大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试
一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分)
1. )(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f 。

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无
穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3.
若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ,
则( ）。

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
(A ）22x （B)2
2
2x
+(C ）1x - （D)2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）
5. =
+→x
x x sin 2
)
31(lim 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =⋅⎰x x x
x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ 。

8.
=
-+⎰
2
1
2
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. ．
　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12.
设函数
)(x f 连续,
=⎰1
()()g x f xt dt
,且
→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数。

求'()
g x
并讨论'
()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处
切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐
标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形
D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分)
16. 设
函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0=⎰π
x d x f ,0
cos )(0=⎰π
dx x x f .证
明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()()
解答
一、单项选择题(本大题有4小题， 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
6
e . 6.c
x x +2
)cos (21　。

7。

2π。

8.
3
π。

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e
y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解:7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du u u u u -=
=-++⎰⎰原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11.
解：
10330
()x f x dx xe dx ---=+⎰
⎰⎰
3
()x xd e --=-+⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
　令
321
4
e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解:2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=,
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题(本大题10分） 14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=
-
五、解答题（本大题10分）
15. 解:(1）根据题意,先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程:
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1=
则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则
2131
e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
⎰-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明:1
()()q
f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--⎰⎰
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。

17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上可
导。

)()(x f x F =',且0)()0(==πF F
由题设,有
⎰⎰⎰⋅+===π
π
π
π
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F 。

在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。