立体几何截面问题的十种题型(原卷版)

第21讲 立体几何截面问题10类
【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法
【典例分析】
在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是
3378 A 22 C B 3 D 、、、、
【变式演练】
1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）
A ．三角形
B ．平面四边形
C ．平面五边形
D ．平面六边形
2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（ ）
A ．A
B 中点 B ．B
C 中点 C ．C
D 中点 D ．BB1中点
3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→
→
=，则下列结论错误的是（ ）
A．当
1
2
λ∈
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,时，Ω为四边形B．当
1
2
λ=时，Ω为等腰梯形
C．当
3
,1
4
λ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，Ω为六边形D．当1
λ=时，Ω
6
【题型二】截面形状的判断
【典例分析】
一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，正四棱锥P ABCD
-的高为12，2
AB=E，F分别为PA，PC的中点，过点B，E，F的截面交PD于点M，截面EBFM将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME
-
的俯视图为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（ ） A ．直角三角形 B ．直角梯形 C ．正五边形 D ．正六边形
3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；①当
11
2
CP CC <时，截面α为五边形； ①当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；
【题型三】 平行关系确定截面
【典例分析】
在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（ ） A ．2a B ．4a
C ．a
D ．无法确定
【变式演练】
1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.
2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条
3.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ①平面A 1B 1C 1.
【题型四】 垂直关系确定的截面
【典例分析】
已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为6323AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为 A 3
B ．32
C ．2
D ．52
【变式演练】
1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值
B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A ．α截得的截面形状可能为正三角形
B ．1AA 与截面α6
C ．α截得的截面形状可能为正六边形
D ．β截得的截面形状可能为正方形
3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（ ） A ．CM BD ⊥ B ．//BD 平面α
C ．平面1//C B
D 平面α D ．平面α截正方体所得的截面面积为9
2
【题型五】 求截面周长
【典例分析】
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【变式演练】
1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）
A ．2+25
B ．2
25133
+
C ．2513+
D ．13252
+
2.已知在棱长为6的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与
平面11AAC C 垂直，则所得截面周长为（ ） A ．26B 26C ．326
D ．3226
【题型六】 求截面面积
【典例分析】
已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11
24
BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.
【变式演练】
1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ） A ．5 B ．25C ．46D ．6
2.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）
A 2
310 B ．298
a
C 2
32 D 2
10
3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.
【题型七】 球截面
【典例分析】
正三棱锥P ABC -242PA AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.
【变式演练】
1.已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面α经过棱AB ，AC ，AD 的中点，若平面α截三棱锥A BCD -和球O 所得的截面面积分别为1S ，2S ，则1
2
S S =（ ） A 33
B 33
C ．
38π
D ．
364π
2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3的球O 上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（ ） A ．π B ．4π
C ．8π
D ．9π
3.已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =23点E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ．2π B ．3π
C ．4π
D ．5π
【题型八】 截面分体积
【典例分析】
已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1101111ABCD A B C D -的体积为______________.
【变式演练】
1.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，则正方体被截面BEFD 分成两部分的体积之比为___________.
2.如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A ．1：5
B ．1：4
C ．1：3
D ．1：2
3.三棱锥D ABC -中，E 、F 、G 、H 分别是棱DA 、DB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分成两个几何体：AB EFGH -、CD EFGH -，其体积分别为1V 、2V ，则12:V V =（ ） A ．1：1 B ．1：2
C ．1：3
D ．1：4
【题型九】 不规则截面（曲线形截面）
【典例分析】
如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为
30时，这个椭圆的离心率为（ ）
A ．1
2
B 3
C ．13
D 3
【变式演练】
1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图①，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，,M N 是该曲线上的两点且//MN CD ，若MN 经过点F ，则MN =__________.
2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F ，2F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,M N .由球和圆的几何性质可知，1PN PF =，2PM PF =.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率2
，则两球的球心距离为_______________.
3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Ger min al dandelin （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E ，F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE =AC ，AF =AB ，于是AE +AF =AB +AC =BC ．由B ，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口
曲线是以E ，F 为焦点的椭圆．
如图①，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为__________．
【题型十】 截面最值
【典例分析】
已知长方体1111ABCD A B C D -中，1
2BB AB BC ==
，点E 在线段1CC 上，()1
01EC CC λλ=≤≤，平面α过线段1
AA 的中点以及点1,B E ，若平面α截长方体所得截面为平行四边形，则实数λ的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【变式演练】
1.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（ ）
A ．1
B ．5
4
C 6
D 2
2.在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB AC ⊥，过点1A 作平面α分别交棱AB ，AC 于点D ，
E ，且A
F DE ⊥，160AA F ∠=°，则截面1A DE △面积的最小值为（ ）
A ．163
B ．323
C ．363
D ．483
3.如图所示，在长方1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，则四棱锥11B BED F -的体积为___________，截面四边形1BED F 的周长的最小值为___________.
【课后练习】
1（宁夏银川市第六中学上学期第一次8月考）.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）
A ．AC BD =
B ．//A
C 截面PQMN
C ．AC B
D ⊥ D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
2.如图：PAB △为圆锥的轴截面，2AB =，60PAB ∠=︒，点E 为PA 的中点，过点E 作既与直线PB 平行又与平面PAB 垂直的截面，该平面与圆锥底面上的圆周交于F ，G 两点，记直线EF 与圆锥底面所成的角为α，记直线PA 与截面所成的角为β，则α与β的关系为（ ）
A ．αβ<
B ．αβ=
C ．αβ>
D ．以上都有可能
3.（北京数学高考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等
B ．PN 与QM 为异面直线
C ．90PNM ∠=
D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形
4.（安徽省六安市第一中学上学期开学考）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．//A
C 截面PQMN
C ．AC B
D = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
5.（北京市北京二中高三12月份月考）如图，正方体
111ABCD A B C D
-的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为
线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当1
02
CQ 时，S 为四边形；①当3
4
CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113
C R ； ①当
314
CQ
时，S 为六边形；①当1CQ =时，S 6 则下列选项正确的是（ ）
A ．①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①①
6.（百师联盟高三上学期开学摸底联考（全国1卷））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A ．BD CP ⊥
B ．三棱锥
C BP
D -的体积为定值
C ．过P ，C ，1
D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为13
7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）
A ．13
B ．35
C ．
2547 D ．79
8.用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥SO 的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO 的轴截面，则圆锥SO 的顶角的取值范围是（ ）
A ．()0,π
B ．0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．（π
2,π)
D ．0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
9.（重庆市西南大学附属中学高三下学期第四次月考）已知圆锥体积为
163
π
，高为4，过顶点P 作截面α，若平面α与底面所成的锐二面角的余弦值为1
3
，圆锥被平面α截得的两个几何体设为,S Q .若,S Q 的体积为
12,V V （其中12V V <），则12:V V =___________.
10.已知四面体ABCD ，分别在棱AD ，BD ，
BC 上取()*1,3n n N n +∈≥等分点，形成点列{}n A ，{}n B ，{}n C ，过k A ，k B ，()1,2,,k C k n =⋅⋅⋅作四面体的截面，记该截面的面积为k M ，则（ ）
A ．数列{}k M 为等差数列
B ．数列{}k M 为等比数列
C ．数列k M k ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列
D ．数列k M k ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列。