七年级下数学第七章-平面直角坐标系知识点总结

七年级下数学第七章-平⾯直⾓坐标系知识点总结
七年级下数学第七章平⾯直⾓坐标系知识点总结
⼀、本章的主要知识点
（⼀）有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

1、记作（a ，b ）；
2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。

3、坐标平⾯上的任意⼀点P 的坐标，都和惟⼀的⼀对有序实数对（b a ,）⼀⼀对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；
4、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；
（⼆）平⾯直⾓坐标系平⾯直⾓坐标系：我们可以在平⾯画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平⾯直⾓坐标系。

1、历史：法国数学家笛卡⼉最早引⼊坐标系，⽤代数⽅法研究⼏何图形； 2、构成坐标系的各种名称；
⽔平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正⽅向
竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上⽅向为正⽅向两坐标轴的交战为平⾯直⾓坐标系的原点
3、各种特殊点的坐标特点。

象限：坐标轴上的点不属于任何象限第⼀象限：x>0，y>0
第⼆象限：x<0，y>0
第三象限：x<0，y<0 第四象限：x>0，y<0
横坐标轴上的点：（x ，0）纵坐标轴上的点：（0，y ）
（三）坐标⽅法的简单应⽤ 1、⽤坐标表⽰地理位置； 2、⽤坐标表⽰平移
⼆、平⾏于坐标轴的直线的点的坐标特点：
平⾏于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平⾏于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

a) 在与x 轴平⾏的直线上，所有点的纵坐标相等；
点A 、B 的纵坐标都等于m ；
b) 在与y 轴平⾏的直线上，所有点的横坐标相等；
点C 、D 的横坐标都等于n ；
三、各象限的⾓平分线上的点的坐标特点：
第⼀、三象限⾓平分线上的点的横纵坐标相同；第⼆、四象限⾓平分线上的点的横纵坐标相反。

c) 若点P （n m ,）在第⼀、三象限的⾓平分线上，则n
m =，即横、纵坐标相等； d) 若点P （n m ,）在第⼆、四象限的⾓平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；
在第⼀、三象限的⾓平分线上在第⼆、四象限的⾓平分线上
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：
关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
e)
点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数； f)
点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数； g) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P -
-，即横、纵坐标都互为相反数；
关于x 轴对称关于原点对称
五、特殊位置点的特殊坐标：
X
m
X
X
X
X
P X
-
六、利⽤平⾯直⾓坐标系绘制区域⼀些点分布情况平⾯图过程如下：
建⽴坐标系，选择⼀个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正⽅向； ? 根据具体问题确定适当的⽐例尺，在坐标轴上标出单位长度；
⼋、点到坐标轴的距离：点到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离=横坐标的绝对值。

即A(x,y),到x 轴的距离=|y|,到y 轴的距离=|x|
例、若点A 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为4则A 的坐标为
分析：到x 轴的距离为5说明点A 的|纵坐标|=5，则纵坐标为5或-5，到y 轴的距离为4，说明|横坐标|=4，则横坐标为4或-4。

综述，点A 的坐标为（4，5）、（4，-5）、（-4，5）、（-4，-5）。

类似的，若点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为6，且在第⼆象限，则点M 坐标为（前两个条件的分析⽅法⼀样，可和四个分类，再加上点M 在第⼆象限，可知点M 坐标符号为（-，+），便可确定答案。

）
九、对称两点的坐标特征：1、关于x 轴对称两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。

2、关于y 轴对称两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同。

3、关于原点对称两点：横、纵坐标均互为相反数。

即：若A （a,b) ,B(a,-b), 则A 与B 关于x 轴对称，若A （a,b), B(-a,b),则A 与B 关于y 轴对称。

若A （a,b),B(-a,-b),则A 与B 关于原点对称⼆、经典例题
知识⼀、坐标系的理解
例1、平⾯点的坐标是（）
A ⼀个点
B ⼀个图形
C ⼀个数
D ⼀个有序数对知识⼆、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标
点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x<0, 在x 轴的正半轴上时，x>0 点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴上时，y>0 第⼀、三象限⾓平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x 直线上)；坐标点（x ，y ）xy>0第⼆、四象限⾓平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x 直线上)；坐标点（x ，y ）xy<0
例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ，则点P 的坐标是，若点Q 在y 轴上对应的实数是3
1
，则点Q
的坐标是，
例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是。

学⽣⾃测
1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .
2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为。

3、已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 . 4．平⾏于x 轴的直线上的点的纵坐标⼀定（）
A ．⼤于0
B ．⼩于0
C ．相等
D ．互为相反数 (3)若点(a ,2)在第⼆象限,且在两坐标轴的夹⾓平分线上,则a= . (3)已知点P （x 2
-3，1）在⼀、三象限夹⾓平分线上，则x= . 5．过点A （2，-3）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ，则点B 坐标为（）． A ．（0，2） B ．（2，0）C ．（0，-3）D ．（-3，0）
6．如果直线AB 平⾏于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（）． A ．横坐标相等 B ．纵坐标相等
C ．横坐标的绝对值相等
D ．纵坐标的绝对值相等知识点三：点符号特征。

点在第⼀象限时，横、纵坐标都为，点在第⼆象限时，横坐标为，纵坐标为，点有第三象限时，横、纵坐标都为，点在第四象限时，横坐标为，纵坐标为；y 轴上的点的横坐标为，x 轴上的点的纵坐标为。

例1 .如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( )
A 、第⼀象限
B 、第⼆象限
C 、第三象限,
D 、第四象限. 例2、如果
x
y
＜0，那么点P （x ，y ）在（） (A) 第⼆象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第⼆象限 (D) 第⼀象限或第三象限学⽣⾃测
1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第象限．
2、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是。

3．点 A 在第⼆象限，它到 x 轴、y 轴的距离分别是 3 、2，则坐标是；
4. 若点Ｐ（x ，y ）的坐标满⾜xy ﹥０，则点Ｐ在第象限；
若点Ｐ（x ，y ）的坐标满⾜xy ﹤０，且在x 轴上⽅，则点Ｐ在第象限．
若点P （a ，b ）在第三象限，则点P ＇
（－a ，－b ＋1）在第象限；
5．若点P(m -1, m )在第⼆象限，则下列关系正确的是（） A.10<m D.1>m
6．点(x ，1-x )不可能在（） A.第⼀象限 B.第⼆象限 C.第三象限 D.第四象限
7．已知点P(102-x ,x -3)在第三象限，则x 的取值围是（） A .53<x 或3；（3）0x y +=． (2)点A(1-π,2)在第象限.
(3)横坐标为负,纵坐标为零的点在( )
(A)第⼀象限 (B)第⼆象限 (C)X轴的负半轴 (D)Y轴的负半轴
（4)如果a-b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )
(A)第⼀象限, (B)第⼆象限 (C)第三象限, (D)第四象限.
(5)已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在第象限
(6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a=
知识四：求⼀些特殊图形，在平⾯直⾓坐标系中的点的坐标。

过点作x轴的线，垂⾜所代表的是这点的横坐标；过点作y轴的垂线，垂⾜所代表的实数，是这点的。

点的横坐标写在⼩括号⾥第⼀个位置，纵坐标写⼩括号⾥的第个位置，中间⽤隔开。

例1、X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点Ｐ的坐标为（）
Ａ（2.5,0) B (-2.5,0) C(0,2.5) D(2.5,0)或(-2.5,0)
学⽣⾃测
1、点Ａ（２，３）到x轴的距离为；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为；点C到x轴的距离为1，到y
轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是。

2.若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到x轴的距离是，到y轴的距离是．
3.点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能
为。

4．已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（）．
A．（3，2） B．（-3，-2） C．（3，-2）
D．（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）
5．若点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P有（）
Ａ.１个Ｂ.２个Ｃ.３个Ｄ.４个
6.已知直⾓三⾓形ABC的顶点A(2 ，0)，B(2 ，3).A是直⾓顶点,斜边长为5，求顶点C的坐标 . 7．已知等边△ABC的两个顶点坐标为A（-4，0），B（2，0），求：（1）点C的坐标；（2）?△ABC的⾯积
知识点五：对称点的坐标特征。

关于x对称的点，横坐标不，纵坐标互为；关于y轴对称的点，坐标不变，坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标，纵坐标。

例1. 已知A(－3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________；关于y轴对的点的坐标为____________；关于原点对称的点的坐标为___________；关于直线x=2对称的点的坐标为____________。

，则所得三⾓形与三⾓形ABC的关系（）
例2. 将三⾓形ABC的各顶点的横坐标都乘以1
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．将三⾓形ABC向左平移了⼀个单位
学⽣⾃测
1在第⼀象限到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是______________；在第四象限到x轴距离为5，到y轴距
离为2的点的坐标是________________；
3.点A(-1,-3)关于x 轴对称点的坐标是 .关于原点对称的点坐标是。

4.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m= ,n= .
5．已知：点P 的坐标是(m ,1-)，且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3-,n 2)，则_________,==n m ； 6．点P(1-，2)关于x 轴的对称点的坐标是，关于y 轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是；
7．若），（）与，（13-m n N m M 关于原点对称，则 __________,==n m ； 8．已知0=mn ，则点（m ，n ）在；
9．直⾓坐标系中，将某⼀图形的各顶点的横坐标都乘以1-，纵坐标保持不变，得到的图形与原图形关于________轴对称；将某⼀图形的各顶点的纵坐标都乘以1-，横坐标保持不变，得到的图形与原图形关于________轴对称． 10．点A(3-，4)关于x 轴对称的点的坐标是（） A.(3，4-) B. (3-,4-) C . (3, 4) D. (4-, 3-)
11．点P(1-，2)关于原点的对称点的坐标是（） A.(1，2-) B (1-，2-) C (1，2) D. (2，1-)
12．在直⾓坐标系中，点P(2-,3)关于y 轴对称的点P 1的坐标是（） A (2，3) B. (2，3-) C. (2-, 3) D. (2-，3-)
知识点六：利⽤直⾓坐标系描述实际点的位置。

需要根据具体情况建⽴适当的平⾯直⾓坐标系，找出对应点的坐标。

知识点七：平移、旋转的坐标特点。

在平⾯直⾓坐标系中，将点（x ，y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x-a ，y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y+b ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y-b ）
图形向左平移m 个单位，纵坐标不变，横坐标 m 个单位；图形向右平移m 个单位，纵坐标不变，横坐标 m 个单位；图形向上平移个单位，横坐标，纵坐标增加n 个单位；向下平移n 个单位，不变，减⼩n 个单位。

旋转的情形，同学们⾃⼰归纳⼀下。

例1. 三⾓形ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(4，－3.5)．
把三⾓形A 1B 1C 1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三⾓形ABC ，试写出三⾓形A 1B 1C 1三个顶点的坐标，并在直⾓坐标系中描出这些点；在平⾯直⾓坐标系中，将点M （1，0）向右平移3个单位，得到点1M ，则点1M 的坐标为________．。