321圆的对称性教案北师大版九年级下

第三课时

课题

§3．2．2 圆的对称性(二)

教学目标

(一)教学知识点(二)

1．圆的旋转不变性．

2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(二)能力训练要求

1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(三)情感与价值观要求

培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

教学重点

圆心角、弧、弦之间关系定理．

教学难点

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片两张

第一张：做一做(记作§3．2．2 A)

第二张：举反例图(记作§3．2．2B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?哪位同学知道?

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗?下面我们继续来探讨．Ⅱ．讲授新课

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

[生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?

[生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心

对称图形，对称中心为圆心．

[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2 A)

按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．

[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′．

[生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′．

[生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′．

[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．

[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即=弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?

[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

下面，我们一起来看一看命题的证明．

(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书)

如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．

求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．

证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半

径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，

∴半径OB与O′B′重合．

∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，

∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．

∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2 B)

[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′下面我们共同想一想．

[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

在同圆或等圆中②

也相等

①相等③

如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．(同学们互相交流、讨论)

[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．

[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到，

[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?

[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心

角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧

所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，右图中的∠1=∠2，

有的同学认为∠1对AD，∠2

对BC，就推出了AD=BC，显

然这是错误的，因为AD、BC

不是“等圆心角对等弦”的弦．

[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．