(完整版)通信原理教程习题答案第四版(最新整理)

第一章习题
习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。

解：E 的信息量：()
()b 25.3105.0log E log E 1
log 222
E =-=-==P P I 习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。

试求该信息源中每个符号的信息量。

解：
b A P A P I A 24
1
log )(log )(1log 222
=-=-== b I B 415.2163log 2
=-=b I C 415.2163log 2=-=b I D 678.116
5log 2=-=习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。

若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1）这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。

传送字母的符号速率为
Bd
10010521
3
B =⨯⨯=
-R 等概时的平均信息速率为
s
b 2004log log 2B 2B b ===R M R R （2）平均信息量为
符号
比特977.15
16
log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H 则平均信息速率为
b 7.197977.1100B b =⨯==H R R 习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？解：311200 Bd 5*10
B B R T -=
==习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为
96log 96
1
*4832log 321*
16)(log )()(log )()(22264
1
21
+=-=-=∑∑==i i i i M i i x P x P x P x P X H =5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 。

1000*5.795790 b/s b R mH ===习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。

试求码元速率和信息速率。

解：B 6
B 11
8000 Bd 125*10R T -=
==等概时，s
kb M R R B b /164log *8000log 22===习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解
：12V 4.57*10 V
-===习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由，得 28D rh
=63849 km
D ===习题1.9 设英文字母
E 出现的概率为 0.105， x 出现的概率为0.002 。

试求 E
和x 的信息量。

解：
()2222()0.105()0.002
()log E log 0.105 3.25()log ()log 0.0028.97p E p x I E P bit I x P x bit
===-=-==-=-=习题1.10 信息源的符号集由 A ，B ，C ，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。

试求该信息源符号的平均信息量。

解：
符号
/23.216
5log 16581log 81log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑习题1.11 设有四个消息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消
息的出现是相互独立的。

试计算其平均信息量。

解：
符号
/75.12
1
log 2181log 8181log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑习题1.12一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。

对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00 代替 A ，01 代替 B ，10 代替 C ，11 代替D 。

每个脉冲宽度为5ms 。

（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。

（2） 若每个字母出现的概率为,
,,试计算传输的平均
1
4B p =
14C p =310D p =
信息速率。

解：首先计算平均信息量。

（1）
2211
()log ()4*( 2 /44
i i H P p bit x x =-=-=∑、、
平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s
（2）
2222211111133
()log ()log log log log 1.985 /5544441010
i i H P p bit x x =-=----=∑、、
平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。

（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。

解：令点出现的概率为
,划出现的频率为
()
A P ()
B P +=1,
()A P ()B P ()()1
3
A B P P =⇒()34A P =()14B P =(1)
22()log ()0.415()log ()2I A p A bit I B p B bit
=-==-=（2）
符号/811.04
1
log 4143log 43)(log )(222bit x p x p H i i =-=
-=∑习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。

其中16 个出现的概率为
1/32，其余112个出现的概率为1/224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼
此独立。

试计算该信息源的平均信息速率。

解： 符号/4.6224
1log )2241(*112321(*16)(log )(H 22bit x p x p i i =-+-
=-=∑平均信息速率为 。

6.4*1000=6400bit/s 习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率等于多B R 少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率等于多少？
b R 解：
300B R B =300/b R bit s
=习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送 1 小时的信息量
2.23*1000*36008.028Mbit =传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵：
号
max 2
1
log 2.32/5H bit =-=、则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*36008.352Mbit
=习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求和；有四进信号，B R b R 码元宽度为0.5ms ，求传码率 和独立等概时的传信率 。

B R b R 解：二进独立等概信号：3
1
2000,2000/0.5*10B b R B R bit s
-=
==四进独立等概信号：。

3
1
2000,2*20004000/0.5*10B b R B R bit s -=
===小结：
记住各个量的单位：信息量： bit
2log ()
I p x =-信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 2()log ()
i I p x p x =-∑平均信息速率：符号）/ (s/符号)/(/bit s bit =传码率： （B ）B R 传信率： bit/s
b R
第二章习题
习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (=0)=0.5，P (=/2)=0.5θθθπ试求E [X (t )]和。

X R (0,1)解：E [X (t )]=P (=0)2+P (=/2)θcos(2)t πθ π2cos(2)=cos(2)sin 22
t t t
π
πππ+
-cos t
ω习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2
/2/2
/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T
t t dt T
ττπθπτθ→∞-→∞
-=+=+++⎰⎰222cos(2)j t j t
e e πππτ-==+2222()()()(1)(1)
j f j t
j t j f X P f R e d e
e e d
f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp() ,t 0
(){
0, t<0
t X t -≥=试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X (t )的傅立叶变换为：
(1)004
()()441j t t j t j t
X x t e
dt e e dt e dt j ωωωωω
+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰则能量谱密度
G(f)==
2
()X f 2
22
416
114j f ωπ=++习题2.4 X (t )=，它是一个随机过程，其中和是相互统12cos 2sin 2x t x t ππ-1x 2x 计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为。

试求：
2σ(1)E [X (t )]，E []；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)
2()X t 12(,)X R t t 解：(1)()[][]()[]0
2sin 2cos 2sin 2cos 2121=⋅-⋅=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ
因为相互独立，所以。

()X P f 21x x 和[][][]2121x E x E x x E ⋅=又因为，，所以。

[][]021==x E x E [][]12212x E x E -=σ[][]
22
221σ==x E x E 故
()[]()
2
22222sin 2cos σσππ=+=t t t X E (2)因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分21x x 和()21x x t X 和是()t X 布，其概率分布函数。

()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
22
2exp 21σσπz x p (3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+=
()
1222cos t t -=πσ习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)；
(2)；
(3)()f f πδ2cos 2+()a f a -+δ(
)
2
exp f
a -解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

0≥可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

cos t ω解：R (t ，t+)=E [X (t )X (t+)] =ττ[]
cos *cos()E A t A t ωωτ+[]221cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++==功率P =R(0)=
22
A 习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别()t X 1()t X 2为。

试求其乘积X (t )=的自相关函数。

()()ττ21X X R R 和12()()X t X t 解：(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E []
R X ττ1212()()()()X t X t X t X t ττ++==[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++12()()
X X R R ττ习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自cos t ω相关函数为
4210,10 kHZ 10 kHZ
()0,X f f P f -⎧-<<=⎨
⎩
其它(1)试画出自相关函数的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度和功率P 。

()X R τ()X P f
解：(1)()1, 10101
0,x R τττττ+-<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩其它其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图
(2)因为广义平稳，所以其功率谱密度。

由图2-8可见，)(t X ()()τωX X R P ↔()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
()()()[]⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯*-++⨯=
2Sa 2Sa 4112Sa 21210
202200ωωωωωωωδωωδππωx P ()()2
10,21d 21
===
=
⎰
∞
∞
-x x R S P P 或ωωπ
习题2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =。

试求此信号的自相关函数。

sin f
f
ππR X (τ)解：x (t )的能量谱密度为G (f )==
2
()X f 2
sin f
f
ππ其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f e df πτ
τττττ+∞-∞
+-≤≤⎧⎪==-≤<⎨⎪⎩
⎰其它习题2.10 已知噪声的自相关函数，k 为常数。

()t n ()τ
τk -e 2
k R n =
(1)试求其功率谱密度函数和功率P ；(2)画出和的曲线。

()f P n ()τn R ()f P n 解：(1)222
()()2(2)k j j n n k k P f R e
d e e d k f τωτ
ωττττπ-+∞-+∞--∞
-∞
===+⎰⎰
()2
0k R P n
==
(2)和的曲线如图2-2所示。

()n R τ()f P n 图2-2
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
()1, 11
R τττ=--≤<试求X (t)的功率谱密度并画出其曲线。

()X P f 解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
4210,10 kHZ 10 kHZ
()0,X f f P f -⎧-<<=⎨
⎩
其它试求其平均功率。

解： 343
10*104
2
4
1080
2
()2102*10*
*103
3
X f P P f df f df +∞
--∞
====⎰
⎰
习题2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高
/,0
()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。

试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

τ解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
11
122j f j f τ
πτ
πτ
τ
=
++输出信号y(t)的能量谱密度为
2
2
()()()()11()(1)
22y R G f Y f X f H f R j fC
j f τ
ππτ
===
+
+
习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=式中，为常数。

试求该线性系统的传输函数H(f).
[]()/dx t dt ττ解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j *2*()j f X f τπ2f πτ
图2-3RC 高通滤波器
习题2.15 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。

当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。

0
2
n 解：参考例2-10
习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。

若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
的高斯白噪声时，试求0
2
n (1)输出噪声的自相关函数。

(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为
H(f)=
222
1221422j fC f LC
j fL
j fC
ππππ=
-+输出过程的功率谱密度为2
0021()()()21i n P P H LC
ωωωω==
-对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()
4Cn C
R L L
ττ=-(2)输出亦是高斯过程，因此 20
000(0)()(0)4Cn R R R L
σ=-∞==
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。

0
2
n 解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。

由2.15题可知E(y(t))=0 , 200(0)4y n R RC
σ==
所以输出噪声的概率密度函数
202()y x RC
p x n =
-习题2.18设随机过程可表示成，式中是一个离散随变
()t ξ()2cos(2)t t ξπθ=+θ量，且，试求及。

(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、[(1)]E ξ(0,1)
R
ξ图2-4LC 低通滤波器
解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;
E ξπππ=+++=(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2
R E ξξξππππ==+++=习题2.19设是一随机过程，若和是彼此独立且1020()cos sin Z t X w t X w t =-1X 2X 具有均值为 0、方差为的正态随机变量，试求：
2
σ（1）、
；[()]E Z t 2
[()]E Z t （2）的一维分布密度函数；()Z t ()f z （3）和。

12(,)B t t 12(,)R t t 解：（1）
10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=
因为和是彼此独立的正态随机变量，和是彼此互不相关，所以
1X 2X 1X 2X 12[]0
E X X =22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []
E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+又; 1[]0E X =222112()[][]D X E X E X σ=-=221[]E X σ⇒=同理
22
2[]E X σ=代入可得
22
[()]E Z t σ=（2）
由=0； 又因为是高斯分布
[()]E Z t 22
[()]E Z t σ=()Z t 可得
2
[()]D Z t σ
=2
2[()])
2z f Z t σ=-(3)
12121212(,)(,)[()][()](,)
B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=101201102202[(cos sin )(cos sin )]E X w t X w t X w t X w t =--221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ=+=-=令 12t t τ
=+习题2.20求乘积的自相关函数。

已知与是统计独立的平()()()Z t X t Y t =()X t ()Y t 稳随机过程，且它们的自相关函数分别为、。

()x R τ()
y R τ解：
因与是统计独立，故 ()X t ()Y t [][][]
E XY E X E Y =()[()()][()()()()] [()()][()()]()()
Z X Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=++=++=
习题2.21若随机过程，其中是宽平稳随机过程，且自相关
0()()cos()Z t m t w t θ=+()m t 函数为 是服从均匀分布的随机变量，它与彼()m R τ1,10()1,01
0,m R τττττ+-<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩、、θ()m t 此统计独立。

（1） 证明是宽平稳的；()Z t （2） 绘出自相关函数的波形； ()Z R τ（3） 求功率谱密度及功率S 。

()Z P w 解：
（1）是宽平稳的为常数；
()Z t [()]E Z t ⇔00[()][()cos()][()][cos()]
E Z t E m t w t E m t E w t θθ=+=+20
1[cos()][()]0
2w t d E Z t π
θθπ
=+=⎰1212101202(,)[()()][()cos()()cos()]
Z R t t E Z t Z t E m t w t m t w t θθ==++120102[()()][cos()cos()]
E m t m t E w t w t θθ=++只与有关：
1221[()()]()m E m t m t R t t =-21t t τ-=令21t t τ
=+0101{cos()cos[()]}
E w t w t θτθ+++01010010{cos()[cos()cos sin()sin }
E w t w t w w t w θθτθτ++-+200100101cos *[cos ()]sin *[cos()sin()]
w E w t w E w t w t τθτθθ=+-++0011
cos *{[1cos 2()]}0
2w E w t τθ=++-01
cos()2
w τ=所以只与有关，证毕。

1201
(,)cos()*()
2Z m R t t w R ττ=τ（2）波形略；
0001
(1)cos(),10211
()cos()*()(1)cos(),01
22
0,Z m w R w R w τττττττττ⎧+-<<⎪⎪
⎪==-≤<⎨⎪⎪
⎪⎩
、、()()
Z Z P w R τ⇔而的波形为
()Z R
τ可以对求两次导数，再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。

()m R τ()m R τ''2sin(/2)()(1)2()(1)()(/22
m m w w
R P w Sa w τδτδτδτ=+-+-⇔=
=22001
()[()(422
Z w w w w P w Sa Sa ++⇒=+功率S ：(0)1/2
Z S R ==习题2.22已知噪声的自相关函数
，a 为常数： 求和S ；
()n t ()exp()2n a
R a ττ=
-()n P w 解：
因为
22
2exp()a
a w a τ-⇔
+所以
2
2
2()exp()()2n n a a R a P w w a ττ=-⇔=+(0)2
a S R ==
习题2.23是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。

()t ξ在区间（-1，1）上，该自相关函数。

试求的功率谱密度。

()1R ττ
=-()t ξ()
P w ξ解：见第2. 4 题
2()1()
2w
R Sa ττ=-⇔
因为
所以()(2)
T n t t n δδ∞
=-∞=-∑()()*()
T t R t ξτδ=据付氏变换的性质可得
()()()
R P w P w F w ξδ=而
()(2)()
T n n t t n w n δδπδπ∞
∞
=-∞=-∞=-⇔-∑∑故
22()()()()*()(()
22R n n w w n P w P w F w Sa w n Sa w n ξδππδππδπ∞∞
=-∞=-∞-==-=-∑∑习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角0/2n 频率为、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图
c
w （1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解：（1）
2
()()()()2
o i n P w H w P w H w ==
因为,故0200
()()
w G w Sa w w π
τ⇔2()()
B G w BSa B ππτ⇔又2()()*[()()]
B c c H w G w w w w w πδδ=++-1
()()cos()
c c c w w w w w δδτπ
++-⇔
由 付氏变换的性质 12121
()()()*()2f t f t F w F w π
⇔
可得
0020()()()*[()()22
()()cos()o B c c c n n
P w H w G w w w w w R n BSa B w πδδτπττ=
=++-⇔=（2）；；
[()]0o E t ξ=200(0)[()]R E t Bn ξ==2
()[()]0o R E t ξ∞==所以2
(0)()R R Bn σ=-∞=
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
2
00
[()])
2t f t Bn ξ=-习题2.25设有RC 低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为的白噪声0/2n 时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解：
1
1()11jwC
H w jwRC R jwC ==
++
(1)
2
02
1()()()*
21()O i n P w P w H w wRC ==
+(2) 因为
22
2exp()a a w a τ-⇔+所以
002
1
()*()exp()2()14o O n n p w R wRC RC RC
ττ=
⇔=-+习题2.26将均值为0，功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
0/2n （1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。

解：
()R H w R jwL
=
+(1)
2
2
0022
()()()*()exp()2()4o i O R n n R P w P w H w R R wL L L ττ==⇔=-+(2) ；
0[()]0E n t =20(0)()(0)4n R R R R L
σ=-∞==
习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为，脉冲b T 幅度取的概率相等。

现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无1±b T 关，且过程具有宽平稳性，试证：
（1） 自相关函数
0,()1/,b
b b
T R t T T ξτττ⎧>⎪=⎨
-≤⎪⎩
（2） 功率谱密度。

2
()[()]b b P w T Sa fT ξπ=解：（1）
()[()()]R E t t ξτξξτ=+①当时，与无关，故
=0
b T τ>()t ξ()t ξτ+()
R ξτ②当
时，因脉冲幅度取的概率相等，所以在内，该波形取-1
b
T τ≤1±2b T -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为。

1
4（
A ）波形取-1-1、11 时，
在图示的一个间隔内，
b T 1
()[()()]*11/4
4R E t t ξτξξτ=+==（
B ）波形取-1 1、1 -1 时，
在图示的一个间隔内，
b T 1()[()()]*()
4b b b
T R E t t T T ξττ
τξξτ-=+=-当时，
b T τ≤11()[()()]2*2*()144b b b b T R E t t T T T ξττ
ττξξτ-=+=+-=-
故
0,()1/,b
b b
T R t T T ξτττ⎧>⎪=⎨
-≤⎪⎩（2）
,其中为时域波形的
2(24A w Sa ττ⇔
2A τ面积。

所以。

2()()(
2b
b wT R p w T Sa ξξτ⇔=习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，是平稳的，求
()t η与的互功率谱密度的表示式。

（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶
1()t ξ2()t ξ变换对）
解：
110
()()()t t h d ξηααα
∞
=-⎰220()()()t t h d ξηβββ
∞
=-⎰121,11121()[()()]
R t t E t t τξξτ+=+11120
1200
[()()()()]
()()()E t h d t h d h h R d d ηηαααητβββαβταβαβ
∞∞
∞∞
=-+-=+-⎰⎰⎰⎰所以
121212()()[()()()jw jw P w R e
d d d h h R
e d τ
τητττ
ααβταββ
∞∞∞∞
---∞
-∞
-∞
-∞
==
+-⎰
⎰
⎰⎰令'τταβ
=+-'
''*12120
()()()[()()()()
jw jw jw P w h e
d h e
d R
e d H w H w P w α
β
τηηααββττ∞
∞
∞
---∞
==⎰⎰⎰习题2.29若是平稳随机过程，自相关函数为，试求它通过系统后的自
()t ξ()
R ξτ相关函数及功率谱密度。

解：
()()()()1jwT h t t t T H w e δδ-=+-⇔=+1/2
()(22cos )H w wT =+2
()()()2(1cos )()
O P w H w P w wT P w ξξ==+()2()2cos *()2()()()
jwT jwT O P w P w wT P w P w e e P w ξξξξ-=+=++
2()()()
R R T R T ξξξτττ⇔+-++习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为0/2n 的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

解：
;
0[()]0E n t =2
0000021()*()exp()21()44n n n P w R wRC RC RC RC
ττσ=
⇔=-⇒=+又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
2
2[]2x f x σ=-第四章习题
习题4.1 试证明式。

()()∑∞
-∞
=Ω-=∆n nf f T f s 1δ证明：因为周期性单位冲激脉冲信号，周期为，其傅里叶
()()T s
n t t nT δδ∞
=-∞
=-∑s
T 变换
()2()
n
s
n F t n ωπ
δω∞
Ω=-∞
∆=-∑而 11()s s
s T jn t n T s
S
F t dt T T ωδ--=
=
⎰
所以 2()()
s n s n T π
ωδωω∞
Ω=-∞∆=
-∑即
1
()()
s
n s
f nf T δω∞
Ω=-∞
∆=
-∑习题4.2 若语音信号的带宽在300～400之间，试按照奈奎斯特准则计算理Hz 论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，=3400,=,故语音信号的带宽为H f Hz L f 300Hz =3400-300=B 3100Hz
=3400=+
=H f Hz 13100⨯3
31
⨯3100kB nB +
即=1,=。

n k 331
根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为
==2（+）=s f 1(2n k
B +⨯3100⨯1331
6800Hz
习题4.3 若信号。

试问：
()sin(314)314s t t t =（1）最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？
（2）
在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min 的抽样，需要保
存多少个抽样值？
解：，其对应的傅里叶变换为()sin(314)s t t t =
()S ω=⎩⎨
⎧≤其他,
0314,314ωπ信号和对应的频谱如图4-1所示。

所以()s t ()S ωHz 5023142H H ===ππωf 根据低通信号的抽样定理，最小频率为，即每秒采100Hz 1005022H s =⨯==f f 个抽样点，所以3min 共有：100360=18000个抽样值。

⨯⨯习题4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400，抽样频率等于8000
Hz 。

试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。

Hz 解：已抽样语音信号的频谱如图4-2所示。

(a)
(b)
图4-1习题4.3图
图4-2 习题4.4图
习题4.5 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪
)
比等于多少分贝？
解：由题意M=256，根据均匀量化量噪比公式得
()dB
16.48256lg 20lg 20dB ===M N S
q q
习题4.6 试比较非均匀量化的A 律和律的优缺点。

μ答：对非均匀量化：A 律中，A=87.6；律中，A =94.18。

一般地，当A 越大时，μ在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。

即对大信号而言，非均匀量化的律μ的信号量噪比比A 律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的律的信号量噪比比A μ律稍好。

习题4.7 在A 律PCM 语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于0.3时，输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于0.3，所以极性码=1。

1c 查表可得0.3（，），所以0.3的段号为7，段落码为110，故∈111.98234
c c c =110。

第7段内的动态范围为：
，该段内量化码为,则+
(11.9813.93)16-≈164n 164n ⨯1
3.93
=0.3，可求得 3.2，所以量化值取3。

故=0011。

n ≈5678c c c c 所以输出的二进制码组为11100011。

习题4.8 试述PCM 、DPCM 和增量调制三者之间的关系和区别。

答：PCM 、DPCM 和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单和常用的编码方法。

它们之间的主要区别在于：PCM 是对信号的每个抽样值直接进行量化编码：DPCM 是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进行量化编码；而增量调制是DPCM 调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM 中量化器的电平数取2，预测误差被量化成两个电平+和-，从而直接输出二进制编码。

∆∆第五章习题
习题5.1 若消息码序列为1101001000001，试求出AMI 和码的相应序列。

3HDB 解： 码为
AMI 码为
3HDB 习题5.2 试画出码接收机的原理方框图。

AMI 解：如图5-20所示。

1
0100010010111
000001001011+--+-++-+-+
图5-1 习题5.2图
习题5.3 设和是随机二进制序列的码元波形。

它们的出现概率分别是和
)(1t g )(2t g P 。

试证明：若，式中，为常数，且，则此序列中将
)1(P -k t g t g P =-=
)]
(/)(1[1
21k 10<<k 无离散谱。

证明：若，与t 无关，且，则有
k t g t g P =-=
)
(/)(11
2110<<k 1
)
()]
()([212=-t g t g t g P
即
)
()1()()()(2221t g P t g t Pg t Pg -=-=0
)()1()(21=-+t g P t Pg 所以稳态波为
∑∑--+-=)
()1()()(s 2s 1nT t g P nT t g P t v
)]()1()([s 2s 1=--+-=∑nT t g P nT t g P 即。

所以无离散谱。

得证！0)(=w P v 习题5.4 试证明式。

()()()()⎰
+-=1
11d 2sin 2sin 4W f ft W f H Wt t h ππ证明：由于，由欧拉公式可得
⎰
∞
∞
-=
df e f H t h ft j π211)()(⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-∞∞-+=+=f
ft f H ftdf f H f
ft ft f H t h d 2sin )(j 2cos )(d )2sin j 2)(cos ()(1111ππππ由于为实偶函数，因此上式第二项为0，且
)(1f H ⎰∞
∞
-=f
ft f H t h d )2cos()(2)(11π令，，代入上式得
'd d ,'
f f W f f =+=⎰⎰⎰∞
-∞
-∞
-+++=++=W
W
W f
Wt ft W f H f Wt ft W f H f t W f W f H t h d 2sin 2sin )(2d 2cos 2cos )(2'
d ])'(2cos[)'(2)(1111πππππ由于单边为奇对称，故上式第一项为0，因此
)(1f H ⎰⎰+=+=∞
-W
W f
ftt W f H W f
ftt W f H W t h 0
111d 2sin )(2sin 4d 2sin )(2sin 2)(ππππ
k
a
习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲[见图5-2的)(t g 有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于。

试求：
T （1）该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线；
（2）
该序列中有没有概率的离散分量？若有，试计算其功率。

f 1=解：
图5-2 习题5.5图1
（1）由图5-21得
⎪⎩
⎪⎨⎧≤
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=其他
02,2
1)(T t t T
A t g 的频谱函数为：
)(t g ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
42)(2wT Sa AT w G 由题意，，且有=,=0，所以()()2110/P P P ===)(1t g )(t g )(2t g )
()(1f G t G =。

将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中，可得
0)(,2=f G ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑∑∑∑
∞
∞
-∞∞-∞
∞-∞
∞-T m f m Sa
A wT Sa T A T m f T m G T wT Sa T A T T m f T m G P T
f G P P T T m f T m G P T m PG T
f G f G P P T f P s δπδδδ216
416214441)1(1)()1(1)1(1)()()1(1)(4
2422
4222
22
212
21曲线如图5-3
所示。

图5.3 习题5.5 图2
（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∑∞
∞
-T m f m Sa A w P v δπ216
)(42
当m =±1时，f=±1/T ，代入上式得
⎪
⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T f Sa A T f Sa A w P v 12161216)(4242δπδπ因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T 的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码元同步需要的f=1/T 的频率分量。

该频率分量的功率为
4
2
424242422216216πππ
ππA A A Sa A Sa A S =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=习题5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形为矩形脉冲，如图5-4所示，)(t g 其高度等于1，持续时间，为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为，负极性脉冲3τ =T/T 4
3
出现的概率为。

4
1（1）试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线；（2）
图5-4 习题5.6图
解：（1）基带脉冲波形可表示为：
)(t g ⎩⎨
⎧≤=其他
2/t 1)(τt g 的傅里叶变化为：)(t g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=33)()(Tf Sa T f Sa f G ππττ该二进制信号序列的功率谱密度为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑∑∞-∞=∞
-∞=T m f m Sa f G T T m f T m G P T m PG T f G f G P P T f P m m δπδ336
1)(43)1(1)()()1(1)(222
21221曲线如图5-5所示。

（2） 二进制数字基带信号的离散谱分量为
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∑∞
-∞
=T m f m Sa
f P m v δπ
3361
)(2
当, 时，代入上式得1±=m T
f 1
±
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
T f Sa T f Sa f P v 1336113361)(22δπδπ因此，该序列中存在的离散分量。

其功率为：
/T f 1=2
2
2
833/3/sin 3613/3/sin 361πππππ=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=v P 习题5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形如图5-13所示。

)(t h （1）试求该基带传输系统的传输函数；
)(f H （2）
若其信道传输函数，且发送滤波器和接收滤波器的传输函
1)(=f C 数相同，即，试求此时和的表达式。

)()(R T f G f G =)(T f G )(R f G 解：（1）令，由图5-6可得=，因为02
T 2-1)(⎪⎩
⎪⎨⎧≤
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=其他
T t t t g )(t h ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
2T t g )(t g 的频谱函数，所以，系统的传输函数为⎪⎭
⎫
⎝⎛=
4
22)(2f T Sa T f G π=)(f H 2
222
2422)(fT
j fT j e f T Sa T e
f G πππ--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=（2）系统的传输函数由发送滤波器、信道和接收滤波器三部分)(f H )(T f G )(f C )(f G R 组成，即=。

因为，，则
)(f H )(f C )(T f G )(R f G 1)(=f C )()(R T f G f G ===)(f H )(2T f G )
(2
R f G 所以 ==)(T f G )(R f G 4
2422)(fT j
e
f T Sa T f H ππ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=/T /1(P
图5-6 习题5.7图
习题5.8 设一个基带传输系统的传输函数如图5-7所示。

)(f H （1）试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：
（2）
若其中基带信号的码元传输速率，试用奈奎斯特准则衡量
0B 2f R =该系统能否保证无码间串扰传输。

图5-7 习题5.8图
解：（1）由图5-25可得=。

)(f H ⎩⎨
⎧≤-0f /100
其他
f f f 因为，所以。

⎩⎨
⎧≤-=其他
t ,
/1)(T T t t g )()(2
fT TSa f G π=根据对称性：所以。

,,),()(),j ()(0f T t f t g f G t g f G →→→↔-)()(02
0t f Sa f t h π=（2）当时，需要以为间隔对进行分段叠加，即分析在区间
0B 2f R =0B 2f R f ==)(f H 叠加函数的特性。

由于在区间，不是一个常数，所以有码间干扰。

][0,0f f -][0,0f f -)(f H 习题5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为
⎩⎨
⎧≤+=其他,0
2/1),2cos 1()(0
00ττπτf f f H 试确定该系统最高的码元传输速率及相应的码元持续时间T 。

B R 解：的波形如图5-8所示。

由图可知，为升余弦传输特性，根据奈奎斯特第一)(f H )(f H 准则，可等效为理想低通（矩形）特性（如图虚线所示）。

等效矩形带宽为
0141
2121ττ=⨯=
W 最高码元传输速率 0
1212τ=
=W R B 相应的码元间隔
2/1τ==B S R T
00
图5-8 习题5.9图
习题5.10 若一个基带传输系统的传输函数和式（5.6-7）所示，式中。

)(f H 1W W =（1）
试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为
2
2/41/cos //sin 1)(T t T t T t T t T t h -=
πππ（2）若用
波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在码间串T
1
扰？
解：（1）⎪
⎩⎪⎨⎧≤⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其他,0
2,2cos 121)(1
1W f f W f H π111111
1112424422414)(4
1
)(41)(2121)(212cos 1)(21)(W f
j
W W f j
W W W f
j W f j W W e f G e f G f G e e f G W f f G f H πππππ++=
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=--其中，是高为1，宽为的门函数，其傅里叶反变换为
)(14f G W 14W )2(2)(14T
t Sa T f G W π↔
因此单位冲激响应
()()22222222/41/cos //sin 14/411)2(14/111)2(14/1121)2(12/2212/221)2(1)(T t T t T t T t T T t T t Sa T t T T t Sa T t T T t Sa T T t Sa T T T t Sa T T T t Sa T T t Sa T t h -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎦⎤⎢⎣⎡--=
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=
ππππππππππ（2）由的图形可以看出，当由1/T 波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上不存
)(t h
在码间串扰。

习题5.11 设一个二进制双极性随机信号序列的码元波形为升余弦波。

试画出当扫描周期等于码元周期时的眼图。

解：当扫描周期等于码元周期时的眼图如图5-9所示。

习题5.12 设一个横向均衡器的结构如图5-10所示。

其3个抽头的增益系数分别为：。

若
在各点的抽样值依次为：
,3/11-=-C ,10=C 4/11-=C )(
t x ，在其他点上其抽样值均为0。

试计算x(t)的峰
16/1,4/1,1,3/1,8/121012=====--x x x x x 值失真值，并求出均衡器输出y(t)的峰值失真值。

解：48
371614131811
D 2
20
x =+++=
=
∑
≠-=k k k x x 由，可得
∑-=-=
N
N
i k i
k x
C y 1
24
1
8131213=
⨯-==---x C y 72
1
811313120112=
⨯+⨯-=+=----x C x C y 32
1
81413111312110011-
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+⨯-=++=-----x C x C x C y O
E
-)
(t y
6531
411141311100110-
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+⨯-=++=---x C x C x C y 481
141411161310110211-
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+⨯-=++=--x C x C x C y 04
141161111202=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯
=+=x C x C y 64116
1
41213-
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x C y 其余的值均为0，所以输出波形的峰值失真为：
k y 480
71
6410481321721241561
3
30
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++
=
=
∑≠-=k k k
y y
y D 习题5.13设有一个3抽头的均衡器。

已知其输入的单个冲激响应抽样序列为0.1，0.2，-0.2，1.0，0.4，-0.1，0.1。

（1）试用迫零法设计其3个抽头的增益系数；
n C （2）
计算均衡后在时刻k=0,±1, ±2, ±3的输出值及峰值码间串扰的值。

解：(1)其中1
.0,4.0,0.1,2.0,2.021012-===-==--x x x x x 根据式，和2N +1=3，可列出矩阵方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==±⋯±±==∑∑-=--=-N
N
i i k i N
N
i i k i k x C x C 0,0N 2,1,k ,0，
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----010101012
10121
C C C x x x x x x x x x 将样值代人，可得方程组
k x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----01010101
2
101210
C C C x x x x x x x x x 解方程组可得，。

3146.0,8444.0,2318.0101-===-C C C (2)通过式可算出
∑-=-=
N
N
i i
k i
k x
C y 0215
.0,0613.0,1946.0,0232.0,4371.0,0,13322110===-=-===---y y y y y y y 其余0
=k y 输入峰值失真为：
1
.110
==
∑∞
≠-∞=k k k
x x
x D
输出峰值失真为：
∑∞
=-∞===
7377
.01k k k
y y
y D 均衡后的峰值失真减小为原失真的0.6706。

习题5.14 设随机二进制序列中的0和1分别由和组成，它们的出现概率分别()g t ()g t -为p 及（1-p ）。

（1）求其功率谱密度及功率。

（2）若为如图5-6（a ）所示波形，
为码元宽度，问该序列存在离散分量否？
()g t s T 1/s
s f T =（3）若为如图5-6（b ），回答题（2）所问。

()g t 解：（1）
2
2
()4(1)()[(21)()]()
s s s s s m P f f p p G f f p G mf f mf δ+∞
=-∞
=-+
--∑
其功率
1
()()2s
s
S P w dw P f df
π+∞
+∞
-∞
-∞
=
=⎰⎰2
2
[4(1)()[(21)()]()]s s s s m f p p G f f p G mf f mf df
δ+∞
+∞
=-∞
-∞
=
-+
--∑
⎰2
2
2
2
4(1)()(21)
()
s s s m f p p G f df f p G mf +∞
+∞
=-∞
-∞
=-+-∑
⎰（2）
若()1,/2
0,s g t t T ⎧=≤⎨
⎩
其它
g(t) 傅里叶变换G(f)为
sin ()s s
s
fT G f T fT ππ=因为sin sin ()0
s s s s
s s f T G f T T fT πππ
ππ
===由题（1）中的结果知，此时的离散分量为0.
（3）若
()1,/4
0,s g t t T ⎧=≤⎨
⎩
其它g(t) 傅里叶变换G(f)为
sin 2()22s
s
s
T f T G f T f ππ=因为
sin sin 22()02222
s s
s s s T f T T T G f T f ππππ
π===≠所以该二进制序列存在离散分量。

1/s
s f T =习题5.15 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，，数字信息“1”和“0”分别用的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等：
()g t （1）求该数字基带信号的功率谱密度。

（2）能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率的分量？如能，试计算该
1/s s f T =分量的功率。

解：
（1）
对于单极性基带信号，
随机脉冲序列功率谱
1()0,g t =2()0(),g t g t ==密度为
2
2
()(1)()[(1)()]()
s s s s s m P f f p p G f f p G mf f mf δ+∞
=-∞
=-+
--∑
当p=1/2时，
222()()()()
44s s
s s m f f g t G f G mf f mf δ+∞
=-∞
=+-∑由图5-7（a ）得
2(1),/2()0,s s A t t T T g t ⎧-≤⎪
=⎨⎪⎩
其它t g(t) 傅里叶变换G(f)为
2()22s s AT fT G f Sa π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
代入功率谱密度函数式，得
2
2
222()()
422422s s s s s s s s s m f AT fT f AT mf T P f Sa Sa f mf ππδ+∞
=-∞⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑22
44()
162162s s s m A T fT A m Sa Sa f mf ππδ+∞
=-∞⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ (2) 由图 5-7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率 fs=1/Ts 的离散分量，故可以提取码元同步所需的频率 fs=1/Ts 的分量。

由题(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为 P v (w)为
2
4()()16
2v s m A m P f Sa f mf πδ+∞
=-∞⎛⎫=
- ⎪⎝⎭∑当m 取时，即f=
时，有
1±s f ±
2244()()()
162162v s s A A P f Sa f f Sa f f ππδδ⎛⎫⎛⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以该频率分量的功率为
222
444
2162162A A A S Sa Sa πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭习题5.16 设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由 及 表示，且“1” 与“0”出现的概率相等，是升余弦频谱脉冲，即
22cos ()421s s s t T t g t Sa T t T ππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
(1)写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图；从该数字基带信号中能否直接提取频率 fs=1/Ts 的分量。

(2)若码元间隔 Ts=10-3s, 试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。

解：当数字信息“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度
2
()()
s s P f f G f =已知
，其傅氏变换为
22cos ()421s s s t T t g t Sa T t T ππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
1(1cos ),()40,s
s s
T f T f G f T π⎧+≤
⎪=⎨⎪⎩
其它f 代入功率谱密度表达式中，有
21
()(1cos ),16s s s s
T P f f T f T π=
+≤习题5.17 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图 5-9(a)所示。

它是一个高度为 1，宽度
得矩形脉冲，且已知数字信息“1”的出现概率为 3/4， “0”的出现概率为 1/4。

(1) 写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图；
(2) 由该双极性信号中能否直接提取频率为 fs=1/Ts 的分量？若能，试计算该分量的功率。

解 ：
(1) 双极性信号的功率谱密度为
2
2
()4(1)()(21)()()
s s s s s m P f f p p G f f p G mf f mf δ+∞
=-∞
=-+
--∑
当p=1/4 时，有
22
2
3()()()()
44
s s s s s m f f P f G f G mf f mf δ+∞
=-∞
=+
-∑
由图5-7（a ）得
1,/2
()0,t g t τ⎧≤=⎨
⎩其它t
故 ()sin ()f G f Sa f f πτ
τ
τπτπτ
==将上式代入
的表达式中，得
()s P f ()()2
222223()()
424s s s s s s m f AT f P f Sa f Sa mf f mf τπτπτδ+∞
=-∞
=+-∑将
代入上式得
13
s
T τ=()2221()/2()122
36s s
s s m T fT P f Sa Sa m f mf ππδ+∞
=-∞
⎛⎫=+
-
⎪⎝⎭∑功率谱密度如图5-9（b ）所示。

（2）
由图 5-9(b)可以看出，由该双极性信号可以直接提取频率为 fs=1/Ts 的分量。

该基带信号中的离散分量为
为
()
v P w ()21()/2()36v s m P w Sa m f mf πδ+∞
=-∞
=-∑当m 取时，即f=
时，有
1±s f ±()()2211
()/3()/3()3636
v s s P w Sa f f Sa f f πδπδ=-++所以频率为分量的功率为
1s s f T =
()()222113/3/336368S Sa Sa πππ
=
+=习题5.18 已知信息代码为 100000000011，求相应的 AMI 码，HDB3 码，PST 码及双相码。

解 ： AMI 码：+1 0000 00000 –1 +1
HDB3 码：+1 000+V -B00 -V0 +1 –1
PST 码：
①(+模式)+0 - + - + - + - + +-
②(-模式)-0 - + - + - + - + +-
双相码：10 01 01 01 01 01 01 01 01 01 10 10
习题5.19 某基带传输系统接受滤波器输出信号的基本脉冲为如图 5-10 所示的三角形脉
冲。

(1) 求该基带传输系统的传输函数 H(w);
(2) 假设信道的传输函数 C(w)=1,发送滤波器和接受滤波器具有相同的传输函数，即 G(w)=GR(w),试求这时 GT(w)或 GR(w)的表达式。

解：
(1)由图 5-10得
2
(1),0()2
0,s s T t t T h t T ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它t 基带系统的传输函数 H(w)由发送滤波器 ，信道 C(w)和接受滤波器组
()T G w ()R G w 成，即
()()()()
T R H w G w C w G w =若，
()1C w =()()
T R G w G w =则
22
()()()()()T R T R H w G w G w G w G w ===所以
4()()()4s
T jw s T R T G w G w w e
-===习题5.20
设某基带传输系统具有图 5-11所示的三角形传输函数：
(1) 求该系统接受滤波器输出基本脉冲的时间表示式；
(2) 当数字基带信号的传码率 RB=w0/π时,用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间干扰传输?
解：
(1)由图 5-11 可得
001(1),()0,w w w w H w ⎧-≤⎪
=⎨⎪⎩
其它的w 该系统输出基本脉冲的时间表示式为
001
()()()222
jwt w w t h t H w e dw Sa π
π+∞
-∞
=
=
⎰
(2)根据奈奎斯特准则,当系统能实现无码间干扰传输时, H (w)应满足
2(),()0,i
s s eq s H w C w T T H w w T πππ⎧+=≤⎪⎪=⎨
⎪>
⎪⎩
∑容易验证，当
时，
s
w w T π
≤
=。