, 从简单到复杂，从感性到理性，从具体到抽象，既要符 合学生的认知特点和经验基础，又要符合数学学习的规律。

教学小学二年级下册《1000以内数的认识》时，辅助图的呈现由具体到抽象（见图6)。

实物图一•■点子图一■■小棒m-数位表— 算盘
a i i.把相n的数s s来。

—E E B g !S S S S S F：：：：；：：：：：«,；：!.I.!i P«.
图6 “1000以内数的认识”辅助图的呈现遵循层次性原则
(三）价值性原则
教师对辅助图的改进或创新一定要体现价值性原 则。

比如，辅助图的作用要由单一性到多元化，教学过 程由繁到简，教学实质由外显到内蓄。

以小学数学五年级上册《方程的意义》教学为例，若教师只把天平的“平衡”“左边”“右边”与式子进行挂 靠，得出等式的概念，这是不够的，还要注意呈现“天平一 数量关系一方程一天平”的演变过程，让学生在头脑 中形成“图一式一图”的转变表象，透析方程的意义 (见图7)。

教学引入立体图，通过点子图让学生感知数的多 少，建立数感；捆绑好的100根小棒既是点子图的半抽 象，又与计数器上标示百位上的一颗珠子相对应，有利 于学生理解百位上的一颗珠子代表100根小棒；最后 呈现的算盘图隐含着计数器更大的数位，代表计数单 位的延伸，同样可以借助计数器把数表示在算盘上。

(二）整体性原则
在运用辅助图进行教学时，教师的设计要符合整 体性原则，使用的辅助图与学习内容要紧密关联，能够 用辅助图连接学生的思维断层，在推理时充分发挥图 形的辅助作用。

教师在教学过程中要充分用好辅助图，做到数形 结合，图式结合，教会学生“看图讲理”，用图检验计算 结果，教学设计要有整体性，发挥辅助图的辅助优势。

在教学小学数学三年级上册《整数笔算乘法》例1时，教师可以利用情境图引出课题，借助情境图，通过“水彩笔实物图一小棒学具图一竖式”的演变过程，探究整 数笔算乘法的算理、算法。

在巩固知识环节，教师可以 引导学生分析小棒学具图，在圈一圈、写一写中进一步 理解整数笔算乘法的算理，此时，学生对整数笔算乘法 的理解就会是丰富的、深刻的。

2.4元
数量关系：单价x数量=总价
列式：3j c=2.4
像100+jc=250, 3;c=2.4…
…这样，含有未知数的等式就是方程。

图7 “方程的意义”教学中辅助图的运用
如图7所示，教师对辅助图进行优化和创新运用 后，“天平”作为方程的原型就会深深地印在学生的脑 海里，为后续学习奠定基础。

辅助图的优化与创新必 须遵循价值性原则，学生通过学习和运用，能够学会图 与式的相互转换，这也是运用辅助图进行教学的最高 境界。

在运用辅助图优化小学数学“数与代数”领域教学 过程中，我们总结出运用辅助图优化教学的五大策略 和三大原则。

在实践探索中，教师对辅助图的理解和 运用水平在不断提高，为在数学教学中合理、高效地运 用辅助图解决问题做出了示范，同时带动了一群教师 参与课题研究，促进了教师专业素养的快速提升。

学生在利用辅助图进行学习与思考过程中，学会了看图、画图、用图，在掌握了各种解题策略与方法的同时，建立了“我要学、我能行”的学习自信，不仅数学能力有所 提高，而且发展了数学素养。

(责编欧孔群)。