第四章 连续时间系统频域分析

例4-1 P167 例4-2 P169
2013年6月28日星期五
2. 方法二
1） 分析原理 （线性系统的叠加） 将信号用傅里叶级数分解，对信号中各频率分量用 正弦稳态分析的复数方法求解出频域中相应的各分 量，再将各分量转换到时域中叠加得到总响应。 2） 分析步骤
（1）将信号用傅里叶级数分解为直流分量及各次谐波分量 En 项数由对信号频宽要求及对信号传输技术要求决定
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二、关于变换域
变换法实质： 是通过函数变量的转换，使系统方程转换为便于处 理的简单形式，从而使求解响应的过程得以简化。
傅氏变换 拉氏变换 Z变换 沃尔什变换 频域 复频域(s域) Z域 序域
本章只介绍频域分析
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频域分析法：
将时域中的微分方程通过变换成为频域中的代数方程， 然后在频域中通过简单的代数运算求取响应的频域解，最 后再由反变换重新得到时域中的响应。
1 PC
t
uC (t )
1 PC
(t ) [1 e ] (t )
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例
已知：y(t)+2y(t)=f(t), f (t)=e-t(t). 求y(t).
解： 方程取付氏变换: jY(j)+2Y(j)=F(j) H(j)= Y(j)/F(j)=1/(j+2) f(t) =e-t(t) 1/(j+1)= F(j) Y(j)=H(j)F(j) =1/[(j+2)(j+1)] = 1/(j+1)- 1/(j+2)
2. 系统函数H(j)的求解方法
① 对于电系统，可以用电路分析中的正弦稳态分析方法
i (t ) e(t )
时域电路模型
R
C
电流为输出信号：
uc (t )
H ( j )
单位： 西门子
I ( j ) 1 1 j Y ( j ) E ( j ) R 1 R a j j C
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MATLAB提供了专门对连续系统频率响应进行分析的函数： 函数abs();函数angle();
abs()-用于求幅频响应
angle()-用于求相频响应
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举例： Y(j)=H(j)F(j)=1/[(j+2)(j+1)]= 1/[(j)2+3(j)+2]
时域 e(t)
FT
h(t)
FT
r(t)
FT-1
频域 E(jw)
H(j)
R(j)
频域分析法的缺点： 使用频域分析法时需增加两次积分变换，其求解较困难； 部分信号的傅里叶变换不存在； 频域分析法的优点： 信号的频谱具有典型的物理意义； 当系统内部结构无法确定，但系统函数H(j)一般可通过测量求得； 使用复频域分析法是常用的分析法，但复频域分析法是频域分析法的推广。
∴y(t)= FT-1[Y(j)]= e-t(t)- e-2t(t)
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bm ( j )m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 D( j ) H 连续系统的系统函数为： ( j ) a ( j )n a ( j )n1 a ( j ) a N ( j ) n n 1 1 0
第四章 连续时间系统频域分析
基本要求：
（1）会应用频域分析法求解系统零状态响应。 （2）深刻理解频域系统函数的定义、物理意义、求法与应用。 （3）了解理想低通滤波器的定义、传输特性（冲激响应与 阶跃响应）。 （4）掌握无失真传输条件 本章只研究系统零状态响应
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第四章 连续系统频域分析
2)求系统函数 H(j) 3)求取每一频率分量的响应
对于频率为的分量，其响应的复数振幅为 R(j)d/=[E(j)d/] H(j) 零状态响应 rzs(t) 的频谱函数 Rzs(j) =E(j) H(j)
4)从响应的频谱函数R(j)求傅里叶反变换从而求的响应 rzs(t)=FT-1{Rzs(j)}
所以
bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 ... b1 ( j ) b0 R( j ) E ( j ) n n ( j ) an 1 ( j ) ... a1 ( j ) a0
系统函数为：
bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 ... b1 ( j ) b0 H ( j ) ( j ) n an 1 ( j ) n ... a1 ( j ) a0
利用MATLAB分析系统的频率特性
MATLAB提供了专门对连续系统频率响应进行分析的函数freqs()。该函数可 以求出系统频率响应的数值解，并可绘出系统的幅频及相频响应曲线。 freqs()函数有如下四种调用格式： freqs(b，a，w)： 该调用格式中,b为对应于H(j) 的分子向量[bm, bm-1, …, b0]，a为对应于H(j) 式的分母向量[an, an-1,… ,a0]，w为形如wl:p:w2的冒号运算定义的系统频率响 应的频率范围，wl为频率起始值，w2为频率终止值，p为频率取样间隔。 [h,w]=freqs(b，a)： 该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统频率响应的样值，并赋 值给返回变量h，200个频率点记录在w中。(向量h为向量w所定义的频率点上 系统频率响应的样值) [h,w]=freqs(b，a，n)： 该调用格式将计算默认频率范围内n个频率点上系统频率响应的样值，并赋值 给返回变量h，n个频率点记录在w中。 freqs(b，a) 格式不返回系统频率响应的样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响 应及相频响应曲线。
r (t ) e(t ) h(t )
由时域卷积定理得：
R( j ) E ( j ) H ( j )
h(t ) H ( j )
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三、应用频域分析法求解系统零状态响应的解题方法
1. 方法一
解题步骤：
1)将激励信号分解为正弦分量E(j)
将e(t)(t)运用傅里叶积分展开为无穷多个频率分量之和， 即求频谱函数 E(j),它是e(t)(t)中各频率分量复数振幅的相对值。 对于频率为的分量，其复数振幅为 E(j)d /
假设激励信号e(t)的傅利叶变换为E(j)，响应信号r(t)的傅里叶变换为R(j)。 对上式等式两边同时求傅里叶变换，利用傅里叶变换的微分性质，可以得到：
[( j )n an1 ( j )n ... a1 ( j ) a0 ]R( j ) [bm ( j )m bm1 ( j )m1 ... b1 ( j ) b0 ]E ( j )
例：求一阶RC电路的阶跃响应uC
解法一：三要素法，=RC为时间常数
+
(t)
R
uC (t ) [1 e ] (t )
t
-
+ uC C –
t
解法二：算子法 解法三：卷积法
解法四：频域法
R 1 1 1 H ( p) h(t ) RC e (t ) 1 RC p RC t uC (t ) h(t ) (t ) [1 e ] (t ) 1 1 U C ( j ) [ ( ) j ] 1 j RC t 1 uC (t ) FT [U c ( j )] [1 e ] (t )
（2）分别对直流分量及各次谐波分量求取该量单独作用于系统 时产生的分响应 用复数（相量）运算： R( jn ) H ( jn ) E ( jn ) （3）将响应分量转换到时域中，叠加，得到总响应。
2013年6月28日星期五源自析步骤框图：e(t)为周期信号 F.S 系统H(j)
稳态响应
r(t)=? 时域叠加 得稳态响应
|H(j)|：为H(j)的幅值，其随频率变化关系称为幅频特性 () ： 为H(j)的相位，其随频率变化关系称为相频特性
对于电网络： H(j)为系统的网络函数。 H(j)也称为策动点函数(同一端口)与转移函数(不同端口)。 —激励与响应不同，则H(j)的意义也不同。
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③转移算子系统函数 转移算子H(p)与系统函数H(j)的关系：
H ( j ) H ( p) | p j
系统函数可以将时域中的转移算子H(p)中的算子p用j替代后得到 这里的H完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。
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④系统单位冲激响应h(t)系统函数H(j) 系统函数H(j)与系统单位冲激响应h(t)的关系： 在时域中有：
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§4.2 信号通过系统的频域分析方法
一、频域分析方法的基本思路
信号可以表示(分解)成一系列个等幅正弦函数(或 虚指数函数)，只要分别求出了系统对各个等幅正 弦函数(或虚指数函数)的响应后，并将响应叠加， 就可以得到系统的响应-零状态响应。
频域分析方法研究信号频谱通过系统后的变化情况
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二、系统函数H(j)
1. 系统函数H(j)定义
R( j ) H ( j ) E ( j )
其中： E(j)为系统激励的频谱函数， R(j)为系统零状态响应的频谱函数
H ( j ) | H ( j ) | e
j ( )
系统函数H(j)为频率的函数，又称频率响应函数，简称频响。
e(t ) En cos(nt n )
n 0

r (t ) Rn cos( nt n )
n 0

相量
E e jn R( jn) E ( jn) H ( jn) 幅相形式 R R e j En n n n
例4-2 P169
n
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阶跃响应），然后运用叠加积分的方法在时域内将所有单
元激励响应叠加，即可求得系统对信号的响应。
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频域分析：
将信号分解成一系列不同幅度、不同频率的等幅正弦函数，
通过求取对每个激励产生的响应，并转换到时域以得到系统
的总响应。 信号分解：通过傅里叶级数或傅里叶变换实现。 系统对等幅正弦信号的响应： 1. 通过复数运算或相量运算得到 --运用正弦稳态分析研究系统对任意信号所产生的响应。 2. 频域分析法
3j22013年3月20日星期三时域电路模型rc低通网络2013年3月20日星期三例题说明2013年3月20日星期三从以上分析可以看出利用hj从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异物理概念比较清楚但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐因此在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时用hs更方便很少利用hj引出hj的重要意义在于研究信号传输的基本特性建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义
一、时域分析与频域分析的比较
时域分析和频域分析是以不同的观点对线性非时变系统进行分析 的两种方法：
时域分析：是在时间域内进行的，它可以比较直观地得出系统响 应的波形，而且便于进行数值计算；
频域分析：是在频域内进行的，它是信号分析和处理的有效工具。
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时域分析：
将信号在时间域内分解成多个冲激函数或阶跃函数之和， 对每个激励可求得系统的响应（即加权的冲激响应或加权
a=1/RC为电路的衰减系数；=RC时间常数
I ( j ) E ( j )
R
1 j c
电容电压为输出信号：
U c ( j )
1 无量纲： U ( j ) a j C H ( j ) c K u ( j ) 1 E ( j ) R a j j C
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§4.1 引言 §4.2 信号通过系统的频域分析方法 §4.3 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 §4. 4 佩利-维纳准则 §4.5 调制与解调 §4.6 频分复用(FDMA)与时分复用(TAMA) §4.7 希尔伯特变换 §4.8 信号通过线性系统不产生失真的条件
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§4.1 引言
电路的相量模型 频域电路模型
② 对于用微分方程描述的一般系统，有：
dn d n 1 d r (t ) an 1 n 1 r (t ) ... a1 r (t ) a0 r (t ) dt n dt dt dm d m 1 d bm m e(t ) bm 1 m 1 e(t ) ... b1 e(t ) b0 e(t ) dt dt dt