《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案
（第2页，共19页）
试卷一：
一、单项选择题（3分×5=15分）
1、1、下列各式正确的是（ ）
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋃;
（C ）1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋂;
2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='
(D) P P =
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数
（C ）{}inf ()n n
f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('
x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,o
E =______,E =______.
3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
得 分
得 分
（第3页，共19页）
_________________________________，则称E 是L 可测的
4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举
反例说明.(5分×4=20分)
1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E
f x >⎰
得 分
（第4页，共19页）
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，
是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0
ln()lim cos x
n
x n e xdx n
∞-+⎰
得 分
（第5页，共19页）
五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .
2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数
,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

得 分
（第6页，共19页）
4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n n
n me ⋅=.
5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集
F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。

(鲁津定理的逆定理)
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试卷一 答案：
试卷一 （参考答案及评分标准）
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D
二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂
4、充要
5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
∑成一有界数集。

三、1．错误……………………………………………………2分
例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分
2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分
例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分
4．错误…………………………………………………………2分
0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =⎰…5分
四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分
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因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分
因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101
()3
f x dx x dx ==⎰⎰…8分
2．解：设ln()()cos x
n x n f x e x n
-+=
，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分
又因'
2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+…………………………………6分 但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞∞
==⎰⎰…………………………………8分
五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂
B M B ∴∃⊂是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A M
M ∴⋃是可数集， ……………………………….3分
(\),(\),()(\),(\),
B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=且…………..5分
,.E B B c ∴∴=………………………………………………6分
2．,{},lim n n n x E E x x x →∞
'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分
,()n n x E f x a ∈∴≥………………………………………….3分
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥在点连续，
x E ∴∈…………………………………………………………5分
E ∴是闭集.…………………………………………………….6分
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3.
对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ⊂
当1
()n
i i i b a δ=-<∑时，有1
()()1n
i i i f b f a =-<∑………………2分
将[,]a b m 等分，使
1
1
n
i i i x x
δ-=-<∑，对:T ∀101i x z z -=<k i z x <<=，有
1
1
()()1k
i
i i f z f z
-=-<∑，所以
()
f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函
数……………………………….5分 所以
1
()1,
i
i x x f V -≤从而
()b
a
f m
V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函
数…………………………………………………………..6分 4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞
⇒≥==+∞=……2分
据积分的绝对连续性，
0,0,,e E me εδδ∀>∃>∀⊂<，有
|()|e
f x dx ε<⎰………………………………………………….4分
对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>∃∀>≥<，从而|()|n
n e n me f x dx ε⋅≤<⎰，即
lim 0n n
n me ⋅=…………………6分
5．,n N ∀∈存在闭集
()1
,,()2n n n
F E m E F f x ⊂-<
在
n
F 连
续………………………………………………………………2分
令
1n
k n k
F F ∞∞
===
，则
,,,()
n n n k
x F k x F n k x F f x ∞
=∀∈⇒∃∈⋂∀≥∈⇒在F 连
续…………………………………………………………4分 又对任意k ,()[()][()]n n n k
n k
m E F m E F m E F ∞
∞
==-≤-⋂=⋃-
1
()2
n k n k
m E F ∞
=≤-<
∑…………………………………………….6分
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故()0,()m E F f x -=在F E ⊂连续…………………………..8分 又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的 可测函数………………………………………………………..10分
试卷二：
《实变函数》试卷二
专业________班级_______姓名 学号
注 意 事 项
1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

一.单项选择题（3分×5=15分）
1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ） (A) M (B) N (C) M N ⋂ (D) ∅
2. 下列说法不正确的是( )
(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是
E 的聚点 题号
一 二 三 四 五 总分 得分
得 分
(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是
E 的聚点 (D) 内点必是聚点
3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；
4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积
二. 填空题(3分×5=15分)
1、设11
[,2],1,2,
n A n n n
=-=，则=∞
→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o
P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11
______i i i i m S mS ∞
∞
==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________
_______________________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________
_____________________________________________________________________________________________则称()F x 为[],a b 上
得 分
的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得 分
四.解答题(8分×2=16分)
1、设,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -
可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 1
3
22
0lim sin 1n nx nxdx n x →∞
+⎰
.
得 分
得 分
五.证明题(6分×3+ 82⨯ =34分)
1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，
})(|{c x f x E >= 是一开集.
2.(6分) 设0,,G E ε>∃⊃开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b
a f x x dx ϕε-<⎰.
试卷二（参考答案及评分标准）
一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1，()0,2 2，c ；0 ；∅ 3， ≤
4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ⊂，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>∃>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间
(),,1,2,
,,i i a b i n =只要()1
n i i i b a δ=-<∑，就有1
|()()|n
i i i F b F a ε=-<∑
三、1．错误……………………………………………………2分
记(0,1)中有理数全体12{,,}R r r =12
2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ϕϕϕϕ+=⎧⎪=⎪⎨==⎪⎪=
⎩为，中无理数，
显然[01]0111ϕ-是，到（，）上的映射。

……………………………5分 2．正确……………………………………………………………2分 设i E 为零测度集， *
*
1
1
0(
)0i i i m E m E ∞
∞==≤≤=∑，所以，*
1
(
)0i i m E ∞
==
因此，
1
i i E ∞
=是零测度集。

………………………………………5分
3．错误……………………………………………………………2分
例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]
()1,2,
0,(,)
n x n f x n x n ∈⎧==⎨∈+∞
⎩
显然()1,n f x →当x E ∈。

但当01σ<<时，[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞ 且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.………………5分 4．错误…………………………………………………………2分
例如：cos ,01,
()20,0.
x x f x x
x π⎧
<≤⎪=⎨⎪=⎩显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划11
11
:01221
32
T n n <
<<<
<<-，则容易证明 21111
|()()|n
n
i i i i f x f x i
-==-=∑∑，从而得到10()V f =∞…………………5分
测.…………………………………………………………………5分 由()E G G E =--知，E 可测。

…………………………………6分 3、易知()()x
a g x f V =是[],a
b 上的增函数………………………2分
令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有
2
1212121212121()()()()[()()]
()[()()]|()()|[()()]0
x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥
所以()h x 是[],a b 上的增函数……………………………………4分
因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限增函数…………. ……………………………………………………….6分
4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可测
集
k E E
⊂，
()
n f x 在
k
E 上一致收敛于()f x ，且
1
(\)k m E E k
<
…………………………………………………3分 令*
1
k k E E ∞
==
，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……………5分
*
1
1
(\)(\
)(\)k k k m E E m E E m E E k
∞
==≤<
，k=1,2
所以*(\)m E E 0=………………………………………………8分 5、证明：设[||],n e E f n =>由于
()f x 在E 上..a e 有限，故
0,()n me n →→∞………………………………………………..2分 由
积
分
的
绝
对
连
续
性
，
对
任
何
0,N
ε∀>∃，使
|()|4
N
N e N me f x dx ε
⋅≤<
⎰………………………………………4分
令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ⊂和在1R 上的连续函数()x ϕ使（
1）
(\);4N N m B F N
ε
<
（2）N
x F ∈时，()()f x x ϕ=，且
1sup |()|sup |()|N
x F x R x f x N ϕ∈∈=≤……………………6分
所以
\|()()||()()||()()||()||()||()()|24
44
4
2
N
N
N
N
N N
b
a
e B e e B F N
f x x dx f x x dx f x x dx
f x dx x dx f x x dx N me N N
ϕϕϕϕϕε
ε
ε
ε
ε
ε
-≤-+-≤++-≤
+⋅+⋅
≤
+
+
=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
……………………...8分。