2020-2021学年人教A版数学选修1-2单元素养评价 第三、四章 数系的扩充与复数的引入 框图

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单元素养评价(三)
(第三、四章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( )
A.-2
B.4
C.-6
D.6
【解析】选C.==为纯虚数,所以a+6=0,所以a=-6.
2.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
【解析】选C.在复平面内复数=
=-+i的共轭复数--i对应的点位于第三象限.
3.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选 A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解a=1,b=1或a=-1,b=-1,故a=1,b=1是(a+bi)2=2i的充分不必要条件.
【补偿训练】
下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2
B.i2(1-i)
C.(1+i)2
D.i(1+i)
【解析】选 C.A项,i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数;B 项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数;C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数;D 项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.
4.习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图,输入m=10,则输出的S= ( )
A.100
B.140
C.190
D.250
【解析】选 C.由已知,当输入m=10时,程序的功能是计算并输出S=++ ++…++.计算得S=(8+24+48+80)+(4+16+36+64+100)=190.
5.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于( )
A. B.i C.- D.-i
【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),
则a2+(1+2i)·a+3m+i=0,
所以所以
6.观察下面的图形,
专家给出预防新型冠状病毒肺炎的方法:(1)流动水+肥皂洗手,不摸嘴、鼻子、眼睛,酒精消毒常接触的表面;(2)保持与他人谈话距离,戴口罩,常开窗;(3)自觉不去或少去人多的地方.
其中出门正确佩戴口罩是避免 ( )
A.接触传播
B.飞沫传播
C.空气传播
D.飞沫传播和空气传播
【解析】选D.因为正确佩戴口罩,可以阻挡飞沫传播,也可以阻挡空气中的病毒传播.
7.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( )
A.z对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D.z一定为实数
【解析】选C.因为t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以z对应的点在实轴的上方,又因为z与对应的点关于实轴对称.所以C正确.
8.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b,i的值分别为6,8,0,则输出a和i的值分别为( )
A.0,3
B.0,4
C.2,3
D.2,4
【解析】选C.执行循环,得i=1,b=2;i=2,a=4;i=3,a=2,结束循环,输出a=2,b=2,此时i=3.
9.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
【解析】选 B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,
所以得a<-1.
10.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= ( )
A.2+3i
B.2-3i
C.3+2i
D.3-2i
【解析】选 A.方法一:由已知(z-2i)(2-i)=5, 所以z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.
方法二:设z=a+bi(a,b∈R),所以[a+(b-2)i](2-i)=5,利用复数相等即实部与实部、虚部与虚部分别相等,得到解得所以z=2+3i.
11.如图,某人拨通了电话,准备为手机充值需进行的操作为( )
A.1—5—1—1
B.1—5—1—2
C.1—5—2—1
D.1—5—2—3
【解析】选C.由操作图知:手机充值应按照“注册客户服务请按1”“代
缴费请按5”“手机充值缴费按2”“手机充值按1”的先后顺序进行操作.
12.执行如图所示的程序框图.若输入x=3,则输出k的值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.第一次循环x=3+5=8,k=1;
第二次循环x=8+5=13,k=2;
第三次循环x=13+5=18,k=3;
第四次循环x=18+5=23,k=4;
第五次循环x=23+5=28,k=5,
此时满足条件输出k=5.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.如图所示的程序执行后输出的结果S为________.
【解析】根据算法语句可知,i=1,符合条件,S=0+1;i=2,符合条件,S=0+1+2;……,直到i=6时,不符合条件,输出S=1+2+3+4+5=15,结束.
答案:15
14.某自动化仪表公司组织结构如图,其中采购部的直接领导是________.
【解析】由结构图得副总经理(乙)下设生产部、品管部、采购部.故采购部的直接领导是副总经理(乙).
答案:副总经理(乙)
15.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________. 【解析】复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21.
答案:21
16.若z∈C,且|x+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是________.
【解析】由|x+2-2i|=1得复数z对应的点的轨迹是以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆P,|z-2-2i|表示圆P上的点到(2,2)的距离,数形结合分析得最小值为3.
答案:3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)汽车保养的一般过程是:顶起车辆,更换机油,润滑部件,调换轮胎,放下车辆,清洁打蜡,试画出汽车保养的流程图.
【解析】
18.(12分)已知复数z1=a+2i,z2=3-4i(a∈R,i为虚数单位).
(1)若z1·z2是纯虚数,求实数a的值.
(2)若复数z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,且|z1|≤4,求实数a 的取值范围.
【解析】(1)z1·z2=(a+2i)·(3-4i)=(3a+8)+(-4a+6)i,
因为z1·z2是纯虚数,故3a+8=0,
且-4a+6≠0,故a=-.
(2)|z1|≤4⇒a2+4≤16⇒a2≤12⇒-2≤a≤2,
根据题意z1·z2在复平面上对应的点在第二象限,可得
即a<-,
综上,实数a的取值范围为.
19.(12分)画出已学过的“数系”的知识结构图.
【解析】如图所示:
20.(12分)设复数z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在复平面内对应的点在第一象限,且=-3+4i.
(1)求z2及|z2|.
(2)若z1=z2,求θ与a的值.
【解析】(1)设z2=m+ni(m,n∈R),则=(m+ni)2=m2-n2+2mni=-3+4i, 即解得或
所以z2=1+2i,或z2=-1-2i.
又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,
所以z2=-1-2i应舍去,故z2=1+2i,|z2|=.
(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=1+2i,
即解得cos θ=,
因为θ∈(0,π),所以θ=,
所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4,a=±2.
综上,θ=,a=±2.
21.(12分)一家新技术公司计划研制一个名片管理系统,希望系统能够
具备以下功能:
(1)用户管理:能修改密码,显示用户信息,修改用户信息.
(2)用户登录.
(3)名片管理:能够对名片进行删除、添加、修改、查询.
(4)出错信息处理.
请根据这些要求画出该系统的结构图.
【解析】由已知,
【补偿训练】
如图所示:
则“函数的应用”包括的主要内容有哪些?“函数与方程”包括的主要内容有哪些?
【解析】由结构图的从属关系可知“函数的应用”包括:函数与方程、
函数模型及其应用.“函数与方程”包括:函数的零点与其对应方程根的关系,用二分法求方程的近似解.
22.(12分)设关于x的方程是x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0.
(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;
(2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.
【解析】(1)设实数根是a,
则a2-(tan θ+i)a-(2+i)=0,
即a2-atan θ-2-(a+1)i=0.
因为a,tan θ∈R,所以
所以a=-1,且tan θ=1.
又0<θ<,所以θ=.
(2)若方程存在纯虚数根,设为x=bi(b∈R,b≠0),则(bi)2-(tan θ+i)bi-(2+i)=0,
即此方程组无实数解.
故对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.
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