第3章 平稳线性ARMA模型(2)AR模型

50
自相关系数
• 自相关系数的定义
k k 0
• 平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2
p k p
51
常用AR模型自相关系数递推公式
• AR(1)模型 • AR(2)模型
k , k 0
非 平稳
43
平稳AR模型的统计性质
• • • • • 均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数
44
均值
• 如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有 Ext E(0 1xt 1 p xt p t )
} • 根据平稳序列均值为常数，且 { t为白噪声序列， Ext , E( t ) 0 , t T 有
G ( B) G j B j ，今后将把 G ( B )看作对 其中， t j 0 进行运算的算子，又可作为 B 的函数来讨 论。
14

在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1,) 来表示白噪声 ，即
t
15
16
17
3.2 ARMA模型的性质
39
AR模型平稳性判别方法
• 特征根判别
• AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位 圆内 • 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
• 平稳域判别
• 平稳域
{1 ,2 ,, p 单位根都在单位圆内 }
40
AR(1)模型平稳条件
10
11
• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳 序列，且 G 是均方收敛的。
j j t j
12
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
13
• 设 B 为一步延迟算子， 则 B j X t X t j， j 0 ，(3.4)可表为：
本节结构
• 方法性工具 • 线性过程的因果性和可逆性 • AR模型
1
3.1 方法性工具
• 差分运算 • 滞后算子 • 线性差分方程 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相 应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性 差分方程，这些工具会使得时间序列模型 表达和分析更为简洁和方便
2
差分运算
• 一阶差分
• p 阶差分 • k 步差分
19
20
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性 的条件是对应的特征方程 0 的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。 对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
21
22
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)： • 引入延迟算子 B 的表达形式为：
2
p
35
AR模型平稳性判别
• 判别原因
• AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
• 判别方法
• 单位根判别法 • 平稳域判别法
36
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
23
24
• 下面利用特征方程的根与模型参数1 , 2 的关系，给出AR(2) 模型平稳的1 , 2 的取值条件（或值域）。
(1 1 )(1 2 ) 0
25
• (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回 归参数 1 , 2 所应具有的条件。反之，若 (3.16)和(3.17)式成立，则特征方程 2 1 2 0 特征方程的根必落在单位圆内。
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）
18
3.2.1一阶自回归过程AR(1)
• 通常地，由于经济系统惯性的作用，经济 时间序列往往存在着前后依存关系。最简 单的一种情形就是变量当前的取值主要与 其前一时期的取值状况有关，用数学模型 来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回 归模型。
• 齐次线性差分方程
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p 0
7
齐次线性差分方程的解
• 特征方程
p a1p1 a2p2 a p 0
1 , 2 ,, p
• 特征方程的根称为特征根，记作 • 齐次线性差分方程的通解
26
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角 形区域，见下图阴影部分。
,
1 2
2
1 1, 2 1

27
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型： X t 0.7 X t 1 0.1X t 2 t 试判别 X t 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
• 特征根

• 平稳域
〈 1
41
AR(2)模型平稳条件
• 平稳域
• 特征根
1 1 12 42
2
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
42
例3.1平稳性判别
模 型
(1)
特征根判别
1 0.8
1 1.1
1 • 在平稳AR(p)模型两边同乘 xt k , k ，再求期望
协方差函数
E( xt xt k ) 1E( xt 1xt k ) p E( xt p xt k ) E( t xt k )
• 根据
E( t xt k ) 0
• 得协方差函数的递推公式
• 不相等实数根场合 z c t c t c t t 1 1 2 2 p p • 有相等实根场合 t zt (c1 c2t cd t d 1 )1 cd 1td 1 c p tp • 复根场合 z r t (c eit c eit ) c t c t
AR模型的定义
33
AR(P)序列中心化变换
• 称 { yt }为 {xt } 的中心化序列 ，令

0
1 1 p
yt xt
34
自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化 AR( p) 模型又可以 简记为
( B) xt t
• 自回归系数多项式
(B) 1 1 B 2 B p B
p
4
延迟算子的性质
• • • • •
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1, c为任意常数
B( xt yt ) xt 1 yt 1
B n xt xt n
(1 B) (1) C B
n n i 0 i n n i
i Cn
t 1 2 3 3 p p
8
非齐次线性差分方程的解
• 非齐次线性差分方程的特解
• 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t )
• 非齐次线性差分方程的通解
• 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的 特解之和 z t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
37
例3.1平稳序列时序图
(1) xt 0.8xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
38
例3.1非平稳序列时序图
(2) xt 1.1xt 1 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
, k 1
k 1 k 1 2 k 2 p k p
48
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
• 递推公式
k 1 k 1
k 1 0
• 平稳AR(1)模型的方差为
2 0 1 12
• 协方差函数的递推公式为 2 k 1k 2 , k 1 1 1
inncin??5用延迟算子表示差分运算?阶差分?步差分pkitpiipptptpxcxbx????0????11tkkttkxbxx1??????6线性差分方程?线性差分方程z?齐次线性差分方程?tz2211thzazazaptpttt?????????02211???????ptpttzazaza?7齐次线性差分方程的解11??a???特征方程?特征方程的根称为特征根记作?齐次线性差分方程的通解?不相等实数根场合?有相等实根场合z??复根场合022??????ppppaa?p???21?tpp?t2t1tcccz?2?1?????tpp?tddt1ddtcctctcc??1????????t????1121tpp?t3it?ittccececrz?3???????218非齐次线性差分方程的解?非齐次线性差分方程的特解?使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解?非齐次线性差分方程的通解?齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和??tttzzz???tz??2211thzazazazptpttt?????????????????tz910线性平稳时间序列分析?在时间序列的统计分析中平稳序列是一类重要的随机序列
，其中
n! i!(n i )!
5
用延迟算子表示差分运算
• p 阶差分
p xt (1 B) p xt (1) p C ip xt i
i 0 p
• k 步差分
k xt xt k (1 Biblioteka Baidu ) xt
k
6
线性差分方程
• 线性差分方程 zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p h(t )
xt xt xt 1
p xt p1 xt p1 xt 1
k xt xt k
3
滞后算子
• 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列 值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序 列值的时间向过去拨了一个时刻 • 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
zt zt zt
9
线性平稳时间序列分析
• 在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要 的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论 知识，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地 描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它 是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模 型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质， 也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。 本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这是 时间序列统计分析中的重要理论基础。
t i i xt (1B) t 1 t i 1 1B i 0 i 0
G j 1 , j 0,1,
j
2 • 平稳AR(1)模型的方差 2j 2 2 Var( xt ) G j Var( t ) 1 2 1 147 j 0 j 0
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
32
• 具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模 型，简记为 AR( p) xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
p 0 2 E ( t ) 0，Var( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t • 特别当 0 0时，称为中心化AR( p) 模型
49
例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差
• 平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
1 2 2 0 (1 )(1 )(1 ) 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 k 1 k 1 2 k 2，k 2
1
1 i 2
平稳域判别
结 论
平稳 非 平稳 平稳
0.8
1.1
2 0.5,2 1 0.5,2 1 1.5
(2)
(3)
1 i 2 2
(4)
1 3 1 3 1 2 2 2
2 0.5,2 1 1.5,2 1 0.5
• 推导出

1 1 p
45
0
方差
• 平稳AR模型的传递形式
xt G j t j
j 0
• 两边求方差得
2 Var( xt ) G 2 j , G j为Green函数 j 0

46
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
• 平稳AR(1)模型的传递形式为 • Green函数为