2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题

2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A ．72种
B ．36种
C ．24种
D ．18种
2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()
A B =( )
A ．()1,3-
B ．[]1,3-
C ．[]1,4-
D ．()1,4- 4．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）
A ．()0-∞，
B ．()23，
C ．()()023-∞⋃，
， D ．()3-∞， 5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象是( ) A ． B ．
C ．
D ．
7．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( )
A ．π3
B ．π6
C ．
π2 D ．π4
9．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b
+-+的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．22
11．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种
A ．96
B ．120
C ．48
D ．72
12．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512
AT ES --=（ ）
A 51+
B 51+
C 51R
D - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，3PA AB ==，则该球的表面积为______.
14．已知角6πα+的终边过点(1,22)P --，则sin α=______.
15．不等式1x ax lnx xe ++≤对于定义域内的任意x 恒成立，则a 的取值范围为__________.
16．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆22
:143
x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点． （1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
18．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC ∆分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.
（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
19．（12分）已知函数21()2x f x xe a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
(0,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）曲线()f x 在点()()22f ,处的切线斜率为()
231e -. （i ）求a ；
（ii ）若2
()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值.
20．（12分）已知函数f(x ）=xlnx ，g(x)=232
x ax -+-, （1）求f(x)的最小值；
（2）对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥都有恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >
-成立． 21．（12分）设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22
142
x y +=交于,C D 两点，设直线,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.
（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由.
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ
=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为()2,0-，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）求PM PN ⋅的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解题分析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【题目详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1
名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有
，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有
，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为2×
(9+9)=2×18=36种， 故选：B.
【题目点拨】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
2、C
【解题分析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【题目详解】
设点P 的坐标为(a a ，直线AB 的方程为
122x y -=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则1122222
PAB S AB d d =⋅=⨯=，解得2d = 另一方面，由点到直线的距离公式得2
22a a d --== 整理得0a a =或40a a =，
0a ≥，解得0a =或1a =或9172a =
. 综上，满足条件的点P 共有三个．
故选：C.
【题目点拨】 本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
3、B
【解题分析】
先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()
A B 即可.
【题目详解】
由2340x x -->得4x >或1x <-， ()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4A =-,
又{}13B x x =-≤≤，[]R (
)1,3A B ∴=-.
故选：B
【题目点拨】 本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.
4、C
【解题分析】
直接求交集得到答案.
【题目详解】 集合{|3}
{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .
【题目点拨】
本题考查了交集运算，属于简单题.
5、D
【解题分析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【题目详解】
圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++，当且仅当n m m n =且1m n +=即12
m n ==时取等号， 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
6、A
【解题分析】
由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω
=
求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【题目详解】
根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，
所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T π
πωπ
===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，
由正弦函数和正切函数图象可知A 正确.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
7、A
【解题分析】
根据复数的基本运算求解即可.
【题目详解】
224422(1)2i i i i i
===---. 故选：A
【题目点拨】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
8、A
【解题分析】
由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2
B =
，即可得解B 的值． 【题目详解】
解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=，
∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =，
∵sin 0A >，
∴tan 2sin B B =，
∵()0,B π∈，sin 0B >，
∴1cos 2B =
， ∴3B π
=．
故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9、B
【解题分析】 由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解
【题目详解】 由题意得22sin cos 33
z i ππ=--，
因为2sin 03π-=<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B
【题目点拨】
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 10、A
【解题分析】
由()()f a f b =推导出1b a =，且01a <<，将所求代数式变形为224424 4222a b a b a b a b
+-+=-++，利用基本不等式求得2a b +的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.
【题目详解】
函数()ln f x x =满足()()f a f b =，()()22
ln ln a b ∴=，即()()ln ln ln ln 0a b a b -+=， 0a b <<，ln ln a b ∴<，ln ln 0a b ∴+=，即()ln 01ab ab =⇒=，
21ab a ∴=>，则01a <<，
由基本不等式得122a b a a +=+≥=12a =时，等号成立.
()()()()2222244284424 42222222a b ab a b a b a b a b a b a b a b
+--+-+-+===-++++，
由于函数42x y x
=-在区间)⎡+∞⎣上为增函数，
所以，当2a b +=2244
42a b a b +-+0=. 故选：A.
【题目点拨】
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题. 11、B
【解题分析】
间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论.
【题目详解】
使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，
然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，
根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，
排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，
再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有3
3A ，
根据分步计数原理有23232A A ， 所以共有332334232120A A A A -=种. 故选:B. 【题目点拨】
本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.
12、A
【解题分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【题目详解】
解：515122
AT ES SD SR RD QR -+-=-==.
故选：A
【题目点拨】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、21π
【解题分析】
求得等边三角形ABC 的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD -外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【题目详解】
设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方12PA 处.设1O C r =，由正弦定理得33223,33sin 32
r r π====.所以得三棱锥P ABCD -外接球的半径()()()222211119213244R OO O C PA O C ⎛⎫=
+=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积为22144214
R πππ=⨯
=. 故答案为：21π
【题目点拨】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
14126- 【解题分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得sin sin[()]66ππαα=+-的值．
【题目详解】
解：∵角6πα+的终边过点(1,P --，
∴sin
6πα⎛
⎫+== ⎪⎝⎭1cos 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，
∴sin sin 66ππαα⎡⎤⎛
⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113232⎛⎫=-⋅--⋅ ⎪⎝⎭=，
【题目点拨】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
15、(],1-∞
【解题分析】 根据题意，分离参数，转化为1x xe lnx a x
--≤只对于()0,∞+内的任意x 恒成立，令()ln 1ln 1x x x xe lnx e x x x
g x +----=∴=，则只需在定义域内()min a g x ≤即可，利用放缩法1x e x ≥+，得出ln ln 1x x e x x +≥++，化简后得出()min g x ，即可得出a 的取值范围.
【题目详解】
解：已知1x ax lnx xe ++≤对于定义域()0,∞+内的任意x 恒成立， 即1x xe lnx a x
--≤对于()0,∞+内的任意x 恒成立， 令()1x x
g xe ln x x =--，则只需在定义域内()min a g x ≤即可， ()ln ln 1ln 1ln 1x x x x x xe lnx e e x e x x x x
g x +--⋅---∴=-==， 1x e x ≥+，当0x =时取等号，
由1x e x ≥+可知，ln ln 1x x e x x +≥++，当ln 0x x +=时取等号，
()ln ln 1ln 1ln 11x x e x x x x x x
g x +--++--=≥=∴，
当ln 0x x +=有解时，
令()()ln 0h x x x x =+>，则()110h x x
'=+>， ()h x ∴在()0,∞+上单调递增， 又1110h e e
⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110h =>， ()00,x ∴∃∈+∞使得()00h x =，
()min 1g x ∴=，
则1a ≤，
所以a 的取值范围为(],1-∞.
故答案为：(],1-∞.
【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
16、717
【解题分析】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解.
【题目详解】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，
即求条件概率：()35%7(|)()85%17
P A B P B A P A === 故答案为：717
【题目点拨】
本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0,⎛ ⎝⎭
（2）见解析 【解题分析】
（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标； （2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和01x ≠说明．
【题目详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，
（1）由题知()2,0D
，(E
，则DE k =．因为DE AE ⊥
，所以AE k = 则直线AE
的方程为3y x =+
22314
3y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得482525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故48,2525A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
．则2548225
DA k ==+AD
的方程为2)14y x =-．令0x =，
得y =，故直线AD 与y
轴的交点坐标为0,7⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设
当01x =时，设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，此时直线AF 与x 轴垂直， 其直线方程为1x =，
直线BN 的方程为305205242
y x -⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，显然在椭圆C 上． 同理当31,2A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
时，交点也在椭圆C 上．
当01x ≠时，可设直线BN 的方程为055242
y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，联立方程0002532(1)1y y x y y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪-⎩
， 消去y 得00025(1)321
y y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=-代入00(1)1
y y x x =--中，化简得00325y y x =-． 所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
． 因为22
000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()()()222200000022200025806432580641242525425x x y x x y x x x -+-++=+=---， 又因为2200143
x y +=，所以22004123y x =-， 则()()()()22220000
0022200025258064124202514252525x x x y x x x x x --++-+===---， 所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
在椭圆C 上．
综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
【题目点拨】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
18、（1
）1y =，[]2,3x ∈
.2y =[]2,3x ∈. （2
）当AD =
⎭
百米. 【解题分析】
（1）由23
ADE ABC S S ∆∆=，可解得AE .方法一：再在ADE ∆中，利用余弦定理，可得1y 关于x 的函数关系式；在ADE ∆和AEM ∆中，利用余弦定理，可得2y 关于x 的函数关系式.方法二：在ADE ∆中，可得DE AE AD =-，则有2222DE AE AE AD AD =-⋅+，化简整理即得；同理()12AM AD AE =+，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【题目详解】
解：（1）23
ADE ABC S S ∆∆=，ABC ∆是边长为3的等边三角形，又AD x =， 2121sin 3sin 23323AD AE ππ⎛⎫∴⋅⋅=⨯⨯ ⎪⎝⎭，6AE x
∴=. 由03603AD x AE x <=≤⎧⎪⎨<=≤⎪⎩
，得23x ≤≤. 法1：在ADE ∆中，由余弦定理，得
22222
362cos 63DE AD AE AD AE x x π
=+-⋅⋅=+-. 故直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =
[]2,3x ∈. 在ADE ∆和AEM ∆中，由余弦定理，得 2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠①
()
2222cos AE EM AM EM AM AMD π=+-⋅⋅-∠② 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==
. 由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=
+， 所以2
22226136622x x AM x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2229342x AM x =++. 所以，直道AM 长度2y 关于x 的函数关系式为
2y =[]2,3x ∈. 法2：因为在ADE ∆中，DE AE AD =-，
所以2222DE AE AE AD AD =-⋅+2
22266362cos 63x x x x x x π⎛⎫=-⋅+=+- ⎪⎝⎭.
所以，直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =
，[]2,3x ∈. 在ADE ∆中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+. 所以()
2222211362644AM AD AE AD AE x x ⎛⎫=++⋅=++ ⎪⎝⎭. 所以，直道AM 长度2y 关于x
的函数关系式为2y =
[]2,3x ∈. （2）由（1）得，两条直道的长度之和为
12DE AM y y +=+=
≥
2=（当且仅当2222
369
4x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即x =“=”）.
故当AD =
百米时，两条直道的长度之和取得最小值⎭
百米. 【题目点拨】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.
19、（1）在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；（2）（i ）1；（ii ）2
【解题分析】
（1）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''
><的解，即可得出结论； （2）（i ）由2
(2)3(1)f e '=-，求出a 的值； （ii ）由（i ）得所求问题转化为()
()110x x k e x --++≥，(0,)x ∈+∞恒成立，设 ()()()11x g x x k e x =--++，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x ≥，根据()g x 的单调性，即可求解.
【题目详解】
（1）()
()(1)x f x x e a '=+-
当1a ≤时，()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上增；
当1a >时，()0f x '>，ln x a >，()0f x '<，0ln x a <<，
即()f x 在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；
（2）（i ）()()22(2)331f e a e '=-=-，1a .
（ⅱ）2()()(1)x k f x x '-≥-+，即()
()110x x k e x --++≥， 即()
()()11x g x x k e x =--++，只需min ()0g x ≥. ()(1)x g x x k e '=-+
当1k ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增，
所以()(0)10g x g >=>满足题意；
当1k >时，()0g x '>，1x k >-，()0g x '>，01x k <<-
所以()g x 在()0,1k -上减，在()1,k -+∞上增，
1min ()(1)10k g x g k e k -∴=-=-++≥
令1()1k h k e k -=-++，1()1k h k e -'=-.
(1)0h '=.()h k '在(1,)+∞单调递减，所以()0h k '<
所以()h k 在()1,+∞上单调递减
(1)10h =>，(2)30h e =->，2(3)40h e =-<
综上可知，整数k 的最大值为2.
【题目点拨】
本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.
20、 (1)1e
- (2)（,4]-∞ (3)见证明 【解题分析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【题目详解】
（1）1()=ln 10f x x x e
+=∴=' 当1
(0,)x e
∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当1
(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，所以函数f(x ）的最小值为f(1e ）=1e
-； （2）因为0x >，所以问题等价于22ln 332ln x x x a x x x x
++≤=++在()0,x ∈+∞上恒成立， 记()32ln ,t x x x x =++
则()min a t x ⎡⎤≤⎣⎦， 因为()()()2231231x x t x x x x
+='-=+-， 令()013t x x x =='=-得或舍，
()()0,10,x t x ∈'<时函数f(x ）在（0,1）上单调递减;
()()1,0,x t x ∈+∞'>时函数f(x ）在（1，+∞）上单调递增；
()()min 1 4.t x t ⎡⎤∴==⎣⎦即4a ≤，
即实数a 的取值范围为（,4]-∞.
（3）问题等价于证明()2ln ,0,.x x x x x e e
>-∈+∞ 由（1）知道()11ln ,f x x x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭的最小值
()()()21,0,x x x x x x x e e e
设则φφ-=-∈+='∞，令()01x x 得，φ'== ()()0,10,x x φ∈'>时函数()x φ在（0,1）上单调递增；
()()1,0,x x φ+∞'∈<时函数()x φ在（1，+∞）上单调递减；
所以{()()max 1]1x e φφ==-
， 因此12ln x x x x e e e ≥-≥-，因为两个等号不能同时取得，所以2ln ,x x x x e e
>- 即对一切()0,x ∈+∞，都有12ln x x e ex
>-成立. 【题目点拨】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
21、（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解题分析】
（1）设直线l 的方程为y =kx +b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，12x x ，34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.
【题目详解】
（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点，
故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y
由22y kx b x y
=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.
,OA OB ⊥0OA OB ∴⋅=，
()212121212
04x x x x y y x x ∴+=+=，
故2b = 所以直线l 的方程为2y kx =+
故直线l 恒过定点(0,2).
（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-
121212
y y k k x x ∴+=+ 1212
22kx kx x x ++=+ 12222k x x =+
+ ()1212
22x x k x x +=+k = 设()33,,C x y ()44,D x y
由22214
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=， 3428,12k x x k ∴+=-+342412x x k =+ 343434
y y k k x x ∴+=+ 3434
22kx kx x x ++=+ 34222k x x =+
+ ()3434
22x x k x x +=+
2k =- ()123412
k k k k ∴+=-+，即存在常数12λ=-满足题意. 【题目点拨】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22、（1）l ：2cos sin 40ρθρθ-+=，C ：()2
214x y ++=；（2）3-
【解题分析】
（1）根据点斜式写出直线l 的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用22sin cos 1ϕϕ+=，将曲线C 的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得PM PN ⋅的值.
【题目详解】
（1）l 的直角坐标方程为()22y x =+，即240x y -+=，
则l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ-+=.
曲线C 的普通方程为()2214x y ++=. （2）直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩
（t 为参数，α为l 的倾斜角）， 代入曲线C 的普通方程，得22cos 30t t α--=.
设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，所以123t t ⋅=-，,M N 在()2,0P -的两侧.则
12cos π3PM PN PM PN t t ⋅=⋅⋅=-=-.
【题目点拨】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.。