函数的单调性(PPT课件)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.7 函数的单调性
• 问题: 1.说出函数f(x)在某区间上是增(减) 函数的意义( 从代数及几何图像两方面说 明); • 2.函数f(x)的导数的几何意义是什么?
• 例子:函数的图像如图所示. • 考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导 数, • 从图像可以看到: • 在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正， 即f′(x) > 0，f(x)为增函数； • 在区间（－ ∞ ， 2 ）内，切线的斜率为 负，即f′(x) < 0,f(x)为减函数.
• 练习：已知函数f(x)=x4+(2－a)x2+2－a,问
• 是否存在实数a,使f(x)在(－∞,－
• 是减函数,且在(－
)上
,0)上是增函数?
练习
• 1函数y=x-ex的增区间为 ,减区间 • • 2.函数y=x+ (k>0)的减区间 • • 3.确定下列函数的单调区间: • （1）y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 • 4.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间. • 5判断y=ex+e－x在(0,+∞)上
• 结论：一般地，设函数y=f(x)在某个区间 内可导， • 如果f′(x) > 0 ，则f(x)为增函数； • 如果f′(x) < 0 ，则f(x)为减函数。 • 如果在某个区间内恒有f′(x)=0 ，则f(x)为 常数函数。
2．应用：
• 例1．确定下列函数在哪个区间内是增函 数，哪个区间内是减函数。 • (1)y= x+ x ∈ (0,+∞) • • (2)y=2x3－6x2+7
小结:用导数判定函数单调性的 步骤(特别适合高次函数和复合 函数的单调性)
• (1) 求f′(x); • (2) 令f′(x)>0解得的相应区间上为增函数; • (3) 令f′(x)<0解得的相应区间上为减函数.
• 练习：若函数y=a(x3-x)的递减区间为
• (－
,
)
, 则a的取值范围
例3.已知f(x)=8+2x－x2,如果 2 g(x)=f(2－x ),试求g(x)的单调区 间.
,减
例2.讨论函数f(x)= (－1<x<1,a≠0)的单调性.
• 分析:利用导数研究函数的单调性,一般应 先确定函数的定义域 , 在求导数 f′(x), 通过 判断函数定义域被导数为零的点所划分 的各区间内f′(x)的符号,来确定函数f(x)在 该区间上的单调性.
解： f′(x)=
=
• ∵－1<x<1, • ∴当a>0时, f′(x)<0,函数单调递减; • 当a<0时, f′(x)>0,函数单调递增.
• 解：(2) f′(x) = 6x2－12x. • 令6x2－12x>0，解得x>2或x<0，因此， 当 x∈( － ∞ ,0) ， (2,+∞) 时， f(x) 都是增函 数； • 再令 6x2 － 12x<0 ，解得 0<x<2 ，因此， 当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。
• 练习：函数y=x-lnx的增区间为 区间
• 问题: 1.说出函数f(x)在某区间上是增(减) 函数的意义( 从代数及几何图像两方面说 明); • 2.函数f(x)的导数的几何意义是什么?
• 例子:函数的图像如图所示. • 考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导 数, • 从图像可以看到: • 在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正， 即f′(x) > 0，f(x)为增函数； • 在区间（－ ∞ ， 2 ）内，切线的斜率为 负，即f′(x) < 0,f(x)为减函数.
• 练习：已知函数f(x)=x4+(2－a)x2+2－a,问
• 是否存在实数a,使f(x)在(－∞,－
• 是减函数,且在(－
)上
,0)上是增函数?
练习
• 1函数y=x-ex的增区间为 ,减区间 • • 2.函数y=x+ (k>0)的减区间 • • 3.确定下列函数的单调区间: • （1）y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 • 4.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间. • 5判断y=ex+e－x在(0,+∞)上
• 结论：一般地，设函数y=f(x)在某个区间 内可导， • 如果f′(x) > 0 ，则f(x)为增函数； • 如果f′(x) < 0 ，则f(x)为减函数。 • 如果在某个区间内恒有f′(x)=0 ，则f(x)为 常数函数。
2．应用：
• 例1．确定下列函数在哪个区间内是增函 数，哪个区间内是减函数。 • (1)y= x+ x ∈ (0,+∞) • • (2)y=2x3－6x2+7
小结:用导数判定函数单调性的 步骤(特别适合高次函数和复合 函数的单调性)
• (1) 求f′(x); • (2) 令f′(x)>0解得的相应区间上为增函数; • (3) 令f′(x)<0解得的相应区间上为减函数.
• 练习：若函数y=a(x3-x)的递减区间为
• (－
,
)
, 则a的取值范围
例3.已知f(x)=8+2x－x2,如果 2 g(x)=f(2－x ),试求g(x)的单调区 间.
,减
例2.讨论函数f(x)= (－1<x<1,a≠0)的单调性.
• 分析:利用导数研究函数的单调性,一般应 先确定函数的定义域 , 在求导数 f′(x), 通过 判断函数定义域被导数为零的点所划分 的各区间内f′(x)的符号,来确定函数f(x)在 该区间上的单调性.
解： f′(x)=
=
• ∵－1<x<1, • ∴当a>0时, f′(x)<0,函数单调递减; • 当a<0时, f′(x)>0,函数单调递增.
• 解：(2) f′(x) = 6x2－12x. • 令6x2－12x>0，解得x>2或x<0，因此， 当 x∈( － ∞ ,0) ， (2,+∞) 时， f(x) 都是增函 数； • 再令 6x2 － 12x<0 ，解得 0<x<2 ，因此， 当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。
• 练习：函数y=x-lnx的增区间为 区间