第3章 3.2.2复数习题课

A．－i
B．－1
C．i
1＋i 1＋i2 解析 因为 ＝ ＝i， 1－i 1－i2
1＋i 2 011 2 011 4×502＋3 3 所以 ＝ i ＝ i ＝ i ＝－i，故选A. 1－i
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题型二
复数的几何意义
例2 已知点集D＝{z||z＋1＋ 3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小 值和最大值．
2 b ＋3b＝0， 所以 2b＋3a＝0.
已知b≠0，解得b＝－3，a＝2. 故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.
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1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中 除法运算的关键是将分母实数化；
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2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现； 3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方 程等问题．
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题型一
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复数的四则运算 －2 3＋i 2 2 012 例1 (1)计算： ＋ ＋ 1 ＋ i 1＋2 3i 4－8i2－－4＋8i2 ； 11－ 7i z2－3z＋6 (2)已知z＝1＋i，求 的模． z＋ 1
解 如图所示，设z1，z2对应点分别为A， → → → B，以 OA ， OB 为邻边作▱OACB，则 OC 对 → |＝3，| OB → |＝5， 应的复数为z ＋z .这里| OA
1 2
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→ |BA|＝ 10. → |2＋|OB → |2－|BA → |2 |OA ∴cos ∠AOB＝ → → 2|OA||OB|
解 点集D的图象为以点C(－1，－
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3 )为圆心，1为半径 → 的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP|＝|z|.
由图知，当OP过圆心C(－1，－ 3)时，
与圆交于点A、B，则|z|的最小值是 |OA|＝|OC|－1＝ －12＋－ 32－1 ＝2－1＝1，即
|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，
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3．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于 ( B )
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A．1＋i
B．1－i
C．2＋2i
D．2－2i
21－i 2 解析 z＝ ＝ ＝1－i，故选B. 1＋i 1＋i1－i
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a＋2i 4．已知 ＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b i 等于
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本 课 时 栏 目 开 关 Nhomakorabea【学习要求】 巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运 算并认识复数加减法的几何意义．
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1．以1＋2i的虚部为实部，以3i－2的实部为虚部的新复数是
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( A ) A．2－2i C．3＋i B．2＋i D．2＋3i
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2．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是 ( D ) A．x＝3，y＝3
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B．x＝5，y＝1 D．x＝－1，y＝1
C．x＝－1，y＝－1
解析
x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝－1，y＝1.
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题型三 数 z.
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两个复数相等
例3 设复数z和它的共轭复数 z 满足4z＋2 z ＝3 3 ＋i，求复
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)． 因为4z＋2 z ＝3 3＋i， 所以2z＋(2z＋2 z )＝3 3＋i. 2z＋2 z ＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式， 得2z＋4a＝3 3＋i. 3 3－4a i 所以z＝ ＋2. 2
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根据复数相等的充要条件，得
a＝3 3－4a， 2 1 b＝2.
3 i 所以z＝ 2 ＋2.
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3 a＝ 2 ， 解得 b＝1. 2
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小结
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两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数
方法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴ z ＝a－bi，
a＝1 a－bi ∴ ＝2＋i，∴ ，z＝1－3i. 1＋i b＝－3
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1＋i 2 011 (2)i为虚数单位，则 等于 1 － i
( A ) D．1
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( B )
跟踪训练1 A．－1＋3i C．3＋i
z (1)已知 ＝2＋i，则复数z等于 1＋ i B．1－3i D．3－i
z 本 课 解析 方法一 ∵1＋i＝2＋i， 时 栏 目 ∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i， 开 关 ∴z＝1－3i.
z2－3z＋6 1＋i2－31＋i＋6 3－i (2) ＝ ＝ ＝1－i， z＋1 2＋i 2＋i z2－3z＋6 ∴ 的模为 2. z＋1
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小结 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋
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bi)÷ (c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母 实数化．
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解
i1＋2 3i 2 21 006 (1)原式＝ ＋ ＋ 1 ＋ i 1＋2 3i
4－8i＋8i－44－8i＋4－8i 11－ 7i
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＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.
即|z|max＝3.
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小结 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对
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应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法 则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
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跟踪训练2 已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝ 10，求|z1＋z2|的值．
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( B ) B． 1 C．2 D．3
A．－1
解析
a＋2i ∵ i ＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
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5．复数z＝1＋i， z 为z的共轭复数，则z z －z－1等于( B )
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解析 z＝1＋i，则z z －z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条 件，常用于确定系数，解复数方程等问题．
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跟踪训练3
解
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关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实
根，求实数a的值及方程的实数根．
设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai ＝0，化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.
32＋52－10 4 ＝ ＝5. 2×3×5
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4 → |＝|OA → |＝3， ∴cos ∠OBC＝－ .又|BC 5
→ ∴|z1＋z2|＝|OC|
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＝
→ → → → |OB|2＋|BC|2－2|OB||BC|cos ∠OBC
＝ 58.
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