5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)

a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
例3.已知 a 2，求证： a (a 1) loga (a 1) 1 log
证明： a 2，
loga (a 1) 0，loga (a 1) 0
又 loga (a 1) loga (a 1)， log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) 2 1 1 2 log a ( a 1) log a a 2 =1 2 2
2 2
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
loga (a 1) loga (a 1) 1
例4已知a1, a 2,...a n R , 且a1a 2...a n 1，求证 （ 1 a1 （ 1 a 2）（ 1 a n） 2 . ）
n
1 y x 练习：1.已知xy 0, 求证：xy 4 xy x y
证明： xy 0, 1 xy 2 xy y x 2 x y
1 y x xy 4 xy x y
当且仅当x=y时等号成立.
a b 2. 已知 a b 0, 0 c d , 求证： c d
证明： a b, c 0, a b (1) c c 又 0 c d, b 0
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
常用已证过的不等式：
1. a2 0（aR）; 2. a 0（aR）; 3. a 2 b 2 2ab (a, b R) 及其变形 ; 2 2
1 x 2 x
1 1 综上所述： x 2 或 x 2 x x
由例1可得一个重要的不等式：
x
由因导果
1 2 ( x 0) x
例2.已知
a, b, c 是不全相等的正数,求证
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
复习：
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最 重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号--下结论.
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（2)—综合法
有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如 算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推 导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合 法.
1 1 例1.已知x 0, 求证：x 2 或 x 2 x x
证明：当 x 0 时， x 1 2 x 1 2
x x
1 当 x 0 时， x 0, 0 x
1 1 ( x) 2 ( x) 2 x x
1 1 ，b 0 c d
b b c d
(2)
a b 由(1)(2) 可知 c d
3 . 已Leabharlann a>0，b>0，c>0，且 a+b+c=1，求证：
1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
小结： 综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式 的逻辑关系是： A B B B ( A 为证明过的 1 2 不等式， 要证的不等式）。 B
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1.设a, b是实数，求证：a2 b2 1 ab a b
2. 已知x 0, 且x 1, 求证： lg x log x 10 2, 或 lg x log x 10 2
3.lg 99 lg101 4
证明：∵ b 2 c 2 2bc, a 0
a(b 2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
①
②
c(a 2 b 2 ) 2abc
③
因为a, b, c不全相等，
所以b 2 c 2 2bc, c 2 a 2 2ac, a 2 b 2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，