2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值

考点二 求函数的单调区间 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识]
单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区 间．
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[典题例析] 求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝log 1 (x2－3x＋2)．
(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log 1 u 与 u＝x2－3x＋2
2
的复合函数．令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2. ∴函数 y＝log 1 (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
2
又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝32，且开口向上． ∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调
角度三：解函数不等式
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是
()
A．(8，＋∞)
B．(8,9]
C．[8,9]
D．(0,8)
解析：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以
3．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 k 的 取值范围是__－__∞__，__－__12__．
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基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知 1．理解函数最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的最值．
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1．定义法
[必备知识]
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈ D，且x1<x2，则有：
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．
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2．导数法 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这 个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间 上单调递减．
x＞0， 有x－8＞0，
xx－8≤9，
解得8＜x≤9.
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角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
a－2x，x≥2，
4．已知函数 f(x)＝12x－1，x<2
满足对任意的实数 x1≠x2，都
有fxx11－－fx2x2<0 成立，则实数 a 的取值范围为
A．(－∞，2)
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[题组练透]
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－x＋1 1
D．f(x)＝－|x|
()
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解析：当x>0时，f(x)＝3－x为减函数； 当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数， 当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数； 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x＋1 1为增函数； 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C. 答案：C
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[类题通法] 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有 两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判 断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调 性的证明，只能采用定义法进行判断．
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(二)小题查验 1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值
( ×)
(2)函数y＝1x在[1,3]上的最小值为13
( √)
2．(人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，则
函数的最大值为__2_．
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考点一 函数单调性的判断 (基础送分型考点——自主练透)
( √)
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改
为“存在两个自变量”
(× )
(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
(×)
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间
是[1，＋∞)
(× )
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2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间 为_[_2_,4_]_．
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2．讨论函数f(x)＝x2a－x 1(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性． 解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21 ＝ax1x22－x21－ax11－xa22x－2x121＋ ax2＝axx2－ 21－x11xx122－x2＋11. ∵－1＜x1＜x2＜1，a>0， ∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x21－1)(x22－1)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x)2， 故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
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角度一：求函数的值域或最值
1．函数 f(x)＝1x，x≥1，
的最大值为__2_．
－x2＋2，x＜1
解析：当x≥1时，函数f(x)＝
1 x
为减函数，所以f(x)在x＝1处
取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1值，为f(0)＝2.
[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一 个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是 利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式 求解．此时应特别注意函数的定义域．
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(3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数 的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间 的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单 调性求出最值．
2－x，x≥1，
所以
f
1 2
(x)＝12，－1＜x＜1， 2x，x≤－1.
故 f1 (x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
2
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考点三 函数单调性的应用 (常考常新型考点——多角探明) [必备知识]
函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点 的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． (2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间 [a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈ [a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调 递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b 处有最小值f(b)．
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2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，
定义函数fk(x)＝
fx，fx≤k， k，fx＞k，
取函数f(x)＝2－|x|.当k＝
1 2
时，求函数fk(x)的单调递增区间． 解：由 f(x)>12，得－1<x<1.由 f(x)≤12，得 x≤－1 或 x≥1.
第二节
函数的单调性与最值
基础盘查一 函数的单调性 (一)循纲忆知 1．理解函数的单调性及其几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
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(二)小题查验 1．判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性
( ×)
(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)
故函数f(x)的最大值为2.
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角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋1－1 x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则
()
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
2
解：(1)由于y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ ＜00， ， 即y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和 [0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
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(4)导数法： 利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表 示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结， 也不能用“或”联结．
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[演练冲关]
1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如 何？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象 如图所示． 由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1| 的单调递增区间为(1－ 2，1)和(1＋ 2，＋∞)；单调递减区间为(－∞， 1－ 2)和(1,1＋ 2)．
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：∵函数f(x)＝log2x＋
1 1－x
在(1，＋∞)上为增函数，且
f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0， 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
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增函数．而 y＝log 1 u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
2
∴y＝log 1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为
2
(－∞，1)．
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[类题通法]
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或 复合函数，求单调区间． (2)定义法： 先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法： 如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
B．－∞，183
C．(－∞，2]
D．183，2
()
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解析：由题意可知，函数f(x)是R上的减函数， a－2<0，
于是有a－2×2≤122－1， 由此解得a≤183， 即实数a的取值范围是－∞，183 .
答案：B
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[多角探明] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现， 有时也应用于解答题中的某一问中. 函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值； (2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式； (4)利用单调性求参数的取值范围或值.