[高考真题]2019年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ) Word版含答案

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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷
类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上.
2．作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，,则M N I = A ．}{43x x -<<
B ．}42{x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
2．设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则
A ．22
+11()x y +=
B ．221(1)x y +=-
C ．22(1)1y x +-=
D ．2
2(+1)1y x +=
3．已知0.20.32
log 0.220.2a b c ===，，,则 A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
12（
1
2
≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐
．若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190cm
5．函数f (x )=
2
sin cos ++x x
x x 在[,]-ππ的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．
516
B ．
1132
C ．
2132
D ．
1116
7．已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
8．如图是求
112122
+
+的程序框图,图中空白框中应填入
A ．A =
1
2A
+ B ．A =12A
+
C ．A =
1
12A
+
D ．A =112A
+
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，,则
A ．25n a n =-
B ． 310n a n =-
C ．2
28n S n n =-
D ．2
122
n S n n =
- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若22||2||AF F B =,
1||||AB BF =,则C 的方程为
A ．2
212x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（
2
π,π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是
P A ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为
A ．
B ．
C ．
D
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．曲线2
3()e x
y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若21461
3
a a a ==，,则S 5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束）．根据前期比
赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分
别交于A ,B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ,120F
B F B ⋅=u u u
r u u u u r ,则C 的离心率为____________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必
须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)
ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=,求sin C ． 18．（12分）
如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4,求l 的方程；
（2）若3AP PB =u u u r u u u r
,求|AB |．
20．（12分）
已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点；
（2）()f x 有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中(1)a P X ==-,
(0)b P X ==,(1)c P X ==．假设0.5α=,0.8β=．
(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列；
(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2
221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题
13．y =3x 14．
121
3
15．0.18 16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得2
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得2
2
2
b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=． 因为0180A ︒
︒
<<,所以60A ︒
=．
（2）由（1）知120B C ︒
=-,()
sin 1202sin A C C ︒+-=,
1sin 2sin 2C C C +=,可得()cos 60C ︒+=．
由于0120C ︒︒
<<,所以()
sin 602
C ︒
+=
,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-
()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+
=
． 18．解：（1）连结B 1C ,ME ．
因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,
所以ME ∥B 1C ,且ME =
1
2
B 1
C ． 又因为N 为A 1
D 的中点,所以ND =
1
2
A 1D ． 由题设知A 1
B 1=P D
C ,可得B 1C =P A 1
D ,故M
E =
P ND , 因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．
以D 为坐标原点,DA uuu r
的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则
(2,0,0)A ,A 1(2,0,
4),2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-u u u r
,1(12)A M =--u u u u r ,1(1,0,2)A N =--u u u u r
,(0,MN =u u u u r
．
设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则110
0A M A A ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ,
所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，
．
可取=m ．
设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r
u u u u
r ，
．n n
所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，
．
可取(2,0,1)=-n ．
于是cos ,||⋅〈〉=
==
‖m n m n m n , 所以二面角1A MA N --
19．解：设直线()()11223
:,,,,2
l y x t A x y B x y =
+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=．
由232
3y x t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩,可得22
912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --
=,得7
8
t =-． 所以l 的方程为37
28
y x =
-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r
可得123y y =-．
由232
3y x t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=,故211,3y y =-=．
代入C 的方程得121
3,3
x x ==
．
故||AB =
． 20．解：（1）设()()g x f 'x =,则1
()cos 1g x x x
=-
+,2
1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,
2x π⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
有唯一零点,
设为α.
则当(1,)x α∈-时,()0g'x >；当,
2x α⎛
π⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点,即
()f 'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点.
（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.
（i ）当(1,0]x ∈-时,由（1）知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,
()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.
（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',
02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时,
()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减.
又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而,()f x 在0,2⎛⎤
⎥⎝⎦
π没有
零点.
（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭单调递减.而
02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤
π ⎥⎝⎦
有唯一零点.
（iv ）当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.
21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.
(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，
，，
所以X 的分布列为
（2）（i ）由（1）得0.4,
0.5,0.1a b c ===.
因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+,故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-,即
()114i i i i p p p p +--=-.
又因为1010p p p -=≠,所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4,首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得
()()()88877610087761013
4 1 p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .
由于8=1p ,故18
3
41
p =
-,所以 ()()()()44433221101411
.325 7
p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=
4p 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率
为0.8时,认为甲药更有效的概率为41
0.0039257
p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
22．解：（1）因为221111t t --<≤+,且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-
.
l
的直角坐标方程为2110x ++=.
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数,ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=.
当2π3α=-
时,π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7,故C 上的点到l
.
23．解：（1）因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =,故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥⨯⨯⨯
=24.
所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥.。