数值分析 第三章学习小结

第3章矩阵特征值与特征向量的计算
--------学习小结
一、本章学习体会
通过本章的学习，我知道了求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算的重要课题，在这一章，我了解到了直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法及MATLAB计算程序。

我了解到自己对数值分析及MATLAB的掌握还很肤浅，了解到了自己的不足,同时意识到自己知识点薄弱的地方，还有对知识的理解有偏差。

有的知识点理解的不透彻，自己可以动手做题，但编程实现还需要一定的编程语言知识以及数学知识和机器语言之间的转换。

四种方法各有其特点和适用范围。

幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

此外，用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。

二、本章知识梳理
本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi 、QR 方法等。

本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。

以下是各种方法的运用范围
1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；
2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；
3、Jacobi 方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；
4、QR 方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

3.1幂法与反幂法
一、乘幂法
1、基本思想
])([21
11101∑=-+===n i i k i i k
k k k X X u A u A u λλααλ 2、一般算法
1）任意给定初始向量;0n R u ∈
2）对于k=1，2，...
111---=k k k u u y 1-=k k y A u 1
111X X y k αα→ 3）如果ε<--1k k u u ,则,,1,1m k m k u u -≈
λk u X ≈1
3、三种迭代公式
（1）使用范数2•
（2）使用范数∞•
（3）)max (k u 表示k u 的绝对值最大的分量。

二、反幂法（逆迭代）
对1-A 用乘幂法计算1-A 的按模最大的特征值与相应的
特征向量称为反幂法。

三、带原点位移的反幂法
依据：X p X pI A X AX )()(-=-⇔=λλ
设s λμ≈且s i n i u u i s ≠≤≤-<-<,1,0λλ
则u s -λ为矩阵I A μ-按模最小的特征值。

三、 反幂法的特点
幂法和反幂法也有一定的局限性，由于幂法和反幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况，因此实际使用时很不方便，特别是不适合于自动计算。

只在矩阵阶数非常高，无法利用其他更有效的算法时，才用幂法计算按模最大的特征值和相应的特征向量，而用反幂法计算按模最小的特征值和相应的特征向量。

3.2 Jacobi 方法
一、Jacobi 方法的基本思想
迭代公式： ,3,2,1,10=⎪⎩⎪⎨⎧==-k P B P B A B k
k T k k 二、经典Jacobi 方法的计算步骤)()(k ij k a B =
1、在k B 的非对角元找按模最大的元素)(k pq
a
2、求正交矩阵Pk 使0)1()1(
==++k qp k pq a a 111+++=k k T
k k P B P B 3、控制迭代终止的条件
j i a k ij ≠<,)(ε
4、计算正交阵
12k P PP P =
三、平面旋转变换
1、初等旋转阵 (Givens 矩阵)
2、初等旋转阵的性质
（1）左乘向量x U y pq =
（2）与矩阵相乘
左乘:A U A pq =1 右乘:pq AU A =1 左右乘:pq T pq AU U A =1
四、经典Jacobi 方法
U R N
k U R R I
R N q p k k k k ====-,,2,1,
10
实用Jacobi 方法
1、按行循环消元
2、变容限循环消元法
3.3 QR 方法
矩阵的QR 分解
QR 方法是求一般矩阵的全部特征值和特征向量的一种迭代法。

R Q A = Q ——正交矩阵 R ——上三角矩阵
1、Householder 矩阵（镜面反射阵）
)1(,2=-=v v v v I H T T I H H H H T T ==, H 为对称正交矩阵
设有非零向量n s R ∈ 和单位向量n e R ∈ ，必存在Householder 矩阵H,
使得其中α
是实数，并且α=。

四、 本章思考题
问：Jacobi 法有什么性质？
答：1、Jacobi 法是收敛的。

2、当A 的阶数n 不太高时，算法的收敛速度很快；但当A 的阶数n 变得较大时，其收敛速度将会变慢，即Jacobi 法适合计算中等规模的实对称矩阵的特征值问题。

3、对中等规模问题，具有较好的数值稳定性，求得的结果的精度也很高，得到的特征向量正交性很好。

4、不足之处：运算量大，不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性）。

五、 本章测验题
题：210021012A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，用反幂法求矩阵A 接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取(0)(0,0,1)T x =
解：对A-2.93I 作三角分解得
0.93101000.93102.9300,93101000.931010,9301/0,931000.931/0.93A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
按算法迭代3次， 3.0000954λ≈ ，与准确值3的误差小于410- ，()1,0.9992431,0.9991478T u ≈- 与准确值()1,1,1T
- 比较，残差0.001r ∞< 。